Chapitre 21 Intégrales sur un segment d'une fonction d'une variable réelle

(1)

Chap 21 : Intégrales sur un segment d’une fonction d’une variable réelle

I. Fonctions continues par morceaux

( , ) 2, , [ , ] Dans toute cette partie, a b ∈ a<b I = a b

 

   

2

0 1 1

0,

0, 0,

( , ) , , [ , ]

( ) ...

( ) ( )

Dans toute cette partie,

Une subdivision de est de la forme tel que et deux subdivisions de

On dit que est plus fine

j j n n n

k k n j j p

a b a b I a b

I a a a a a a b

a b I

σ

σ τ

σ

−

∈

∈ ∈

∈ < =

= = < < < < =

= =

−



   

 ^0, ^0, ¹

{ , 0, } { , 0, }

( ) ( ) max (

que si :

est la subdivision obtenue en réordonnant

(Si plus fine que , tjs plus fine que et )

Le pas de est

j k

k j

k k n j n

b j p a k n

a k n b j p

a a

τ τ σ

σ τ τ σ σ τ σ σ τ

σ _∈ δ σ

∈ −

∈ ⊂ ∈

− ∨ ∈ ∪ ∈

∨ = ∨

= = _j₊₁−a_j)

 

¹ ¹

0, 1

\] , [ ] , [ { }

0 0

([ , ], ) [ , ] ( )

0, 1 , ( )

([ , ], ) {

Une fonction est dite en escalier sur s'il existe une subdivision de

tq est constante

fonctions

j j j j k

k k n

n n

a a j j a a k a

j k

a b a b a I

j n a

a b

ϕ σ

ϕ λ ϕ λ χ ϕ χ

ε

+ +

∈

−

= =

∈ =

∀ ∈ − = = +

=

∑ ∑

F 

 en escalier sur [ , ]}a b est une sous algèbre de F([ , ], )a b 

 

¹

0,

\] , [

1

([ , ], ) [ , ] ( )

0, 1 , ([ , ], )

Une fonction est continue par morceaux sur s'il existe une subdivision de est continue

tq admet une limite finie en et

j j

k k n

a a

j j

f a b a b a I

f

j n

f a a

pm a b

σ

+

∈

+ −

+

∈ =

∀ ∈ − 



° =

F

C



 {fonctions continues par morceaux sur [ , ]}a b est une sous algèbre de F([ , ], )a b  On dit que est une subdivision subordonnée à σ ϕ/ f

([ , ], )a b p m a b([ , ], ) ([ , ], )a b p m a b([ , ], )

ε  ⊂ °C  C°  ⊂ °C 

([ , ], ) 0, ( , ) ([ , ], )2 [ , ]

tq 0 f sur

f p m a b a b ϕ ψ a b

ε ϕ ψ ε

ψ ϕ ε

 ≤ ≤

∈ °C  ∀ > ∃ ∈   ≤ − ≤

Preuve : D’abord pour f ∈ °C ([ , ], )a b  : Heine f: uni. continue⇒δ₀ > ∀ − ≤0, |x y| δ₀ ⇒| ( )f x −g x( ) |<ε

1 1

1

0 \[ , ]

[ , ]

1

\[ , [ { }

0

\] , [

max min

( ) ... 0 ( ) ( ) | ( ) ( ) |

de pas bornée et atteint ses bornes Idem avec ...

Cas général : on prolonge s

j j

j j n

k k

a a j j

a a n

j a a n a j j j

j

b b

f f

f a f x x f x f y

f

σ δ δ λ µ

ϕ λ χ χ ψ µ ϕ ψ ψ ϕ ε

+ +

+

−

=

≤ ⇒ = =

=

∑

+ ≤ ≤ ≤ − = − ≤

[ , 1]

ur b bk k₊ par °. On traite ces parties comme et on les réunitC ⇑

(2)

II. Définition de l’intégrale sur un segment

  ¹

1

] , [ { }

0,

0 0

1

1 0

([ , ], ), ( )

( )

subdivision subordonnée. =

La quantité ne dépend pas de la subdivision choisie.

Elle est appelée intégrale de sur le segmen

j j k

n n

j j n j a a k a

j k

n

j j j

j

a b a

a a

ϕ ε σ ϕ λ χ α χ

λ

ϕ

+

−

∈ = =

−

= +

∈ = +

−

∑ ∑

∑



[ , ]

t et notée

a b

∫

a bϕ

Preuve : mq rajouter un c au milieu de la subdivision ne change rien + rec rapide :I_σ( )ϕ =I_{σ τ}_∨ ( )ϕ =I_τ( )ϕ

[ , ]

[ , ] 2

[ , ] [ , ]

([ , ], )

([ , ], ) 0 0

( , ) ([ , ], ) , est linéaire

Positivité de l'intégrale : , si sur , alors

Croissance de l'intégrale : si sur , alors

a b

a b a b

a b

a b I

ε

ϕ ϕ

ϕ ε ϕ ϕ

ϕ ψ ε ψ ϕ ψ ϕ

 →



∀ ∈ ≥ ≥

∫

∫ ∫

 





\[ , ] \[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

([ , ], ), ] , [ ([ , ], ), ([ , ], )

Chasles : ϕ ε∈ a b ^ c∈a b⇒ϕ a c ∈ε a c ^ ϕ c b ∈ε c b ^

∫

a bϕ=

∫

a cϕ+

∫

c bϕ

[ , ]

( ) ( )

L'intégrale est l'aire algébrique comprise entre la courbe et l'axe des abscisses entre et Changer la valeur de en un nombre fini de points n'affecte pas

Si constante égale à s

a b

x a x b

ϕ ϕ

ϕ λ

= =

∫

[ , ]

, ( )

ur I

∫

a bϕ λ= b a−

{

^{[ , ]}

} {

^{[ , ]}

}

[ , ] [ , ]

([ , ], ) , ([ , ], ), , ([ , ], ),

sup inf [ , ]

([

est majorée et est minorée est l'intégrale de sur Cette définition prolonge celle de sur

f a b f a b

f f f f a b

a b

f p m a b a b f a b f

f f a b

ϕ ϕ ε ϕ ψ ψ ε ψ

ε

∈ ° = ∈ ≤ = ∈ ≤

= =

∫

∫ ∫

∫

C I S

I S I S

  

, ], ) a b 

Preuve : Croissance de l’intégrale sur ε( , )I _ ^ maj/min. Densité de ε( , )I _ dans C°pm I( , ) ^, 0

b a ε = ε

−

[ , ]

[ , ] 2

[ , ] [ , ]

( , )

([ , ], ) 0 0

( , ) ([ , ], ) , est linéaire

Positivité de l'intégrale : , si sur , alors

Croissance de l'intégrale : si sur , alors

C

a b

a b a b

pm I

f f

f pm a b f I f

f g pm a b g f I g f

° →





∀ ∈ ° ≥ ≥

∫

∫ ∫

C

C C

 





[ , ] [ , ] [ , ]

([ , ], ), ] , [ hasles

a b a c c b

f ∈ °^C p m a b ^ c∈a b

∫

f =

∫

f +

∫

f

Preuves : Encadrer avec et d'une part ϕ ψ f / ...g , d'autre part λf / (f +g) + linéarité dans ε( , )I 

[ , ]

[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

([ , ], ) sup | ( ) | ([ , ], )

x a b

a b a b a b a b a b

f pm a b M f x g pm a b

f M b a f f fg M g

∈

∈ ° = ∈ °

≤ − ≤ ≤

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

C  C 

(3)

[ , ]

/!\En général, on n'a pas

a b fg ≤

∫

[ , ] / !\

M

∫

a b g

[ , ] 2

[ , ]

3

( , ), ( , ) ( )

0 ( , )

( , , ) , ( ) ( ) ( )

( )

si

on définit si

si est linéaire. On vérifie Chasles :

c d d

c d c

d c

f c d

f pm I c d I f t dt f d c

d c pm I

I f t dt f t dt f t dt

f f t dt

γ β γ

α α β

α β γ

 <



∈ ° ∀ ∈ = − <

 =



° →

 ∀ ∈ = +



∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

C



 



/!\ La positivité et la croissance ne sont vraies que si c<d / !\

III. Sommes de Riemann

 ^0,

 

¹ ^0, ¹

1 1 0

( ) 0 [ , ]

( , ). ( ) 0, 1 , [ , ]. ( )

( , , ) ( ) ( )

( , , )

une subdivision adaptée. on prend

Théorème de convergence :

j j n j j j j j n

n

j j j

j

a b

f pm I a j n a a

S f a a f

S f _{δ σ} f

σ ξ ξ ξ

σ ξ ξ

σ ξ

∈ + ∈ −

−

= +

→

∈ ° = ∀ ∈ − ∈ =

= −

→

∑

∫

C 

Preuve : Si f ([ , ], ),a b Heine U C: . 0 tq |x y| | ( )f x f y( ) | 0

b a

η η ε ε

∈ ° ° ⇒ > − ≤ ⇒ − ≤ =

C  −

1

1 1

1 [ , } 1

0 0

1 1

0 1

0 0

( , , ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) | | | |

( , , ) | ( ) ( ) | ( )

( ) pour les , on partage la somme entre

j j

n n

b a

j j j j j j j

a a b a

j j

n n

b a

j j j

a a

j j

S f f a a f f f f t d tt a a

S f f f f t dt a a

HP pm

σ ξ ξ ξ ξ η

σ ξ ξ ε ε

+

− −

+ +

= =

− −

= = +

− = − − = − − ≤ − ≤

⇒ − ≤ − ≤ − =

°

∑ ∑

∫ ∫ ∫

∑ ∑

∫ ∫

C

, 0

les parties continues et les parties où est pt de discontinuité (nb fini). On les majore par le sup de négligeable quand

j

f

ξ δ →

1

0

1 1

1 0 0

( )

( ) 1 ( )

2

Subdivisions régulières : ⁿ _n ^b

j a

n b n

n a

j j

b a b a

f a j f t dt

n n

b a b a j

f a j f t dt f f t dt

n n n

−

= →∞

−

= →∞ =

−  + − →

−  + − →    →

∑ ∫

∑ ∫ ∑ ∫

( ) ( )

2

1 1

2 2

( , ) ([ , ], )

( ) ( ) ( ) ( )

Inégalité de Cauchy-Schwartz :

Pour les fcts continues, on a égalité

b b b

a a a

f g pm a b

f t g t dt f t dt g t dt ssi f λg

∈ °

≤ =

∫ ∫ ∫

C 

Preuve : ( ) ^b( ( ) ( ))² , ( ) 0 On dvp P( ) en polynôme de 0 CS

a

P λ =

∫

f t −λg t dt ∀λ P λ ≥ λ ∆ ≤ ⇒

( , )

0 [ , ]

([ , ], ) 0

( ) 0

sur

alors (preuve : contraposée + voisinage)

b I

a

f a b

f a b f

f t dt

 ≥

∈ °  =



∫

≥ ^F

C  _

(4)

IV. Théorème fondamental de l’analyse et applications

0

( , ) 0 '

( ) est dérivable sur et

x x

I

f I x I F F I F f

x f t dt

 →

∈ ∈  =



∫

C 

 

Preuve : ( ) ( ) ^{x h} ( ) . . .| ( ) ( ) ( ) | ^{x h}| ( ) ( ) |

x x

F x+ −h F x =

∫

⁺ f t d t⇒ ⇒ F x+ −h F x −h f x ≤

∫

Pour f ∈ °C pm I( , ) , on montre de la même façon que f est F est dérivable hors des points de discontinuité.

En revanche, Si f ∈ °C pm I( , ) , alors F∈ °C ( , )I 

2 1

0 0

( , ) ( , ) ( , ) '

{ } { , }

On dit que est une primitive de sur si et Si est une primitive de , alors primitive de

f F I F f I F I F f

F f F f F k k

∈ ∈ =

= + ∈

F  D 



D’après le théorème de Darboux, toutes les fonctions n’admettent pas de primitives.

0

0 0

1 2

.

, : ( ) 0

( , ) . ( ) ( ) ( ) [ ( )]

( , ) ( , ) '(

Tout fonction continue sur admet une primitive sur

est l'unique primitive de s'annulant en primitive de sur

x x

b t b

a t a

I I

x I F x f t dt f

f I F f I f t d t F b F a F t

f g I f

=

∀ ∈

∈ = − =

∈

∫

C C





 ^b ) ( ) [ ( ) ( )]^{t b}_{t a} ^b ( ) '( )

a t g t d t= f t g t ⁼₌ − a f t g t d t

∫ ∫

0 1 2

( ) ( ) ( )

( , ) ( , ), ( ) ( , )

( ) '( ) ( )

intervalle de ,

d d

c c

f t dt

f I J J J I c d J

f u u du ^ϕ f t dt

ϕ

ϕ ϕ

∈ ∈ ⊂ ∈

× =

∫ ∫

C   C 

  

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) 2 ( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 paire

impaire

périodique : Valeur moyenne :

a a a

a a

b h b

a h a

b T b a T T

a T a a

f f t dt f t dt f t dt f t dt

f f t dt f t dt f t dt

f x h dx f x dx

f T f t dt f t dt f t dt f t dt

m b

− −

−

+ +

+

⇒ = =

⇒ = − =

+ =

− = =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

[ , ] ( )

1 1

( )

( ) sup | |

: ( ) '( ) '( ) ( ) '( ) ( )

b

a a b

x x

f t dt f

a

G x ^ϕ f t d tG x x f x x f x

ψ ϕ ϕ ψ ψ

− ≤

= × − ×

∫

  

( )

1 2 ( 1)

0

( ) ( )

( , ), ( , ) , ( ) ( ) ( )

! !

Formule de Taylor avec reste intégral :

k n

n x

n k n

k a

f a x t

f I x a I f x x a f t dt

k n

+ +

=

∈^C ^ ∀ ∈ =

∑

− +

∫

−

On écrit aussi ⁽ ¹⁾ ¹ ¹ ⁽ ¹⁾

0

( ) (1 )

( ) ( ) ((1 ) )

! !

n n

x n n n

a

x t s

f t dt x a f s a sx ds

n n

+ + +

− −

= − − +

∫ ∫

(5)

V. Brève extension aux fonctions à valeurs complexes

On étend la définition des fonctions continues par morceaux pour les fonctions à valeurs complexes

1 2 1 2

( , ) Re( ) Im( ) ^b ( ) ^b ( ) ^b ( )

a a a

f ∈ °^C pm I ^ f = f f = f

∫

f t dt=

∫

f t dt+i

∫

f t dt

On montre la linéarité, Chasles, les inégalités (sur le module), le lien avec les primitives, l’intégration par parties, la formule de Taylor avec reste intégral, et le changement de variable (REELLE).

On n’a pas l’égalité des accroissements finis, mais on a l’inégalité des AF :

1 2

[ , ] [ , ] ( )

1 2 ( 1)

[ , ]

0 [ , ]

( , ) ( , ) , | ( ) ( ) | sup | ' || |

( ) | |

( , ) ( , ) , ( ) ( ) su p| |

! Inégalité des accroissements finis :

Inégalité de Taylor-Lagrange :

a b ou b a

k n

n

n k n

k a b

ou b a

f I a b I f b f a f b a

f a x a

f I a b I f x x a f

k

+ + +

=

∈ ∀ ∈ − ≤ −

∈ ∀ ∈ −

∑

− ≤ −

C



 ¹

(n+1)!