Chapitre 15 Dérivation d'une fonction d'une variable réelle

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Mathématiques – cours : Chap 15 : Dérivation d’une fonction d’une variable réelle

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Chap 15 : Dérivation d’une fonction d’une variable réelle

I. Dérivabilité en un point

0

0 0

0

0 0 0

( , )

\ { }

( ) ( )

, ( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), lim ( ) 0

dérivable en

admet une limite en

Il existe tel que

x x

f I x I f x

I x

l x

f x f x

x x x

l ε I x I f x f x x x l x x ε x ε x

→

∈ ∈

 →

⇔ − ∈

 −



⇔ ∈ ∈ ∀ ∈ = + − + − =

F



 

 

0

0 0

\] ; ]

dérivable en continue en dérivable à gauche si x dérivable...

f x f x

f f _−∞

⇒

0 0 0

\ {sup ,inf }

( , ) Si admet un extremum local en , alors '( ) 0

I I I I

f I R x I f x f x

=

∈F ∈ =



Preuve : dérivée à gauche supérieure à 0, dérivée à droite inférieure à 0

2

0 0 0

( , ) , , ) ,

et , et dérivables en , alors dérivable en

f g∈F I  x ∈I f g x ∀(α β ∈ αf +βg x

1

0 0

( , ,I x )={f ∈ ( , ),I f dérivable en sev de x } ( , )I

D  F  F 

0

0 0

0

0 0

( ) ( ) ( )

'( ) lim ( )

représente la pente de la corde est la pente de la tangente à en

x

x f

x x

f x f x

x M M

x x

f x x x

τ

→ τ

= −

−

= C

1 2

0

0 0 0 0 0 0

'

0

0 2

0

( , ) ( , , )

( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( )

1 1

( )

( ) dérivable en et

(si ne s'annule pas sur ) dérivable et

f g I x

fg x fg x f x g x f x g x

f I x f x

f f f x

∈

⇒ = +

  −

⇒   =

 

D 

Preuves : produit : couper le produit en 2 parties Dérivable  continu : inverse : 1/(f(x)f(x0))  1/(f(x0))²

'

0 0 0 0

0 2

0

0 0 0 0

'( ) ( ) ( ) '( ) ( )

( ( ))

( ) '( ) '( ) ' ( )

(si ne s'annule pas sur ) dérivable et dérivable en et

f x g x f x g x

f f

g I x

g g g x

g f x g f x f x g f x

  −

⇒   =

 

⇒   = × 

Preuve : ⁰ ₀ ₀

0

( ) ( )

: ( ) '( ( ))

( ) si , sinon

g y g f x

y f x y y g f x

y f x

ϕ ⁻ ≠

−

  

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) Vérifier toutes les limites

g f x g f x f x f x

x⁻x =ϕ f x × x⁻x

− −

 

(2)

2

1 1

0 0 0 0 0

0

( , )

'( ) 0 ( ) ( ) '( ) 1

'( ) strictement monotone, bijective de sur

dérivable en et dérivable en et

f I I J

f x f x f y f x f y

f x

− −

∈

≠ ⇒ = =

F 

II. Dérivation sur un intervalle

1( , )I ={f ∈ ( , }I dérivable sur I} sous-algèbre de ( , )I

D  F  F 

0 0

0

0 ( 1)

' '( )

( 1)

Les formules découlent de la dérivation en un point dérivable 1 fois en si dérivable en

dérivable fois sur un voisinage de dérivable fois en si

dérivable

k

f I

x f x

f x f x

f k x

f ⁻

 →



−





( )

( ) ( 1)

0 0

0

( ) '( )

en

k k

f x f x

x

 = −



( )

( , ) ( , )

est linéaire

n

I I

f f

 →





D  F 



0

( ) ( ) ( )

0

( , ) ( , ) ( ( , , ) )

( )

: 1 ( , )

( , ) '

pour , faire attention aux voisinages Formule de Leibniz :

Si ne s'annule pas sur

Si ne s'annule pas sur :

n n n

n

n k n k

k n

n

f I g I I x

fg n f g

k

f I I

f

g f I

f I

−

=

∈ ∈

⇒ =   

 

⇒ ∈

⇒

∑

D D D

D D

  



 

dérivable fois sur f⁻1 n I

III. Etude globale

0 1

([ , ], )

(] , [, ) ] , [, '( ) 0 ( ) ( )

Théorème de Rolle :

f a b

f a b c a b f c

f a f b

 ∈

∈ ⇒ ∃ ∈ =

 =

 C D



Généralisations en ± ∞

0 1

([ , ], ) (] , [, )

( ) ( )

] , [ '( )

Théorème des accroissements finis : tel que

f a b f a b

f b f a

c a b f c

b a

∈ ∈

∃ ∈ − =

−

C  D 

Preuve : ( ) ( )

: ( ) ( )

f b f a

A x f x A x a Rolle

b a⁻ ϕ

= − −

− 

0 1 2

0 1 *

([ , ], ) (] , [, ) ( , ) , ] , [, '( )

( ) ( ) ( ) ( )

( , ) ( , ) , ,| '( ) | est lipschitzienne

f a b f a b m M x a b m f x M

m b a f b f a M b a

f I f I k ₊ x I f x k f k

∈ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤

⇒ − ≤ − ≤ −

∈ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ⇒ −

C D

  

 

  

(3)

3

0 1

( , ) ( , ) , '( ) 0

constante croissante sur

strictement croissante sur ,

et ne s'annule sur aucun in

f I f I f ssi x I f x

f I f I f I ssi x I f x

f

∈ ∈ ∀ ∈ =

∈ ∈ ∀ ∈ ≥

C D

 

 

  

 

  

 

tervalle non réduit à un point Preuve : contraposées : non strictement croissante  s’annule sur un intervalle

IV. Formules de Taylor

0 1

([ , ], ) (] , [, ) ] , [

( ) ( ) '( ) ] , [,

( ) ( ) '( )

Lemme de Rolle généralisé : et f g a b g a b g ne s'annule pas sur a b f b f a f c

c a b

g b g a g c

∈ ∈

∃ ∈ − =

−

C  D 

Preuve : ( ) ( )

: ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( ) f b f a

A x f x f a A g x g a Rolle

g b −g a ϕ

= − − −

− 

0

0 0

( ) 0

0 0

( )

, *, ( , , )

( )

( , ),lim ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( )

! Taylor Young :

n

n k

k n

x k

o x x

x I n f I x

f x

I x x I f x x x x x x

ε ε k ε

→ =

= −

∈ ∈ ∈

∃ ∈ = ∀ ∈ =

∑

− + −

D F

 

 

Preuve :

)

⁰

1 ( ) 0

0 0

1 0 0

( )

( ) ( )

! ( ) ( )

( ) 0 ( )

( ) ( )

n k

k

x x n

f x

f x h x

k h x h x

A x A x Rolle étendu

g x g x

x x g x

+

= + →

− 

 −

= → =

− −

∑

1

( ) 1

( 1)

0 0

0 0 0

0

( ) : ( , )

( ) ( )

, ] , [ ] , [, ( ) ( ) ( )

! ( 1)!

Taylor-Lagrange ou

n

k n

n

k n

k

HP f I

f x x x

x I c x x x x f x x x f c

k n

+

+ +

=

∈

∀ ∈ ∃ ∈ = − + −

∑

+

D 

0

1

0 ( )

( 1) 0

0 0

1 2

0

( ) 1

0 0

( , ), ,

( ) ( )

, ( ) ( ) ( )

! !

( , ),( , )

( ) | |

( ) ( )

! ( 1)!

Taylor avec reste intégral :

Inégalité de Taylor (Lagrange) :

n

k n

n k x n

k x

n

k n

n

k k

f I x I

f x x t

x I f x x x f t d t

k n

f I x x I

f x x x

f x x x

k n

+

=

+

=

∈ ∈

∀ ∈ = − + −

∈ ∈

− − ≤ − ×

+

∑ ∫

∑

C



0 0, ]

( 1) [ , ]

[

sup | ⁿ | (preuve : T.R.I.)

x x x ou x

f ⁺

V. Application aux suites u

n+1

= f(u

n

)

0 1

1 0

2

2 2 1

( , ) ( ) , , , ( )

( )

( ) ( )

Si est croissante sur I alors est monotone. On obtient son sens avec Si est décroissante alors

croissante sur . Les suites et son

n n

n

n n n

f I f I I u I n u f u

f u u u

f

f f f I u u

+

∈ ⊂ ∈ ∀ ∈ =

−

=

F  



0

2 2 1

: ( )

( ) ( )

t monotones strictement décroissante, si continue unique point fixe séparation des intervalles de n et n

g x f x x x

u u ₊

− →

⇒



(4)

4 0

0

( , ) ( ) ( ) ( )

( , ) ( ) [ , ]

convergente vers admet un point fixe

croissante admet un point fixe (preuve : comme TVI)

f I f I I un n l I f l l

f I f I I a b f

f I f f I I a b f

∈ ⊂ ∈ ⇒ =

∈ ⊂ = ⇒

C C F



1

[ ] : ([ , ][ ; [; ...) ( , ) ( )

( ) ( ) lim

, à éviter fermé

contractante point fixe n n n n n n

HP I a b a f I f I I

f l I u u ₊ f u u l

→+∞

+∞ ∈ ⊂

⇒ ∈ ∀ = =

 F 

Preuve : Unicité : |x₁−x₂| | ( )= f x₁ − f x( ₂) |≤k x| ₁−x₂ | k< ⇒1 x₁ =x₂

1

1 1 0 1

| p p| ^p| | | p q | ^q | j j |... de Cauchy CV

j p

rec u u k u u u u u u

−

+ +

=

⇒ − ≤ − − ≤

∑

− ⇒ ⇒

0

2

,| | | |

| |

1

( ) (0 1)

lipschitzienne Vitesse de convergence :

convergence linéaire

convergence quadratique

convergence exponentielle

n n

n

n n

f k n u l k u l

u l

n

k k

δ δ

− ⇒ ∀ ∈ − ≤ −

= −

=    

 

=   

= < <

O

O O

