Chapitre 27 Fonction d'une variable réelle

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Chap 27 : Fonctions d'une variable réelle

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Chap 27 : Fonctions d'une variable réelle

I. Continuité

Voir chap 3 : limites (monotones), Heine, Optimisation, Connexité

II. Dérivabilité

: evn, 0

f I E t I

1 1

'

, ... , ,..., (

est définie par une limite. Son existence différentiabilité

Dérivée à gauche/droite continuité à gauche/droite Dérivations successives : Opérations : CL, Leibniz, Compositions...

k k

f





 D C D C C

( ) ( 1

( ) )

(xf)ⁿ xf ⁿ nf ⁿ^ )

0 0

1 1

1

0 0 1 0 0 0

, ... : :

: ( ( ),..., ( )) '( ) ( ( ),..., '( ),..., ( ))

intervalle de , evn, dérivables en , linéaire

Alors est dérivable en , de dérivée :

n n

n

i

n i n

I t I f f I E t E F n

g t f t f t t g t f t f t f t



 



    





C

2

1

1 1

( ) ' ' ' ' 0 (

,..., ) '( ) det( ( ),..., '( ),.

) '

det( .., ( ))

Déterminant : Produit scalaire :

n i

i

n n

u v u v u v u cte u u u

u t u t u t

v u v u v

u u t



 

        



    



III. Accroissements finis

[ , ]a b segment de , ab, ( ,E ) evn

1 1

([ , ], ) (] , [, ) ([ , ], ) (] , [, ) ] , [ '( ) '( )

( ) ( ) ( ) ( )

, tq : ,

Alors

f a b E a b E g a b a b t a b f t g t

f b f a g b g a

      

  

C D C D

{ [ , ] / ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} fermé, sup , si , on trouve tq

A_  t a b f t f a    t a g t g a c A_ b h c h A_

' ] , [ ' 0 ] , [

Si f M sur a b f, est Mlip. Si f  sur a b f, cte

( )^I But réelEGALITE des AF dim 2 NON

1( , ) '( ) ( ) ( )

, ( , )

Darboux : est un intervalle ( f y f x , continue, connexité, EAF, dble )

x y g x

f I f

I y y

    x 



IV. Formules de Taylor

)

( 1) 1 1

(

1

([ , ], ) (] , [, )

( ) ( )

] , [ ( ) ( ) ( ) ( )

! ( 1)!

Taylor-Lagrange (BUT REEL) : tq

n n

k

n n n

k

f a b a b

f a b a

c a b f b f a b a f c

k n







 

      





C D

( ) ( )

( , ), 2. et bornées 0, , bornée (TL en points matrice inversible (VdM))

n n k

n

fC ^ n f f   k n f 

1

1 ( ) ( 1)

1

( ) ( )

([ , ], ) ( ) ( ) ( )

! ( 1)!

Inégalité de TL : , evn

n n

n k

k

n k

b a b a

f a b E E f b f a f a f

k n

  

 

 

    



 C

1 ( 1)

([ , ], ) (] , [, ) suffit si est bornée

n n n

f C a b E D ^ a b E f ^

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1 1 ( 1)

0

1 ( ) 1)

1

( )

(1 ) ( ( ))

!

( ) ( )

([ , ], ) ( ) ( ) ( ) ( )

! !

, de Banach

n n n

n b

n k n

k a

b a u f a u b a d

n

n u

b a k b t

f a b E E f b f a f a f t dt

k n

 

  



    

 

   



 

C

1

0 0

( ) : ( )

( , ) ( ) : ( )

( 1)!

de Banach ^x ⁿ ^x (TRI)

n

E f x x t

f E f f x f t dt

  n^ ^

 

 



C

( ) 0

( )

: ( 1) ( ) ( ) (( ) )

Formule de Young (LOCALE) : , fois dériv. en !

n k

k k

x a n

f I E n a I n f x f a o x a

 k

    



  

( ( )

)

( , ) 1 (

mi

) 0 1, ( ) 0

0 / [ , ] \ { } ( ) 0 n{ / ( ) 0}

Zéros d'ordre fini : , , Si tq ,

(Young en

alors

, )

n k :

k

f I n f a k n f a

x a a a I f x k f a

  

     

        

C

0 2

( ) ( ) 2 ( )

''( ) lim Si possède une dérivée seconde en ,

h

f a h f a h f a

f a I f a

 h

   

 