2 ROC
I. Fonction continue en un réel 1°) Définition
I est un intervalle.
f est une fonction définie sur I.
a est un réel fixé dans I.
On dit que f est continue en a lorsqu'elle vérifie les 2 conditions suivantes : C1 : f admet une limite finie en a.
C2 : cette limite finie est égale à f a
.2°) Illustrations graphiques (l’idée de continuité)
a
i j O
f est continue en a (la limite, c’est l’image)
La courbe est tracée sans lever le crayon autour du point d’abscisse a.
a
i j O
f n’est pas continue en a.
C1 est vérifiée mais C2 n’est pas vérifiée.
Attention : le point de coordonnées (a, f (a)) fait bien partie de la représentation graphique de f (notée Cf).
TS La continuité des fonctions (1) (Le langage de la continuité)
f a
Cf
f a
Cf
a
i j O
f n’est pas continue en a.
C1 n’est pas vérifiée et donc a fortiori C2. 3°) Remarque
On peut aussi définir la notion de fonction continue à droite et de fonction continue à gauche de a.
lim
x a x a
f x f a
; lim
x a x a
f x f a
.
Une fonction est continue en a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en a.
II. Mise en œuvre de la définition
1°) Point méthode : comment vérifier qu'une fonction est continue en un réel de son domaine de définition
Présentation en arbre : étude de la continuité d’une fonction f en un réel a de son ensemble de définition
Étude de la limite de f en a
f n’a pas de limite en a f a une limite en a
Cette limite est infinie Cette limite est finie f n’est pas continue en a f n’est pas continue en a Comparaison de cette limite avec f a
lim
x a
f x f a
f est continue en a
lim
x a
f x f a
f n’est pas continue en a
f a
Cf
2°) Exemple
On considère la fonction f définie sur par
2 2
si 0
0 2
x x
f x x
x f
Cette fonction est bien définie sur (on a défini l’image de n’importe quel réel).
La fonction est-elle continue en 0 ?
C1 :
2
0 0 0 0
2 2
lim lim lim lim 2 2
x x x x
x x
x x
f x x
x x
0
lim 2
x f x
C2 : f
0 2D’où
0
lim 0
x f x f
.
Donc f est continue en 0.
III. Fonction continue sur un intervalle 1°) Définition
I est un intervalle.
f est une fonction définie sur I.
On dit que f est continue sur I lorsqu'elle est continue en tout réel a de I.
2°) Illustration graphique
i j O
La courbe est tracée sans lever le crayon sur tout l’intervalle.
En gros, il n'y a pas d'arrêt ni de redémarrage.
3°) Remarque historique
Les fonctions continues constituent une nouvelle classe de fonctions, très importante en analyse.
Historiquement, apparition au début du XIXe siècle (on croyait alors que toutes les fonctions étaient continues).
Les mathématiciens ont alors réfléchi à la notion de continuité.
Parmi eux, BOLZANO qui a trouvé et démontré le théorème des valeurs intermédiaires qui sera étudié dans le chapitre suivant.
Cf
Il a également fabriqué une fonction appelée la fonction diabolique de BOLZANO (ou « escalier de BOLZANO ») qui n’est continue en aucun réel.
4°) Extension de la définition
Lorsque f est définie sur un domaine D qui est la réunion de plusieurs intervalles, on dit que f est continue sur D pour exprimer qu’elle est continue sur tous les intervalles qui constituent D.
IV. Propriétés des fonctions continues
1°) Propriété 1 (opérations algébriques et composition)
La démonstration résulte des opérations algébriques sur les limites.
La somme de deux fonctions continues sur I est continue sur I.
Le produit de deux fonctions continues sur I est continu sur I.
Le quotient d'une fonction continue sur I par une fonction continue sur I, qui ne s'annule pas sur I, est continu sur I.
La composée de deux fonctions continues est continue.
Démonstration pour la somme (ROC)
Pré-requis : règles sur les limites
Hypothèses :
H1 : f est une fonction continue sur I.
H2 : g est une fonction continue sur I.
But : démontrer que fgest continue sur I.
On considère un réel a quelconque dans I.
1 2
H lim H lim
x a x a
f x f a g x g a
donc par limite d’une somme lim
x a f x g x f a g a
.
Ce qui s’écrit encore : lim
x a f g x f g a
.
Donc fg est continue en a.
Comme ceci est vrai pour tout aI, on en déduit que fg est continue sur I.
2°) Propriété 2 (admise sans démonstration)
Toutes les fonctions de référence étudiées jusqu'à maintenant sont continues sur leur ensemble de définition.
3°) Propriété 3
(résulte des propriétés 1 et 2)
Les fonctions polynômes sont continues sur .
Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
V. Commentaires sur les propriétés 1°) Exemple d’utilisation de la propriété 2
La fonction cosinus est continue sur , en particulier en 0.
Donc
0
lim cos cos 0 1
x x
.
2°) La fonction valeur absolue et la fonction racine carrée
La fonction f : x | x | est continue sur .
On notera qu’elle est continue en particulier en 0 bien qu’elle ne soit pas dérivable en 0.
Le lien entre continuité et dérivabilité sera repris plus tard.
La fonction f : x x est continue sur +.
On notera qu’elle est continue en particulier en 0 (à droite) bien qu’elle ne soit pas dérivable en 0 (à droite, ce point sera développé dans le chapitre sur la dérivabilité).
On notera également que le problème de la continuité à gauche en 0 pour la fonction racine carrée ne se pose pas puisque la fonction racine carrée étant définie sur l’intervalle [0 ; + [, elle n’est pas définie à gauche en 0.
3°) La continuité de la fonction inverse La fonction inverse est continue sur *.
N. B. : le problème de la continuité en 0 ne se pose pas.
Le problème de la continuité d'une fonction ne se pose qu'en un réel où la fonction est définie.
La fonction inverse n'est pas définie en 0 donc le problème de la continuité en 0 ne se pose pas.
4°) Point-méthode : comment justifier qu'une fonction est continue sur un intervalle Exemple :
: 2 cos
f xx x Df
u :xx2 est définie et continue sur .
v :xcosx est définie et continue sur .
Donc f uv est continue sur .
f continue en un réel a ?
Il faut étudier la limite de f x
quand x tend vers a et il faut regarder si elle est finie et si elle est égale à
f a .
On adapte pour la continuité à droite et pour la continuité à gauche.
f continue sur un intervalle I (c’est-à-dire continue en tout réel de l’intervalle I) On applique les théorèmes d’opérations (somme, produit, quotient et composée).
Cas particulier : fonctions polynômes et rationnelles.
VI. Fonction partie entière
1°) Définition de la partie entière d’un réel
Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que l’on ait nx n 1. large strict Cet entier relatif n est appelé la partie entière de x.
On le note E
x .On a donc : E
x xE
x 1.2°) Exemples
E 5, 7
5 car 55,76 (la partie entière d’un réel positif correspond à sa troncature* à l’unité) E
3, 6
4 car 4 3, 6 3 E
2 2 car 2 2 1 ** E
3 car 3 4 E
n n pour n car nn n 1* La troncature d’un décimal consiste à couper les décimales du nombre à partir d’un rang donné ; la troncature à l’unité consiste à laisser tomber tous les chiffres après la virgule.
Il faut bien noter que l’expression « partie entière » est employée en 6e pour un nombre décimal positif pour désigner le nombre formé par les chiffres avant la virgule (partie avant la virgule). On emploie également à cette occasion l’expression « partie décimale ».
Le sens coïncide avec évidemment avec celui donné dans ce cours (mais uniquement pour les nombres décimaux positifs).
** Il faut bien se souvenir de la signification pas évidente quand on le voit pour la 1ère fois du symbole (« inférieur ou égal »). Par exemple, on peut bien écrire 2 3 (même si 2 n’est pas égal à 3).
Autre formulation :
La partie entière d’un réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
3°) Caractérisation de la partie entière d’un réel
x
E
n x signifie 1
2
C :
C : 1
n n x n
4°) Sur la calculatrice
Sur calculatrice TI, dans MATH , sélectionner NUM puis Int (« Int » pour « integer » qui veut dire entier en anglais).
TI 83 : aller dans MATH , sélectionner NUM puis partEnt( (abréviation de partie entière).
Attention sur la TI 83, iPart( int( (essayer avec –3,5 : iPart(–3,5) = –3 alors que la partie entière de –3,5 est égale à –4).
Sur CASIO : OPTN puis NUM (la touche F5 ) puis Intg (la touche F5 ).
5°) Propriété importante
Énoncé
x n E
xn
E
x n Démonstration (ROC) Hypothèses
H1 : x
H2 : n
H3 : pE
xBut : démontrer que E
xn
pn.H3 donne pxp1
n pnxn
pn
1Le nombre pnvérifie les deux conditions : C1 : pn est un entier relatif (car p et n) C2 : p n x n
pn
1D’après la caractérisation de la partie entière, on en déduit que E
xn
pn.Donc E
xn
E
x n. E 1, 2 3,9
E 5,1
5 E 1, 2
E 3, 9
1 3 4Il faut que n.
Par exemple, E
x4,5
ne peut être simplifié.6°) La fonction partie entière
Définition
On appelle fonction partie entière la fonction
E : x E x
La fonction partie entière est à valeurs dans .
Représentation graphique
0 ; 1
x
E
x 0
1 ; 2
x E
x 1i j O
La représentation graphique est constituée de segments de droites (semi-fermés à gauche, semi-ouverts à droite). Bien observer les points d’arrêt.
f est une fonction constante par intervalles ou fonction en escalier.
Attention, la représentation graphique de la fonction partie entière observée à l’écran d’une calculatrice graphique présente des segments verticaux : la calculatrice relie, à tort, les points de la représentation graphique où la fonction partie entière présente une discontinuité.
Pour enlever les petits « murs »
- Pour les CASIO
Dans le menu GRAPH, 2de Set up D-Type : Plot - Pour les TI
Aller dans MODE , puis modifier « Connected » en « Dot » (qui signifie « point » en anglais).
Dans ce cas, la calculatrice ne place que les points qu’elle a « calculés », comme on s’en rend compte en lui demandant de tracer la courbe représentative de la fonction carrée.
Pour les TI-82 Stats
Aller dans MODE , puis modifier « Relié » en « Non relié ».
7°) Commentaire sur la continuité de la fonction partie entière La fonction partie entière est continue en tout réel x \ .
La fonction partie entière est continue sur chacun des intervalles ouverts
n n; 1
n
.La fonction partie entière est continue à droite en tout entier relatif n (
x x n n
) mais n’est pas continue à gauche.
Exemple en 0 :
0 ; 1
x
E
x 0.
1; 0
x E
x 1.
E 0 0
0 0
0 0
lim E 0 E 0
lim E 1 E 0
x x
x x
x
x
donc la fonction partie entière est continue à droite en 0 mais n'est pas continue à
gauche en 0.
8°) Partie décimale
x est un réel quelconque.
On appelle partie décimale (ou partie fractionnaire) de x le nombre x – E(x).
Propriété (importante en algorithmique)
x E
x x la partie fractionnaire de x est égale à 0
Un nombre est un entier relatif si et seulement si sa partie fractionnaire est nulle.
