Une étude de fonction. f(x) = x²- 3x + 6 x - 1
1. Domaine de définition: f(x) existe ⇔ x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 donc Df = ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[
2. Limites en 1 :
quand x → 1 : x² − 3x + 6 → 4 et x – 1 → 0
en divisant 4 par un nombre infiniment petit on obtient un nombre infiniment grand donc f(x) → ∞ il faut préciser si c’est –∞ ou +∞ ; cela dépend du signe de x – 1
quand x < 1, x – 1 < 0 donc limx→1et x<1 f(x) = −∞
quand x > 1, x – 1 > 0 donc limx→1et x>1 f(x) = +∞
3. Montrer qu’il existe trois réels a, b, c tels que : ∀∀∀ x ∈∀ ∈∈∈ DDDDf , f(x) = ax + b + c x − 1 Pour cela il faut mettre ax + b + c
x − 1sous forme d’un quotient comme f(x).
ax + b + c
x − 1 = (ax + b)(x - 1) + c
x − 1 = ax² + (b - a)x + c - b
x − 1
les dénominateurs étant les mêmes, on va identifier les numérateurs : 1x² − 3x + 6 et ax² + (b – a)x + c – b les coefficients des monômes de même exposant doivent être égaux.
on obtient
a = 1b - a = -3 c - b = 6
d’où
a = 1b = -2 c = 4
et donc f(x) = x – 2 + 4 x − 1 4. Limites en –∞∞∞∞ et +∞∞∞∞ :
quand x → −∞ : x – 2 → −∞
et x – 1 → −∞ donc x − 14 → 0 (quotient de 4 par un nombre infiniment grand)
et la somme d’un infiniment grand avec un infiniment petit est un infiniment grand donc lim
x→-∞ f(x) = −∞
quand x → +∞ : x – 2 → +∞
et x – 1 → +∞ donc x − 14 → 0 (quotient de 4 par un nombre infiniment grand)
et la somme d’un infiniment grand avec un infiniment petit est un infiniment grand donc limx→+∞ f(x) = +∞
5. Soit (D) la droite d’équation y = x – 2. M et P sont deux points de même abscisse x, M est sur CCCCf, P est sur (D)
a. Exprimer, en fonction de x, la distance PM.
M, d’abscisse x est sur Cf donc yM = f(x) P, d’abscisse x est sur (D) donc yP = x − 2
M et P étant deux points de même abscisses x, PM = |yM – yP| = |f(x) – (x – 2)| = | 4 x − 1| b. déterminer la limite quand x tend vers –∞∞∞∞ et vers +∞∞∞∞ de PM.
quand x → ±∞, x – 1 est un infiniment grand donc x − 14 → 0 donc limx→-∞ PM = 0 et limx→+∞ PM = 0 On en déduit que : quand x → ± ∞, le point M de Cf est de plus en plus proche du point P de (D)
la courbe Cf se rapproche infiniment de la droite (D) on dit que « (D) est asymptote à Cf » en –∞ et en +∞
c. Pour quelles valeurs de x a-t-on PM ≤≤≤≤ 0,1
Si l’unité est de 1 cm (par exemple …) sur l’axe des ordonnées, on cherche les valeurs de x pour lesquelles l’ « écart » entre Cf et (D) est inférieur au mm.
PM ≤ 0,1 ⇔ | 4
x − 1 | ≤ 0,1 ⇔ |x − 1
4 | ≥ 10 car deux réels positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses
⇔ |x – 1| ≥ 40
⇔ x – 1 ≤ −40 ou x – 1 ≥ 40
⇔ x ≤ −39 ou x ≥ 41
d. Etudier les positions relatives de CCCCf et (D).
Il faut comparer les ordonnées de deux points de même abscisse, l’un sur Cf, l’autre sur (D).
les positions relatives de Cf et (D) sont données par le signe de f(x) – (x – 2) or f(x) – (x – 2) = 4
x − 1 qui a le signe de x – 1
donc : pour x < 1, f(x) – (x – 2) < 0 et donc Cf est « en dessous » de (D) pour x > 1, f(x) – (x − 2) > 0 et donc Cf est « au dessus » de (D)
2 3 4 5 6 7 8 9 -1
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16
0 1
1
x y
6. Variations de f : f est une fonction rationnelle donc dérivable sur Df Calcul de la dérivée de f :
f’(x) = (x – 2)’ + 4( 1
x - 1)’ = 1 + 4× -(x - 1)'
(x - 1)² = 1 + 4× - 1
(x - 1)² = 1 + - 4
(x - 1)² = (x - 1)² - 4
(x - 1)² = (x - 3)(x + 1) (x - 1)²
Etude du signe de f’(x) : dans Df , (x – 1)² > 0
donc f’(x) a le signe du trinôme (x – 3)(x + 1) dont les racines sont 3 et −1 f’(x) > 0 « à l’extérieur » de ces racines et f(x) < 0 « entre » ces racines.
Tableau de variation :
7. Construire CCCCf :
− on trace la droite d’équation x = 1. Df = IR\{1} donc aucun point de Cf n’est sur cette droite.
c’est une « asymptote verticale » car lim
x→1et x<1 f(x) = −∞ et limx→1et x>1 f(x) = +∞
− on trace la droite (D) d’équation y = x – 2
− on place le point de coordonnées −1 et −5 avec sa tangente horizontale car f’(−1) = 0
− on place le point de coordonnées 3 et 3 avec sa tangente horizontale car f’(3) = 0
− on cherche quelques points … et on trace Cf.
8. En discutant suivant les valeurs du réel m, trouver graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.
on cherche combien des points de Cf ont pour ordonnée m
par exemple (voir figure) : pour m = −9 il y a 2 points, pour m = −3 il y a 0 point, pour m = 6, il y a 2 points …
on « balaye » Cf avec une parallèle à l’axe des abscisses et pour chaque valeur de m, on compte les points d’intersection.
on obtient : pour m < −5 2 solutions pour m = −5 1 solution pour −5 < m < 3 0 solution pour m = 3 1 solution pour m > 3 2 solutions
