2. On remarque que f n+1 (x) = f n (x) + x n+1 pour tout réel x . En particulier f n+1 (a n ) = a n+1 n > 0

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Exercice 1

1. Il est clair par dénition que f _n est strictement croissante dans [0, +∞[ . Comme de plus f n (0) = −1 et f n (1) = n − 1 , le théorème de la valeur intermédiaire entraîne l'existence et l'unicité de a n tel que f (a n ) = 0 . On peut préciser a 1 = 1 et a n ∈ ]0, 1[

pour n > 0 .

2. On remarque que f _n+1 (x) = f _n (x) + x ⁿ⁺¹ pour tout réel x . En particulier f _n+1 (a _n ) = a ⁿ⁺¹ _n > 0

Ce qui, avec la stricte croissance de f et le théorème de la valeur intermédiaire entraîne a n+1 < a n . La suite (a n ) _n∈N

^∗

est décroissante et minorée par 0. Elle converge vers un élément de [0, a 2 ] .

3. On a déja démontré en 1. que a ₂ ∈ ]0, 1[ . À cause de la décroissance, on en déduit 0 < a n < a 2 ⇒ 0 < a ⁿ⁺¹ _n < a ⁿ⁺¹ ₂ .

Ceci entraîne, par le théorème d'encadrement, la convergence de (a ⁿ⁺¹ _n ) _n∈N

^∗

vers 0.

En utilisant l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique, il vient f _n (a _n ) = 1 − a ⁿ⁺¹ _n

1 − a n

− 2 = 0 ⇒ 1 − a ⁿ⁺¹ _n = 2 − 2a _n ⇒ a _n = 1

2 (1 + a ⁿ⁺¹ _n ).

On en déduit la convergence de (a n ) _n∈N

^∗

vers ¹ ₂ . 4. Comme

f n (x) = 1 − x ⁿ⁺¹ 1 − x − 2 Lorsque 0 < x < 1 , (f n (x)) _{n∈ N}

^∗

converge vers

1

1 − x − 2 = 2x − 1 1 − x



 

 

> 0 si x > 1 2

< 0 si x < 1 2 .

Considérons un ε quelconque dans

0, ¹ ₂ tel que 1

2 + ε ∈ 1

2 , 1

et 1

2 − ε ∈

0, 1 2

.

Comme (f n ( ¹ ₂ +ε)) _n∈N

^∗

converge vers un nombre strictement positif et (f n ( ¹ ₂ −ε)) _n∈N

^∗

vers un nombre strictement négatif, il existe un entier n 0 tel que,

∀n > n 0 : f n ( 1

2 − ε) < 0 < f n ( 1

2 + ε) ⇒ ∀n > n 0 : 1

2 − ε < a n < 1 2 + ε

Ce qui est exactement la dénition de la convergence vers ¹ ₂ . 5. On a déjà remarqué que

2a n − 1 = a ⁿ⁺¹ _n Utilisons l'indication de l'énoncé :

(2a n ) ⁿ⁺¹ = e (n+1) ln(2a

n

)

avec

(n + 1) ln(2a n ) ∼ (n + 1)(2a n − 1) ∼ (n + 1)a ⁿ⁺¹ _n De plus,

0 < (n + 1)a ⁿ⁺¹ _n < (n + 1)a ⁿ⁺¹ ₂

avec a ₂ < 1 assure que (n + 1)a ⁿ⁺¹ _n → 0 et donc que (2a _n ) ⁿ⁺¹ → 1 . On en déduit a ⁿ⁺¹ _n ∼ ₂

n+1

¹ et nalement, comme a _n − ¹ ₂ = ¹ ₂ a ⁿ⁺¹ _n :

a _n − 1 2 ∼ 1

2 ⁿ⁺² .

Exercice 2

1. Tableau trop facile pour être corrigé. e ^x

ⁿ

− 1 ∼ x n et ln(1 + x n ) − x n ∼ − ¹ ₂ x ² _n . 2. On doit montrer que

(w n ) _n∈

N

^∗

→ C ⇒

w 1 + · · · + w n

n

n∈N

^∗

→ C

Il s'agit de la classique convergence au sens de Césaro. Pour que ce résultat relatif à des limites se traduise par une équivalence il est nécessaire que C 6= 0 mais c'est sans importance pour la formulation avec des limites.

Le c÷ur de la démonstration est une inégalité obtenue en coupant une somme en deux.

Fixons nous un N arbitraire et considérons des n > N . On peut écrire :

w 1 + · · · + w n

n − C

= |(w 1 − C) + · · · + (w n − C)|

n

≤ |(w ₁ − C)| + · · · + |(w _n − C)|

n ≤ 1

n

N

X

k=1

|w k − C| + 1 n

n

X

k=N +1

|w k − C|

≤ 1 n

N

X

k=1

|w k − C| + n − N n

| {z }

≤1

max

k∈{N +1··· ,n} |w k − C|.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Finalement, l'inégalité de Cesaro s'écrit

∀n > N :

w 1 + · · · + w n

n − C

≤ 1 n

N

X

k=1

|w k − C| + max

k∈{N +1···,n} |w k − C|.

On va vérier avec cette inégalité la dénition de la convergence d'une suite. Il est important de savoir que ce résultat ne peut pas se déduire du théorème d'encadrement ou de passage à la limite dans une inégalité.

On veut montrer que, pour tout réel ε > 0 , il existe un entier N ε tel que n ≥ N _ε ⇒ |w _n − C| ≤ ε.

Soit donc un ε > 0 arbitraire. D'après la convergence de (w _n ) _n∈

N

^∗

, il existe un entier N tel que

n ≥ N ⇒ |w n − C| ≤ ε 2 . En particulier :

n ≥ N ⇒ max

k∈{N +1···,n} |w k − C| ≤ ε 2 . Considérons maintenant la suite

1 n

N

X

k=1

|w k − C|

!

n∈ N

^∗

.

Comme P N

k=1 |w k − C| est un nombre xé, c'est une suite de la forme ^A _n

n∈N

^∗

qui converge donc vers 0 . Il existe alors un entier N ε > N et tel que

n ≥ N ε ⇒ 1 n

N

X

k=1

|w k − C| ≤ ε 2 .

On peut alors conclure avec l'inégalité de Cesaro

3. Chaque u n construit est strictement positif, la dénition par récurrence peut se pour- suivre indéniment. La stricte positivité des u n permet aussi de dénir les v n

4. On sait que ln(1 + x) ≤ x pour tout x ≥ −1 . La suite (u _n ) _{n∈ N} est donc décroissante et minorée par 0 . Elle converge vers un réel l ∈ [0, u] .

Par continuité de ln , ln(1 + l) = l d'où l = 0 . (tableau de x → ln(1 + x) ) 5. On a bien u _n+1 ∼ u _n car ln(1 + u _n ) ∼ u _n lorsque u _n → 0 .

6. Comme ln ^u

ⁿ⁺¹

_u

n

→ 0 car ^u _u

ⁿ⁺¹_n

→ 1 . On peut écrire : v _n = u ^λ _n

u _n+1 u n

^λ

− 1

!

= u ^λ _n

e ^{λ ln}

^un+1un

− 1

∼ u ^λ _n λ ln u n+1

u n

∼ u ^λ _n λ u n+1

u n

− 1

u _n+1 = ln(1 + u _n ) = u _n − 1

2 u ² _n + o(u ² _n ) ⇒ u _n+1 u n

= 1 − 1

2 u _n + o(u _n )

⇒ u n+1

u n

− 1 ∼ − 1 2 u n . Finalement

v n ∼ − λ 2 u ^λ+1 _n .

7. Pour λ = −1 , la suite (v n ) _n∈N converge vers ¹ ₂ . Par conséquent, v 1 + v 2 + · · · + v n

n → 1

2 . Or

v 1 + v 2 + · · · + v n = u ⁻¹ _n+1 − u ⁻¹ ⇒ u ⁻¹ _n+1 − u ⁻¹ ∼ n 2 .

Comme u ⁻¹ _n+1 → +∞ , la constante u ⁻¹ est négligeable devant u ⁻¹ _n+1 . Négligeons la ! On obtient u ⁻¹ _n+1 ∼ ⁿ ₂ puis

u _n ∼ 2 n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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