Intégration sur un segment (cf programme précédent) Intégrales généralisées

PROGRAMME DE KHÔLLES DE MATHÉMATIQUES semaine 10 (03/12 au 07/12) 2018 - 2019

Intégration sur un segment (cf programme précédent) Intégrales généralisées

1) Intégrale généralisée (a) _:::Sur_::::::::::l’intervalle_:::::borné

i. Définition d’une intégrale généralisée convergente dans le cas d’une fonction continue sur l’in- tervalle borné [a, b[, ou ]a, b] ;

ii. Exemples fondamentaux : Z 1

0

dt

t^α (Intégrales de Riemann) , Z 1

0

lntdt.

iii. Cas d’une fonction prolongeable par continuité enb.

(b) _:::Sur_::::::::::l’intervalle_::::non_:::::borné

i. Définition d’une intégrale généralisée convergente dans le cas d’une fonction sur l’intervalle non borné [a,+∞[, ou ]− ∞, b] ;

ii. Exemples fondamentaux : Z +∞

1

dt

t^α (Intégrales de Riemann) , Z +∞

0

e^−αtdt.

(c) Définition d’une intégrale généralisée divergente.

2) Propriétés sur les intégrales généralisées : (a) Convergence ou divergence de

Z b

a

f(t)dtpar l’étude de la limite d’une primitive def. (b) Relation de Chasles, Intégrales plusieurs fois impropres.

(c) Linéarité, positivité ;

(d) Théorème de changement de variable ;

(e) Intégration par parties(se ramener sur un segment, puis passer à la limite) 3) Intégrales des fonctions positives

(a) Critère de convergence (ex : Z b

a

f(t)dtconverge ssix7→

Z x

a

f(t)dtmajorée) ;

(b) _::::::Critère_:::de::::::::::::comparaison,::::::::::::d’équivalence_:: relation entre la convergence ou la divergence des intégrales def etg sur [a, b[, lorsquef 6gouf ∼

b g au voisinage deb; (Pour f ∼

b g, les étudiants doivent absolument signaler queg de signe constant au voisinage de b) (c) Adaptation de ces critères de convergence au cas des autres intervalles.

(d) _::::::::Propriété_:::de_::::::nullité dans le cas d’une fonction positive, continue sur [a, b[, telle que Z b

a

f(t)dt= 0 4) Intégrales absolument convergentes

(a) Définition d’une intégrale généralisée absolument convergente ; (b) Une intégrale absolument convergente est convergente (Admis) ; (c) Définition d’une intégrale généralisée semi-convergente ; Ex :

Z +∞

0

sint t dt

(d) Comparaison en module à des fonctions réelles positives du type :|f|6g, f ∼g.

TSI 2 ©Thibaut Daverdisse - Lycée Louis Vincent