Fonction d’une variable réelle

(1)

Fonction d’une variable réelle

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

(2)

Fonctions et opérations Fonctions et ordre Propriétés particulières Monotonie

Limites

Limites et opérations Limites et ordre

Limites à gauche et à droite Formes indéterminées

2 Fonction d’une variable réelle, continuité Définition

Continuité et opérations Continuité et composition Prolongement par continuité Fonctions croissantes Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle fermé et borné Fonctions monotones

(3)

Définitions

(4)

Fonction d’une variable réelle Définitions

Fonction d’une variable réelle

Une fonction réelle, de variable réelle est une application d’une partie U de R à valeurs dans R .

Remarque : U est souvent la plus grande partie de R où f est calculable (définie).

(5)

Fonction d’une variable réelle

Une fonction réelle, de variable réelle est une application d’une partie U de R à valeurs dans R .

On écrira :

U ⊂ R ^, ^f ^: ^U 7−→ R x 7−→ f ( x )

(6)

Une fonction réelle, de variable réelle est une application d’une partie U de R à valeurs dans R .

On écrira :

U ⊂ R ^, ^f ^: ^U 7−→ R x 7−→ f ( x )

Remarque : U est souvent la plus grande partie de R où f est calculable (définie).

(7)

Exemples

f : R 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = x ²

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x

U = R + f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = ^p x

(8)

Exemples

f : R 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = x ²

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x

U = R + f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = ^p x

(9)

Exemples

f : R 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = x ²

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x Dans ce cas U = R ^∗ .

On dit souvent « le domaine de définition de f » : D ^f .

(10)

f : R 7−→ R x 7−→ f ( x ) = x ²

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x Dans ce cas U = R ^∗ .

On dit souvent « le domaine de définition de f » : D ^f .

U = R + f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = ^p x

(11)

Fonctions et opérations

(12)

Fonction d’une variable réelle Fonctions et opérations

Somme et produit des fonctions

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On définit :

É La somme :

f + g : U 7−→ R

x 7−→ ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

(13)

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On définit :

É La somme :

f + g : U 7−→ R

x 7−→ ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

É Le produit :

f .g : U 7−→ R

x 7−→ f .g ( x ) = f ( x ) .g ( x )

(14)

O x

log x sin x

(15)

O x

log x sinx

(16)

O x

log x sinx

(17)

O x

log x sinx sin x + logx

(18)

y

O x 1 x

sin x

(19)

y

O x 1 x

sin x sinx

x

(20)

Fonctions et ordre

(21)

Fonction d’une variable réelle Fonctions et ordre

Comparaison des fonctions

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On dit que f est inférieure à g sur U si :

∀ x ∈ U f ( x ) ≤ g ( x )

Remarque : Deux fonctions ne sont pas toujours comparables.

(22)

Fonction d’une variable réelle Fonctions et ordre

Comparaison des fonctions

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On dit que f est inférieure à g sur U si :

∀ x ∈ U f ( x ) ≤ g ( x ) Notation : f ≤ g

(23)

O x

f(x) g(x)

f(x) ≤ g(x)

(24)

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On dit que f est inférieure à g sur U si :

∀ x ∈ U f ( x ) ≤ g ( x ) Notation : f ≤ g

Remarque : Deux fonctions ne sont pas toujours comparables.

(25)

O x

cos x

(26)

O x

cos x x + cos x

(27)

Propriétés particulières

(28)

Fonction d’une variable réelle Propriétés particulières

Parité, imparité, périodicité

Soit U ⊂ R une partie telle que : ∀ x ∈ U, − x ∈ U et f une fonction définie sur U .

On dit que :

É f est paire si : ∀ x ∈ U, f ( − x ) = f ( x )

(29)

Fonction d’une variable réelle Propriétés particulières

Parité, imparité, périodicité

Soit U ⊂ R une partie telle que : ∀ x ∈ U, − x ∈ U et f une fonction définie sur U .

On dit que :

É f est paire si : ∀ x ∈ U, f ( − x ) = f ( x )

É f est impaire si : ∀ x ∈ U, f (− x ) = − f ( x )

(30)

Soit U ⊂ R une partie telle que : ∀ x ∈ U, − x ∈ U et f une fonction définie sur U .

On dit que :

É f est paire si : ∀ x ∈ U, f ( − x ) = f ( x )

É f est impaire si : ∀ x ∈ U, f (− x ) = − f ( x )

É f est T -périodique si : ∃ T ∈ R ^, ∀ x ∈ U : f ( x + T ) = f ( x )

(31)

O x

0

x

−x

0

(32)

O x

0

x

−x

0

(33)

y

x

0

x

0

+ T x

0

+ 2T

(34)

Monotonie

(35)

Fonction d’une variable réelle Monotonie

Fonctions croissantes et décroissantes

Soit f une fonction définie sur U ⊂ R et V ⊂ U, V 6= ∅.

On dit que :

É f est croissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x ≥ y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y )

∀ x, y ∈ V, x > y ⇒ f ( x ) > f ( y )

É f est strictement décroissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x > y ⇒ f ( x ) < f ( y )

(36)

Fonctions croissantes et décroissantes

Soit f une fonction définie sur U ⊂ R et V ⊂ U, V 6= ∅.

On dit que :

É f est croissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x ≥ y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y )

É f est décroissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x ≥ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y )

∀ x, y ∈ V, x > y ⇒ f ( x ) < f ( y )

(37)

Fonctions croissantes et décroissantes

Soit f une fonction définie sur U ⊂ R et V ⊂ U, V 6= ∅.

On dit que :

É f est croissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x ≥ y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y )

É f est décroissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x ≥ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y )

É f est strictement croissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x > y ⇒ f ( x ) > f ( y )

(38)

Soit f une fonction définie sur U ⊂ R et V ⊂ U, V 6= ∅.

On dit que :

É f est croissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x ≥ y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y )

É f est décroissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x ≥ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y )

É f est strictement croissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x > y ⇒ f ( x ) > f ( y )

É f est strictement décroissante sur V si :

∀ x, y ∈ V, x > y ⇒ f ( x ) < f ( y )

(39)

Monotonie et opérations

Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U .

É Si f et g sont croissantes sur U , la somme f + g est croissante sur U

deux décroissantes, si leur composée f ◦ g existe, alors f ◦ g est croissante

É Si une des deux fonctions, f ou g , est croissante et l’autre décroissante et si leur composée existe, alors f ◦ g est décroissante

(40)

Monotonie et opérations

Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U .

É Si f et g sont croissantes sur U , la somme f + g est croissante sur U

É Si f et g sont croissantes sur U et si f et g sont positives sur U , le produit f .g est croissant sur U

É Si une des deux fonctions, f ou g , est croissante et l’autre décroissante et si leur composée existe, alors f ◦ g est décroissante

(41)

Monotonie et opérations

Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U .

É Si f et g sont croissantes sur U , la somme f + g est croissante sur U

É Si f et g sont croissantes sur U et si f et g sont positives sur U , le produit f .g est croissant sur U

É Si f et g sont toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes, si leur composée f ◦ g existe, alors f ◦ g est croissante

(42)

Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U .

É Si f et g sont croissantes sur U , la somme f + g est croissante sur U

É Si f et g sont croissantes sur U et si f et g sont positives sur U , le produit f .g est croissant sur U

É Si f et g sont toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes, si leur composée f ◦ g existe, alors f ◦ g est croissante

É Si une des deux fonctions, f ou g , est croissante et l’autre décroissante et si leur composée existe, alors f ◦ g est décroissante

(43)

Limites

(44)

Fonction d’une variable réelle Limites

Limite en un point

Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I . Soit x

0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I .

( ∈ 6= ₀ et | − ₀ | ≤ ) ⇒ | ( ) − | ≤

On note : lim _x

→ x

0

f ( x ) = ℓ

(45)

Limite en un point

Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I . Soit x

0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I .

On dit que f a pour limite ℓ en x

0 si :

∀ ϵ > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I, x 6= x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

(46)

Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I . Soit x

0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I .

On dit que f a pour limite ℓ en x

0 si :

∀ ϵ > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I, x 6= x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

On note : lim _x

→ x

0

f ( x ) = ℓ

(47)

O x

0

x

`

` + ε

` − ε

2

(48)

O x

0

x

`

` + ε

` − ε

2

(49)

O x

0

x

`

x

0

− α x

₀

+ α

` + ε

` − ε

2

(50)

O x

0

x

`

x

0

− α x

₀

+ α

` + ε

` − ε

x f(x)

2

(51)

O x

0

x

`

x

0

− α x

₀

+ α

` + ε

` − ε

x f(x)

2

(52)

O x

0

x

`

x

0

− α x

₀

+ α

` + ε

` − ε

2

(53)

O x

0

x

`

x

0

− α x

₀

+ α

` + ε

` − ε

4

(54)

O x

0

x

`

x

0

− α x

₀

+ α

` + ε

` − ε

10

(55)

O x

0

x

`

x

0

− α x

0

+ α

` + ε

` − ε

2 ∀ ϵ > 0 , ∃ α > 0 : ( x ∈ I, x 6 = x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

(56)

Remarque : La fonction f n’a pas besoin d’être définie en x

0 pour avoir une limite en x

0 .

x ^x _→0

(57)

Remarque : La fonction f n’a pas besoin d’être définie en x

0 pour avoir une limite en x

0 .

Par exemple, f peut être définie sur un intervalle I =] x

0 , a [ :

∀ x ∈ R ^∗ + , f ( x ) = sin x

x _x lim

→0

f ( x ) = 1

(58)

y

O x 1 x

sin x sinx

x

(59)

Limite finie quand x tend vers + ∞

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou [ a , + ∞ [ ou ] a , + ∞ [ . Soit f : I 7−→ R et ℓ ∈ R

On dit que f a pour limite ℓ quand x tend vers + ∞, si :

∀ ϵ > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≥ r ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

(60)

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou [ a , + ∞ [ ou ] a , + ∞ [ . Soit f : I 7−→ R et ℓ ∈ R

On dit que f a pour limite ℓ quand x tend vers + ∞, si :

∀ ϵ > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≥ r ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

Notation : lim _x _→+

∞

f ( x ) = ℓ

(61)

O x 1 + ε

1 − ε

r

(62)

O x 1 + ε 1 − ε

r

(63)

O x 1 + ε 1 − ε

r

(64)

Limite finie quand x tend vers −∞

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] − ∞ , a [ ou ] − ∞ , a ] . Soit f : I 7−→ R et ℓ ∈ R

On dit que f a pour limite ℓ quand x tend vers −∞, si :

∀ ϵ > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≤ r ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

(65)

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] − ∞ , a [ ou ] − ∞ , a ] . Soit f : I 7−→ R et ℓ ∈ R

On dit que f a pour limite ℓ quand x tend vers −∞, si :

∀ ϵ > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≤ r ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

Notation : lim _x

→−∞

f ( x ) = ℓ

(66)

Proposition : Si une fonction f a une limite, cette limite est unique.

(67)

Unicité de la limite

Démonstration

Supposons que f ait 2 limites différentes, ℓ et ℓ ⁰ , en x

0 | f ( x ) − ℓ | ≤ ₃

Alors :

0 < | ℓ − ℓ ⁰ | ≤ | ℓ − f ( x )| + | f ( x ) − ℓ ⁰ | ≤ ^| ^ℓ ⁻ ₃ ^ℓ

⁰

^| + ^| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

|

3 = ^2| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

| 3

(68)

Unicité de la limite

Démonstration

Supposons que f ait 2 limites différentes, ℓ et ℓ ⁰ , en x

0 | ℓ − ℓ ⁰ | > 0 On pose ϵ = ^| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

| 3 > 0.

Alors :

0 < | ℓ − ℓ ⁰ | ≤ | ℓ − f ( x )| + | f ( x ) − ℓ ⁰ | ≤ ^| ^ℓ ⁻ ₃ ^ℓ

⁰

^| + ^| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

|

3 = ^2| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

| 3

(69)

Unicité de la limite

Démonstration

Supposons que f ait 2 limites différentes, ℓ et ℓ ⁰ , en x

0 | ℓ − ℓ ⁰ | > 0 On pose ϵ = ^| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

| 3 > 0.

∃ α > 0 , ( x ∈ I, | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ^| ^ℓ ⁻ ₃ ^ℓ

⁰

^|

| f ( x ) − ℓ ⁰ | ≤ ^| ^ℓ ⁻ ₃ ^ℓ

⁰

^|

(70)

Supposons que f ait 2 limites différentes, ℓ et ℓ ⁰ , en x

0 | ℓ − ℓ ⁰ | > 0 On pose ϵ = ^| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

| 3 > 0.

∃ α > 0 , ( x ∈ I, | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ^| ^ℓ ⁻ ₃ ^ℓ

⁰

^|

| f ( x ) − ℓ ⁰ | ≤ ^| ^ℓ ⁻ ₃ ^ℓ

⁰

^|

Alors :

0 < | ℓ − ℓ ⁰ | ≤ | ℓ − f ( x )| + | f ( x ) − ℓ ⁰ | ≤ ^| ^ℓ ⁻ ₃ ^ℓ

⁰

^| + ^| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

|

3 = ^2| ^ℓ ⁻ ^ℓ

0

| 3

(71)

Limites infinies

La fonction tend vers + ∞ quand x tend vers x

0 Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I . Soit x

0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I .

0 0

On note : lim _x

→ x

0

f ( x ) = + ∞

(72)

Limites infinies

La fonction tend vers + ∞ quand x tend vers x

0 Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I . Soit x

0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I .

On dit que f a pour limite + ∞ en x

0 si :

∀ A > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I, x 6= x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ f ( x ) ≥ A

(73)

Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I . Soit x

0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I .

On dit que f a pour limite + ∞ en x

0 si :

∀ A > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I, x 6= x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ f ( x ) ≥ A

On note : lim _x

→ x

0

f ( x ) = + ∞

(74)

Limites infinies

La fonction tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] a , + ∞ [ ou ] a , + ∞ ] . Soit f : I 7−→ R

( x ∈ I et x ≥ r ) ⇒ f ( x ) ≥ A

Notation : lim _x _→+

∞

f ( x ) = + ∞

(75)

Limites infinies

La fonction tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] a , + ∞ [ ou ] a , + ∞ ] . Soit f : I 7−→ R

On dit que f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞, si :

∀ A > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≥ r ) ⇒ f ( x ) ≥ A

(76)

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] a , + ∞ [ ou ] a , + ∞ ] . Soit f : I 7−→ R

On dit que f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞, si :

∀ A > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≥ r ) ⇒ f ( x ) ≥ A

Notation : lim _x _→+

∞

f ( x ) = + ∞

(77)

Limites infinies

La fonction tend vers + ∞ quand x tend vers −∞

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] − ∞ , a [ ou ] − ∞ , a ] . Soit f : I 7−→ R

( x ∈ I et x ≤ r ) ⇒ f ( x ) ≥ A

Notation : lim _x

→−∞

f ( x ) = + ∞

(78)

Limites infinies

La fonction tend vers + ∞ quand x tend vers −∞

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] − ∞ , a [ ou ] − ∞ , a ] . Soit f : I 7−→ R

On dit que f tend vers + ∞ quand x tend vers −∞, si :

∀ A > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≤ r ) ⇒ f ( x ) ≥ A

(79)

Soit I , l’un des intervalles : ] − ∞ , + ∞ [ ou ] − ∞ , a [ ou ] − ∞ , a ] . Soit f : I 7−→ R

On dit que f tend vers + ∞ quand x tend vers −∞, si :

∀ A > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : ( x ∈ I et x ≤ r ) ⇒ f ( x ) ≥ A

Notation : lim _x

→−∞

f ( x ) = + ∞

(80)

Limites infinies

La fonction tend vers −∞ ...

On dit que f tend vers −∞

1. quand x tend vers x

0 si : − f tend vers + ∞ 1. quand x tend vers x

0 2. quand x tend vers + ∞ 3. quand x tend vers −∞

(81)

Limites infinies

La fonction tend vers −∞ ...

On dit que f tend vers −∞

2. quand x tend vers + ∞

si : − f tend vers + ∞

1. quand x tend vers x

0 2. quand x tend vers + ∞

3. quand x tend vers −∞

(82)

Limites infinies

La fonction tend vers −∞ ...

On dit que f tend vers −∞

3. quand x tend vers −∞

si : − f tend vers + ∞

1. quand x tend vers x

0 2. quand x tend vers + ∞

3. quand x tend vers −∞

(83)

On dit que f tend vers −∞

1. quand x tend vers x

0 2. quand x tend vers + ∞ 3. quand x tend vers −∞

si : − f tend vers + ∞ 1. quand x tend vers x

0 2. quand x tend vers + ∞ 3. quand x tend vers −∞

(84)

Limites et opérations

(85)

Fonction d’une variable réelle Limites et opérations

Soit f et g deux fonctions et ℓ et ℓ ⁰ deux nombres réels.

On suppose : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ et _x lim _→ _x

0

g ( x ) = ℓ ⁰

0

É _x lim

→ x

0

λ.f ( x ) = λ.ℓ

É Si ℓ ⁰ 6 = 0, lim _x

→ x

0

f ( x ) g ( x ) =

ℓ ℓ ⁰

Proposition identique pour : lim _x _→+

∞

f ( x ) = ℓ et _x lim

→−∞

f ( x ) = ℓ

(86)

Soit f et g deux fonctions et ℓ et ℓ ⁰ deux nombres réels.

On suppose : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ et _x lim _→ _x

0

g ( x ) = ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) + g ( x ) = ℓ + ℓ ⁰

É Si ℓ ⁰ 6 = 0, lim _x

→ x

0

f ( x ) g ( x ) =

ℓ ℓ ⁰

Proposition identique pour : lim _x _→+

∞

f ( x ) = ℓ et _x lim

→−∞

f ( x ) = ℓ

(87)

Soit f et g deux fonctions et ℓ et ℓ ⁰ deux nombres réels.

On suppose : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ et _x lim _→ _x

0

g ( x ) = ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) + g ( x ) = ℓ + ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) .g ( x ) = ℓ.ℓ ⁰

→

₀

g ( x ) ℓ

Proposition identique pour : lim _x _→+

∞

f ( x ) = ℓ et _x lim

→−∞

f ( x ) = ℓ

(88)

Soit f et g deux fonctions et ℓ et ℓ ⁰ deux nombres réels.

On suppose : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ et _x lim _→ _x

0

g ( x ) = ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) + g ( x ) = ℓ + ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) .g ( x ) = ℓ.ℓ ⁰

É _x lim

→ x

0

λ.f ( x ) = λ.ℓ

Proposition identique pour : lim _x _→+

∞

f ( x ) = ℓ et _x lim

→−∞

f ( x ) = ℓ

(89)

Soit f et g deux fonctions et ℓ et ℓ ⁰ deux nombres réels.

On suppose : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ et _x lim _→ _x

0

g ( x ) = ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) + g ( x ) = ℓ + ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) .g ( x ) = ℓ.ℓ ⁰

É _x lim

→ x

0

λ.f ( x ) = λ.ℓ

É Si ℓ ⁰ 6 = 0, lim _x

→ x

0

f ( x ) g ( x ) =

ℓ ℓ ⁰

(90)

On suppose : lim _x _→ _x

0

( ) = et _x lim _→ _x

0

( ) =

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) + g ( x ) = ℓ + ℓ ⁰

É _x lim _→ _x

0

f ( x ) .g ( x ) = ℓ.ℓ ⁰

É _x lim

→ x

0

λ.f ( x ) = λ.ℓ

É Si ℓ ⁰ 6 = 0, lim _x

→ x

0

f ( x ) g ( x ) =

ℓ ℓ ⁰

Proposition identique pour : lim _x _→+

∞

f ( x ) = ℓ et _x lim

→−∞

f ( x ) = ℓ

(91)

Soit f et g deux fonctions.

On suppose : lim _x _→ _x

0

g ( x ) = + ∞

Si est minorée, lim _x

→ x

0

∞

É Si f est minorée par un nombre strictement positif,

x lim → x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

É Si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = 0 et si ∀ x, f ( x ) > 0 : lim _x _→ _x

0

1 f ( x ) = + ∞

É Si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ > 0 : lim _x _→ _x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

(92)

Soit f et g deux fonctions.

On suppose : lim _x _→ _x

0

g ( x ) = + ∞

É _x lim _→ _x

0

1 g ( x ) = 0

x lim → x

0

( ) ( ) = + ∞

É Si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = 0 et si ∀ x, f ( x ) > 0 : lim _x _→ _x

0

1 f ( x ) = + ∞

É Si lim _x

→ x

0

f ( x ) = ℓ > 0 : lim _x

→ x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

(93)

Soit f et g deux fonctions.

On suppose : lim _x _→ _x

0

g ( x ) = + ∞

É _x lim _→ _x

0

1 g ( x ) = 0

É Si f est minorée, lim _x

→ x

0

f ( x ) + g ( x ) = + ∞

É Si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = 0 et si ∀ x, f ( x ) > 0 : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = + ∞

É Si lim _x

→ x

0

f ( x ) = ℓ > 0 : lim _x

→ x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

(94)

Soit f et g deux fonctions.

On suppose : lim _x _→ _x

0

g ( x ) = + ∞

É _x lim _→ _x

0

1 g ( x ) = 0

É Si f est minorée, lim _x

→ x

0

f ( x ) + g ( x ) = + ∞

É Si f est minorée par un nombre strictement positif,

x lim → x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

Si lim _x

→ x

0

0 : lim _x

→ x

0

∞

(95)

Soit f et g deux fonctions.

On suppose : lim _x _→ _x

0

g ( x ) = + ∞

É _x lim _→ _x

0

1 g ( x ) = 0

É Si f est minorée, lim _x

→ x

0

f ( x ) + g ( x ) = + ∞

É Si f est minorée par un nombre strictement positif,

x lim → x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

É Si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = 0 et si ∀ x, f ( x ) > 0 : lim _x _→ _x

0

1 f ( x ) = + ∞

(96)

x → x

0

É _x lim _→ _x

0

1 g ( x ) = 0

É Si f est minorée, lim _x

→ x

0

f ( x ) + g ( x ) = + ∞

É Si f est minorée par un nombre strictement positif,

x lim → x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

É Si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = 0 et si ∀ x, f ( x ) > 0 : lim _x _→ _x

0

1 f ( x ) = + ∞

É Si lim _x

→ x

0

f ( x ) = ℓ > 0 : lim _x

→ x

0

f ( x ) .g ( x ) = + ∞

(97)

Limites et ordre

(98)

Théorème : Soit f une fonction et ℓ un nombre réel.

Si ∀ x, f ( x ) ≥ 0 et si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ , alors : ℓ ≥ 0

(99)

Fonction d’une variable réelle Limites et ordre

Limite d’une fonction positive

Théorème : Soit f une fonction et ℓ un nombre réel.

Si ∀ x, f ( x ) ≥ 0 et si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ , alors : ℓ ≥ 0

Supposons ℓ < 0. On a alors : ℓ <

ℓ 2

< 0 donc : − ℓ 2

> 0.

Pour ϵ = − ℓ

2 , il existe α > 0 qui a la propriété suivante : ( x 6 = x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ = − ℓ 2

(100)

Limite d’une fonction positive

Théorème : Soit f une fonction et ℓ un nombre réel.

Si ∀ x, f ( x ) ≥ 0 et si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ , alors : ℓ ≥ 0

Supposons ℓ < 0. On a alors : ℓ <

ℓ 2

< 0 donc : − ℓ 2

> 0.

Pour ϵ = − ℓ

2 , il existe α > 0 qui a la propriété suivante : ( x 6 = x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ = − ℓ

2 Alors :

ℓ

2 ≤ f ( x ) − ℓ ≤ − ℓ

2 c’est-à-dire : 3 ℓ

2 ≤ f ( x ) ≤ ℓ 2

< 0

(101)

Théorème : Soit f une fonction et ℓ un nombre réel.

Si ∀ x, f ( x ) ≥ 0 et si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ , alors : ℓ ≥ 0

Supposons ℓ < 0. On a alors : ℓ <

ℓ 2

< 0 donc : − ℓ 2

> 0.

Pour ϵ = − ℓ

2 , il existe α > 0 qui a la propriété suivante : ( x 6 = x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ = − ℓ

2 Alors :

ℓ

2 ≤ f ( x ) − ℓ ≤ − ℓ

2 c’est-à-dire : 3 ℓ

2 ≤ f ( x ) ≤ ℓ 2

< 0

Or f est positive...

(102)

Limite d’une fonction positive

Théorème : Soit f une fonction et ℓ un nombre réel.

Si ∀ x, f ( x ) ≥ 0 et si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ , alors : ℓ ≥ 0

Théorème applicable aussi, si lim _x

→ + ∞

f ( x ) = ℓ ou si lim _x

→−∞

f ( x ) = ℓ

(103)

Théorème : Soit f une fonction et ℓ un nombre réel.

Si ∀ x, f ( x ) ≥ 0 et si lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ , alors : ℓ ≥ 0

Théorème applicable aussi, si lim _x

→ + ∞

f ( x ) = ℓ ou si lim _x

→−∞

f ( x ) = ℓ Attention : même si ∀ x, f ( x ) > 0, ℓ ≥ 0

(104)

Limite d’une fonction positive

Corollaire : Soit f et g deux fonctions telles que : f ≤ g . Si : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ et _x lim _→ _x

0

g ( x ) = ℓ ⁰ alors : ℓ ≤ ℓ ⁰

(105)

Corollaire : Soit f et g deux fonctions telles que : f ≤ g . Si : lim _x _→ _x

0

f ( x ) = ℓ et _x lim _→ _x

0

g ( x ) = ℓ ⁰ alors : ℓ ≤ ℓ ⁰

Si f ≤ g, g − f ≥ 0...

(106)

« Théorème des gendarmes »

Théorème : Soit f , g et h trois fonctions et ℓ un nombre réel.

Si f ≤ g ≤ h et si lim _x

→ x

0

f ( x ) = _x lim

→ x

0

h ( x ) = ℓ alors :

x lim → x

0

g ( x ) = ℓ

∀ ϵ > 0 , ∃ α > 0 : ( x 6 = x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ ( | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ et | h ( x ) − ℓ | ≤ ϵ ) Si f ≤ g ≤ h : f ( x ) − ℓ ≤ g ( x ) − ℓ ≤ h ( x ) − ℓ

| g ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

(107)

« Théorème des gendarmes »

Théorème : Soit f , g et h trois fonctions et ℓ un nombre réel.

Si f ≤ g ≤ h et si lim _x

→ x

0

f ( x ) = _x lim

→ x

0

h ( x ) = ℓ alors :

x lim → x

0

g ( x ) = ℓ

∀ ϵ > 0 , ∃ α > 0 : ( x 6 = x

0 et | x − x

0 | ≤ α ) ⇒ ( | f ( x ) − ℓ | ≤ ϵ et | h ( x ) − ℓ | ≤ ϵ )

Si f ≤ g ≤ h : f ( x ) − ℓ ≤ g ( x ) − ℓ ≤ h ( x ) − ℓ

| g ( x ) − ℓ | ≤ ϵ

(108)

« Théorème des gendarmes »

Théorème : Soit f , g et h trois fonctions et ℓ un nombre réel.

Si f ≤ g ≤ h et si lim _x

→ x

0

f ( x ) = _x lim

→ x

0

h ( x ) = ℓ alors :

x lim → x

0

Fonction d’une variable réelle

Fonction d’une variable réelle

Fonctions et opérations Fonctions et ordre Propriétés particulières Monotonie

Limites

Limites et opérations Limites et ordre

Limites à gauche et à droite Formes indéterminées

2 Fonction d’une variable réelle, continuité Définition

Continuité et opérations Continuité et composition Prolongement par continuité Fonctions croissantes Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle fermé et borné Fonctions monotones

Définitions

Fonction d’une variable réelle

Une fonction réelle, de variable réelle est une application d’une partie U de R à valeurs dans R .

Remarque : U est souvent la plus grande partie de R où f est calculable (définie).

Fonction d’une variable réelle

Une fonction réelle, de variable réelle est une application d’une partie U de R à valeurs dans R .

On écrira :

U ⊂ R , f : U 7−→ R x 7−→ f ( x )

Une fonction réelle, de variable réelle est une application d’une partie U de R à valeurs dans R .

On écrira :

U ⊂ R , f : U 7−→ R x 7−→ f ( x )

Remarque : U est souvent la plus grande partie de R où f est calculable (définie).

Exemples

f : R 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = x 2

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x

U = R + f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = p x

Exemples

f : R 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = x 2

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x

U = R + f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = p x

Exemples

f : R 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = x 2

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x Dans ce cas U = R ∗ .

On dit souvent « le domaine de définition de f » : D f .

f : R 7−→ R x 7−→ f ( x ) = x 2

f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = 1 x Dans ce cas U = R ∗ .

On dit souvent « le domaine de définition de f » : D f .

U = R + f : U 7−→ R

x 7−→ f ( x ) = p x

Fonctions et opérations

Somme et produit des fonctions

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On définit :

É La somme :

f + g : U 7−→ R

x 7−→ ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On définit :

É La somme :

f + g : U 7−→ R

x 7−→ ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

É Le produit :

f .g : U 7−→ R

x 7−→ f .g ( x ) = f ( x ) .g ( x )

O x

log x sin x

O x

log x sinx

O x

log x sinx

O x

log x sinx sin x + logx

y

O x 1 x

sin x

y

O x 1 x

sin x sinx

x

Fonctions et ordre

Comparaison des fonctions

Soit f et g deux fonctions définies sur U ⊂ R . On dit que f est inférieure à g sur U si :

∀ x ∈ U f ( x ) ≤ g ( x )

Remarque : Deux fonctions ne sont pas toujours comparables.

U ⊂ R ^, ^f ^: ^U 7−→ R x 7−→ f ( x )

U ⊂ R ^, ^f ^: ^U 7−→ R x 7−→ f ( x )

x 7−→ f ( x ) = x ²

x 7−→ f ( x ) = ^p x

x 7−→ f ( x ) = x ²

x 7−→ f ( x ) = ^p x

x 7−→ f ( x ) = x ²

x 7−→ f ( x ) = 1 x Dans ce cas U = R ^∗ .

On dit souvent « le domaine de définition de f » : D ^f .

f : R 7−→ R x 7−→ f ( x ) = x ²

x 7−→ f ( x ) = 1 x Dans ce cas U = R ^∗ .

On dit souvent « le domaine de définition de f » : D ^f .

x 7−→ f ( x ) = ^p x

É f est T -périodique si : ∃ T ∈ R ^, ∀ x ∈ U : f ( x + T ) = f ( x )