http://xmaths.free.fr/ TES − Fonctions − Exercices page 1/1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1 y
Exercice E3
Soit la fonction f définie pour x ≠ -1 par : f(x) = 3
2 x + 1 x + 1 - 1 1°) Déterminer la limite de f en -∞ et la limite de f en +∞ .
Justifier que la courbe représentative de f a une asymptote oblique dont on donnera l'équation.
2°) Calculer la dérivée de f et étudier son signe.
3°) Justifier que pour tout réel x ≠ -1 on a : f(x) - x = x(x - 1) 2(x + 1) En déduire le signe de f(x) - x .
4°) On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique sur [0 ; 1] d’une fonction F vérifiant les conditions suivantes :
• F est croissante sur [0 ; 1] ;
• F(0) = 0 et F(1) = 1 ;
• pour tout x de [0 ; 1], F(x) £ x.
a) Justifier que la courbe de f sur [0 ; 1] est une courbe de Lorenz.
(On ne demande pas de tracer cette courbe)
b) On donne sur le dessin ci-contre une courbe (Γ) représentant une fonction g.
Justifier que cette courbe (Γ) est une courbe de Lorenz.
On suppose que cette courbe illustre la répartition des surfaces des exploitations agricoles d’un pays G.
En abscisse, x représente le pourcentage du nombre des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.
En ordonnée, g(x) représente le pourcentage total des superficies de ces exploitations.
Par exemple, si g(0,3) = 0,13 on dit que 30 % des exploitations les plus petites représentent au total 13 % de la superficie des exploitations du pays G.
Donner à partir du graphique la valeur de g(0,6).
Interpréter ce résultat.
