Pour le lundi 18 novembre 2019 Exercice MPSI : Soient a et b deux réels, a < b. On considère la fonction f : [a, b] −→ [a, b] supposée continue et une suite récurrente (u

Pour le lundi 18 novembre 2019

Exercice MPSI :

Soient a et bdeux réels, a < b. On considère la fonction f : [a, b] −→ [a, b] supposée continue et une suite récurrente(un)ndéfinie par :u0∈[a, b] et pour tout n∈N, un+1=f(un).

1. On suppose ici quef est croissante. Montrer que(u_n)_nest monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l’équationf(x) =x.

2. Application.Calculer la limite de la suite définie par :u₀= 4 et pour tout n∈N, u_n+1=^4u_uⁿ⁺⁵

n+3. 3. On suppose maintenant quefest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones

et convergentes.

4. Application.Soitu0= ¹₂ et pour tout n∈N, un+1= (1−un)².Calculer les limites des suites(u2n)n

et(u_2n+1)_n.

Exercice : Normepde Minkowski Soientp >1etq >1tel que1/p+ 1/q= 1.

1. a. Soity∈R^∗

+ et∆y:x$→lnx−lny

x−y . Montrer que∆y est décroissante surR^∗

+\ {y}. b. En déduire que pour toutx < yréels strictement positifs et toutt∈[0,1],

ln(tx+ (1−t)y)!tln(x) + (1−t) ln(y).

(on dit que la fonctionlnest concave) c. En déduire que poura, b!0,

ab"1 pa^p+1

qb^q Pourx= (x1, . . . , xn)∈Kⁿety= (y1, . . . , yn)∈Kⁿ, on pose :

∥x∥_p=

! _n

"

i=1

|xi|^p

#1/p

et ∥y∥_q=

! _n

"

i=1

|yi|^q

#1/q

2. SoitxetydansKⁿnon nuls. Établir

|x_iy_i|

∥x∥_p∥y∥_q " 1 p

|x_i|^p

∥x∥^p_p+1 q

|y_i|^q

∥y∥^q_q et en déduire

n

"

i=1

|x_iy_i|"∥x∥_p∥y∥_q

3. En écrivant

(|x_i|+|y_i|)^p=|x_i|(|x_i|+|y_i|)^p−1+|y_i|(|x_i|+|y_i|)^p−1 justifier

∥x+y∥p"∥x∥p+∥y∥p

4. Conclure que∥.∥pdéfinit une norme surKⁿ.

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