8-01-10 une étude de fonction

Une étude de fonction. f(x) = x²- 3x + 6 x - 1

1. Domaine de définition: f(x) existe ⇔ x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 donc D_f = ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[

2. Limites en 1 :

quand x → 1 : x² − 3x + 6 → 4 et x – 1 → 0

en divisant 4 par un nombre infiniment petit on obtient un nombre infiniment grand donc f(x) → ∞ il faut préciser si c’est –∞ ou +∞ ; cela dépend du signe de x – 1

quand x < 1, x – 1 < 0 donc limx→1et x<1 f(x) = −∞

quand x > 1, x – 1 > 0 donc limx→1et x>1 f(x) = +∞

3. Montrer qu’il existe trois réels a, b, c tels que : ∀∀∀ x ∈∀ ∈∈∈ DDDD_f , f(x) = ax + b + ^c x − 1 Pour cela il faut mettre ax + b + ^c

x − 1sous forme d’un quotient comme f(x).

ax + b + ^c

x − 1 = (ax + b)(x - 1) + c

x − 1 = ax² + (b - a)x + c - b

x − 1

les dénominateurs étant les mêmes, on va identifier les numérateurs : 1x² − 3x + 6 et ax² + (b – a)x + c – b les coefficients des monômes de même exposant doivent être égaux.

on obtient

 



b - a = -3 c - b = 6

d’où

 



b = -2 c = 4

et donc f(x) = x – 2 + ⁴ x − 1 4. Limites en –∞∞∞∞ et +∞∞∞∞ :

quand x → −∞ : x – 2 → −∞

et x – 1 → −∞ donc _{x − 1}⁴ → 0 (quotient de 4 par un nombre infiniment grand)

et la somme d’un infiniment grand avec un infiniment petit est un infiniment grand donc lim

x→-∞ f(x) = −∞

quand x → +∞ : x – 2 → +∞

et x – 1 → +∞ donc _{x − 1}⁴ → 0 (quotient de 4 par un nombre infiniment grand)

et la somme d’un infiniment grand avec un infiniment petit est un infiniment grand donc lim_x→+∞ f(x) = +∞

5. Soit (D) la droite d’équation y = x – 2. M et P sont deux points de même abscisse x, M est sur CCCC_f, P est sur (D)

a. Exprimer, en fonction de x, la distance PM.

M, d’abscisse x est sur C_f donc y_M = f(x) P, d’abscisse x est sur (D) donc y_P = x − 2

M et P étant deux points de même abscisses x, PM = |y_M – y_P| = |f(x) – (x – 2)| = | ⁴ x − 1| b. déterminer la limite quand x tend vers –∞∞∞∞ et vers +∞∞∞∞ de PM.

quand x → ±∞, x – 1 est un infiniment grand donc _{x − 1}⁴ → 0 donc lim_x→-∞ PM = 0 et lim_x→+∞ PM = 0 On en déduit que : quand x → ± ∞, le point M de C_f est de plus en plus proche du point P de (D)

la courbe C_f se rapproche infiniment de la droite (D) on dit que « (D) est asymptote à C_f » en –∞ et en +∞

c. Pour quelles valeurs de x a-t-on PM ≤≤≤≤ 0,1

Si l’unité est de 1 cm (par exemple …) sur l’axe des ordonnées, on cherche les valeurs de x pour lesquelles l’ « écart » entre C_f et (D) est inférieur au mm.

PM ≤ 0,1 ⇔ | ⁴

x − 1 | ≤ 0,1 ⇔ |x − 1

4 | ≥ 10 car deux réels positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses

⇔ |x – 1| ≥ 40

⇔ x – 1 ≤ −40 ou x – 1 ≥ 40

⇔ x ≤ −39 ou x ≥ 41

d. Etudier les positions relatives de CCCC_f et (D).

Il faut comparer les ordonnées de deux points de même abscisse, l’un sur C_f, l’autre sur (D).

les positions relatives de C_f et (D) sont données par le signe de f(x) – (x – 2) or f(x) – (x – 2) = 4

x − 1 qui a le signe de x – 1

donc : pour x < 1, f(x) – (x – 2) < 0 et donc C_f est « en dessous » de (D) pour x > 1, f(x) – (x − 2) > 0 et donc C_f est « au dessus » de (D)

2 3 4 5 6 7 8 9 -1

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16

0 1

1

x y

6. Variations de f : f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D_f Calcul de la dérivée de f :

f’(x) = (x – 2)’ + 4( 1

x - 1)’ = 1 + 4× -(x - 1)'

(x - 1)² = 1 + 4× - 1

(x - 1)² = 1 + - 4

(x - 1)² = (x - 1)² - 4

(x - 1)² = (x - 3)(x + 1) (x - 1)²

Etude du signe de f’(x) : dans D_f , (x – 1)² > 0

donc f’(x) a le signe du trinôme (x – 3)(x + 1) dont les racines sont 3 et −1 f’(x) > 0 « à l’extérieur » de ces racines et f(x) < 0 « entre » ces racines.

Tableau de variation :

7. Construire CCCC_f :

− on trace la droite d’équation x = 1. D_f = IR\{1} donc aucun point de C_f n’est sur cette droite.

c’est une « asymptote verticale » car lim

x→1et x<1 f(x) = −∞ et limx→1et x>1 f(x) = +∞

− on trace la droite (D) d’équation y = x – 2

− on place le point de coordonnées −1 et −5 avec sa tangente horizontale car f’(−1) = 0

− on place le point de coordonnées 3 et 3 avec sa tangente horizontale car f’(3) = 0

− on cherche quelques points … et on trace C_f.

8. En discutant suivant les valeurs du réel m, trouver graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.

on cherche combien des points de C_f ont pour ordonnée m

par exemple (voir figure) : pour m = −9 il y a 2 points, pour m = −3 il y a 0 point, pour m = 6, il y a 2 points …

on « balaye » C_f avec une parallèle à l’axe des abscisses et pour chaque valeur de m, on compte les points d’intersection.

on obtient : pour m < −5 2 solutions pour m = −5 1 solution pour −5 < m < 3 0 solution pour m = 3 1 solution pour m > 3 2 solutions