f est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x ) 2 e

On cherche le nombre de solutions de l équation e

x² 7 x 0 Soit f la fonction définie sur , par f(x ) e

x ² 7x .

f est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x ) 2 e

2x 7

On ne peut pas trouver le signe de f (x) de façon simple. Cherchons les variations de cette fonction.

f est dérivable sur . Pour tout x de , f ( x) 4e

2 2 ( 2 e

1 . )

On cherche le signe de 2e

1.

2 e

1 0  e

1

2  2 x ln  

 

1

2  x ln(2)

2 car ln  

 

1

2 ln(2)

De même, 2 e

1 0  x ln(2) 2 On a donc le tableau suivant :

x ln(2)

2 2

2e

1 f (x )

f (x)

8,7 f  

 

ln(2)

2 2e

 

 

ln(2) 2

2

7 8,7 0

Le minimum de f sur est strictement positif donc f est strictement positive sur et donc f est strictement croissante sur .

f(x ) e

x ² 7x .

On cherche alors les limites de f en et pour pouvoir utiliser le TVI.

En : On pose X 2 x . lim

x

X et lim

X

e

0 donc lim

x

e

0. D autre part, lim

x

x ² 7x lim

x

x ² donc lim

x

f(x) .

En :

On a une FI donc on factorise.

Pour tout x de , f(x ) e

 

  e

^x²

e

7 ^x e

D après le cours, lim

x

e

; lim

x

x ²

e

0 et lim

x

x

e

0 donc lim

x

 

  e

^x²

e

7 ^x

e

et lim

x

e

Ainsi, lim

x

f(x ) .

La fonction f est continue et strictement croissante sur ; lim

x

f( x) , lim

x

f(x ) et 0 ] [ donc

l équation f(x) 0 admet une unique solution dans .