CORRECTION
Partie A.
1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 3 2e
2x( 1 e
2x)
26e (−2x )
( 1+ e
−2x)
2>0. La fonction f est donc strictement croissante sur .
2. lim
x
e
2x0 donc lim
x
f ( x) 3. Ainsi, la droite ∆ est asymptote à la courbe C.
3. lim
x
e
2xdonc lim
x
f (x ) 0.
La fonction f est continue et strictement croissante sur , lim
x
f( x) 0, lim
x
f( x) 3 et 2,999]0 3[
donc l équation f( x) 2,999 admet une unique solution sur . f(4) 2,999 et f(4,01) 2,999 donc ]4 4,01[.
Partie B
1. D après la partie A, f est strictement croissante sur et lim
x
f( x) 3. Alors, pour tout réel x, f(x ) 3 et donc 3 f (x ) 0. Ainsi, la fonction h est positive sur .
2. H est dérivable sur . Pour tout réel x, H ( x) 3
2 ( −2e
−2x)
1 e
−2x3e
2x1 e
2x. D autre part, pour tout réel x, h (x ) 3 f (x ) 3 3
1 e
2x3 3e
2x3 1 e
2x3 e
2x1 e
2xH (x ).
H est donc une primitive de h sur . 3. Soit a un réel strictement positif.
a.
0
a
h (x )dx
0
a
3dx
0
a
f(x )dx
0
a
3dx est l aire du rect angle déli mit é par l es axes, la droit e et la droit e d équat ion x 3.
f est positive sur donc
0
a
f( x)dx est l ai re du dom aine délim ité par l es axes , l a courbe C et l a droit e d équat ion x 3.
b. De plus, pour tout x de , 0 f (x) 3 donc C est en dessous de donc
0
a
h( x)dx
0
a
3dx
0
a
f( x)dx est l ai re du d omain e d éli mité p ar l axe d es
ordonn ées, la d roite d équation x 3, la cou rbe C et la droite . c.
0
a
h( x)dx
H (x )
0 a
H(a ) H(0) 3
2 ln ( 1 e
2a)
3
2
ln(2) 3
2 ( ln(2) ln ( 1 e
2a) ) 3
2 ln
2 1 e 2a. d. L aire de D, en unités d aire, est :
A lim
a
0
a
3 f (x )dx lim
a
0
a
h (x )dx lim
a
3 2 ln
2 1 e 2a. lim
a
