1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 3 2e

CORRECTION

Partie A.

1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 3 2e

^2x

( ^{1 e}

^2x

)

²

6e (−2x )

( ^{1+ e}

^−2x

)

²

>0. La fonction f est donc strictement croissante sur .

2. lim

x

e

^2x

0 donc lim

x

f ( x) 3. Ainsi, la droite ∆ est asymptote à la courbe C.

3. lim

x

e

^2x

donc lim

x

f (x ) 0.

La fonction f est continue et strictement croissante sur , lim

x

f( x) 0, lim

x

f( x) 3 et 2,999]0 3[

donc l équation f( x) 2,999 admet une unique solution sur . f(4) 2,999 et f(4,01) 2,999 donc ]4 4,01[.

Partie B

1. D après la partie A, f est strictement croissante sur et lim

x

f( x) 3. Alors, pour tout réel x, f(x ) 3 et donc 3 f (x ) 0. Ainsi, la fonction h est positive sur .

2. H est dérivable sur . Pour tout réel x, H ( x) 3

2 ( −2e

^−2x

)

1 e

^−2x

3e

^2x

1 e

^2x

. D autre part, pour tout réel x, h (x ) 3 f (x ) 3 3

1 e

^2x

3 3e

^2x

3 1 e

^2x

3 e

^2x

1 e

^2x

H (x ).

H est donc une primitive de h sur . 3. Soit a un réel strictement positif.

a.  

0

a

h (x )dx  

0

a

3dx  

0

a

f(x )dx

 

0

a

3dx est l aire du rect angle déli mit é par l es axes, la droit e et la droit e d équat ion x 3.

f est positive sur donc  

0

a

f( x)dx est l ai re du dom aine délim ité par l es axes , l a courbe C et l a droit e d équat ion x 3.

b. De plus, pour tout x de , 0 f (x) 3 donc C est en dessous de donc

 

0

a

h( x)dx  

0

a

3dx  

0

a

f( x)dx est l ai re du d omain e d éli mité p ar l axe d es

ordonn ées, la d roite d équation x 3, la cou rbe C et la droite . c.  

0

a

h( x)dx

 

  H (x )

0 a

H(a ) H(0) 3

2 ln ( ^{1 e}

^2a

) _ ^

³

_ ^

2

ln(2) 3

2 ( ^{ln(2) ln} ( ^{1 e}

^2a

) ) ³

2 ln

 

 

2 1 e ^2a

. d. L aire de D, en unités d aire, est :

A lim

a

 

0

a

3 f (x )dx lim

a

 

0

a

h (x )dx lim

a

3 2 ln

 

 

2 1 e ^2a

. lim

a

e

^2a

0 donc A 3

2 ln(2) u.a.

Sur les axes, 1 unité 2cm donc 1u .a. 4cm ². Alors L aire d e D est 3

2 ln(2) 4cm ², c'est-à-dire, 6ln(2) cm ².