sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 8], f

Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) = 30 ln(x) + 10 − 10x.

1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f

sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 8], f

(x) = 30 − 10x

x .

2. Étudier le signe de f

(x) sur l’intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction f . 3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant. (On arrondira les résultats au dixième).

x 1 2 3 4 5 6 7 8

f (x) 11,6

4. Représenter la fonction f dans un repère orthononné. Unités graphiques : 1 cm pour 1 unité.

Chaque jour un artisan fabrique x objets (x étant compris entre 1 et 8).

Le bénéfice, en dizaines d’euros, réalisé pour la vente de ces x objets est égal à f (x).

5. Combien faut-il produire d’objets pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut ce bénéfice maximal à un euro près ?

6. Déterminer à partir de quelle quantité d’objets l’artisan travaille à perte.

Exercice 2 (Polynésie 2009) ( 4 points)

Soit f la fonction définie sur [0, 5 ; 6] par f (x) = 2x − 3 − 4 ln(x)..

On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (ci-dessous).

1. Montrer que la dérivée f

vérifie f

(x) = 2(x − 2)

x .

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f.

3. Montrer que la courbe C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2. On la note T . Donner une équation de la droite T .

4. En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée x

dans l’intervalle [2 ; 6].

Donner, à l’aide d’une calculatrice, l’arrondi de x

à 0, 01 près.

5. Déterminer une équation de la tangente T

à la courbe C au point d’abscisse 1.

Dans le repère, tracer les tangentes T et T

à la courbe C .

x y

O 1 2

− 1

1 2 3 4 5 6 7 8

Exercice 3 (Nouvelle Calédonie)

Une entreprise fabrique x tonnes d’un certain produit, 0 6 x 6 12. Le bénéfice, exprimé en milliers d’euros, pour produire x tonnes est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 12] par f (x) = 0, 5x

− 13x − 60 + 55 ln(x + 3).

1. f

désigne la dérivée de f . Calculer f

(x). Vérifier que f

(x) = (x − 2)(x − 8) (x + 3) . 2. Étudier, à l’aide d’un tableau, le signe de f

(x) dans l’intervalle [0 ; 12].

3. En déduire le tableau de variations de f dans l’intervalle [0 ; 12].

Exercice 4 (Pondichery 2010)

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ − 0, 5 ; 5] par f(x) = x

− 9x + 14 ln(x + 1).

Dans le repère ci-dessous, la courbe ( C

) est sa courbe représentative.

On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [ − 0, 5 ; 5] et on note f

sa fonction dérivée.

Partie A

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer f (0) et f

(0).

2. Donner le nombre de solutions de l’équation : f (x) = 1, 5.

Partie B

1. Calculer f

(x).

2. Vérifier que f

(x) = (2x − 5)(x − 1)

x + 1 .

3. En remarquant que (x + 1) est strictement positif sur l’intervalle [ − 0, 5 ; 5], et à l’aide d’un tableau de signes déterminer le signe de f

(x) puis les variations de f sur ce même intervalle.

4. Déterminer l’équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5

− 1

− 2

C

(T)

O

CORRECTION

Exercice 1 Pondichéry 2011 - 5 points 1. On a f

(x) = 30 × 1

x − 10 = 30 − 10x

x .

2. Comme x est supérieur à zéro, le signe de f

(x) est celui du numérateur : 30 − 10x = 10(3 − x) qui est du signe de 3 − x.

Donc :

• si 1 6 x < 3, f

(x) > 0 ; la fonction f est donc croissante sur [1 ; 3[ ;

• f

(3) = 0 ;

• si 3 < x 6 8, f

(x) < 0 ; la fonction f est donc décroissante sur ]3 ; 8].

3.

x y

y = f (x)

1 1

0

x f (x)

1 0

2 10.8

3 13

4 11.6 5 8.3 6 3.8 7 − 1.6 8 − 7.6

4. Le maximum de la fonction correspond à x = 3, soit pour 3 objets fabriqués, un bénéfice de 13 dizaines d’euro soit 130 euros.

5. On constate qu’à partir de 7 objets produits le bénéfice devient négatif (17 euros de perte).

Exercice 2

1. f

(x) = 2 − 4 × 1

x = 2x − 4

x = 2(x − 2)

x .

2. Comme x > 0, le signe de f

(x) est celui de x − 2.

f

(x) > 0 ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2

f

(x) < 0 ⇔ x − 2 < 0 ⇔ x < 2. Le signe de f

donne les variations de f , donc la fonction f est croissante sur [2 ; 6] et décroissante sur [0,5 ; 2] .

3. On vient de voir que f

(2) = 0 : le coefficient directeur de la tangente à la courbe C est égal au nombre dérivé f

(2) = 0 ; donc la tangente au point d’abscisse 2 est horizontale.

Une équation de T est y = f

(2)(x − 2) + f (2) = 2 × 2 − 3 − 4 ln(2) ⇔ y = 1 − 4 ln(2) . 4. Sur [2 ; 6], la fonction croît de f (2) ≈ − 1, 772 à f(6) ≈ 1, 833.

Conclusion : l’équation f (x) = 0 n’a qu’une seule solution x

sur l’intervalle [2 ; 6] . La calculatrice donne :

f (4, 5) ≈ − 0, 02 et f (4, 6) ≈ 0, 1, donc 4, 5 < x

< 4, 6.

f (4, 51) ≈ − 0, 005 et f (4, 52) ≈ 0, 006 donc 4, 51 < x

< 4, 52.

5. f (1) = − 1 et f

(1) = − 2.

Une équation de T

est y = f

(1)(x − 1) + f(1) ⇔ y = − 2(x − 1) − 1 ⇔ y = − 2x + 1 .

x y

O

y = f (x) 1

2

− 1

− 2

1 2 3 4 5

T T

Exercice 3

1. f

(x) = 2 × 0, 5x − 13 + 55

x + 3 = x − 13 + 55

x + 3 = (x − 13)(x + 3) + 55 x + 3

= x

+ 3x − 13x − 39 + 55

x + 3 = x

− 10x + 16 x + 3 .

Or (x − 2)(x − 8) = x

− 2x − 8x + 16 = x

− 10x + 16.

Donc f

(x) = (x − 2)(x − 8) (x + 3) .

2. Comme x > 1, x + 3 > 4 > 0, donc le signe de f

(x) est celui de son numérateur que l’on trouve en faisant un tableau de signes :

x x − 2 x − 8 (x − 2)(x − 8) Signe de f

(x)

1 2 8 13

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

+ 0 − 0 +

3. Le signe de la dérivée donne les variations de f : x

Signe de f

(x) Variations

de f

1 2 8 13

+ 0 − 0 +

≈ 3.75

≈ 3.75

≈ 4.52

≈ 4.52

≈ − 0.12

≈ − 0.12

≈ 16.47

≈ 16.47

Exercice 4

1. On lit sur le graphique : f (0) = 0 . Le nombre dérivé f

(0) est le coefficient directeur de la tangente au point O, on lit sur le graphique : f

(0) = 5 .

2. On trace la droite d’équation y = 1, 5. Elle coupe la courbe ( C

) en trois points dont les abscisses sont à peu près : 0,6 ; 1,7 et 3,2. Donc l’équation f (x) = 1, 5 a trois solutions .

Partie B

1. f

(x) = 2x − 9 + 14 x + 1 . 2. f

(x) = (2x − 9)(x + 1) + 14

x + 1 = 2x

+ 2x − 9x − 9 + 14

x + 1 = 2x

− 7x + 5 x + 1 .

Or (2x − 5)(x − 1) = 2x

− 2x − 5x + 5 = 2x

− 7x + 5, donc f

(x) = (2x − 5)(x − 1)

x + 1 .

3. On a − 0, 5 6 x 6 5 ⇒ 0, 5 6 x + 1 6 6, donc x + 1 > 0 et le signe de f

(x) est celui du numérateur.

On trouve le signe du produit (2x − 5)(x − 1) grâce à un tableau de signes.

x 2x − 5

x − 1 (2x − 5)(x − 1)

Signe de f

(x)

Variations de f

1 2 8 13

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

+ 0 − 0 +

≈ 1.427

≈ 1.427

≈ 1.7

≈ 1.7

≈ 1.29

≈ 1.29

≈ 5.08

≈ 5.08

4. Une équation de la droite (T) est : y = f

(0)(x − 0) + f (0) = 0 + 5x donc une équation de (T) est y = 5x .

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3 4

1 2 3 4 5

− 1

− 2

C

(T)

O