• Aucun résultat trouvé

Cours : Continuité et Dérivabilité

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Cours : Continuité et Dérivabilité"

Copied!
12
0
0

Texte intégral

(1)

! " #

#$ % ! & # #

' ( ) & * * +& ,

& # #

) # * & # *

&

- # . .

* # *& &

) # *

# #

* . . #

/ * * ##

* # 0 # 1

(2)

→ 2 3 & *

044 # # 4 4 4 4

→ * 3 .

044 # # 4 4 4 * 4

044 # # 4 4 4 . 4

!

, # # # * 2

,

! 5 ! +

# # 6

, * #$ %

/ 2 *

* .

# .

" 78 * !

+ # # + #$+% ! 9

' (

5 . 0

1 1

lim ( ) lim ( ) 2

x f x x + f x

= = :

lim ( ) 21

x f x

=

9 :* * # # #$ % ! +

- * . ' # ( 0

; lim ( ) 01

x f x

=

lim ( ) 11 x + f x

= 0 . ##

# "

5 # 0 n x n≤ < +1

5 ! <$ % &

! 5

(0), (5.7), ( ),

E E Eπ E 3

" = # > ?@A

# * . < *

B # & #

$ 0 # # # $

. ##& % * .

*

5 #

2 -1

-2 -3

2

-1 -2

0 1

1

x y

(3)

%&'(

) * +( ,

& )

- +. ,

! , # # # * 5 # 0

• # #

• → #$ % ! #$ % $ * . %

" 5 # #

= 0 # #

% 0

→ ; 0 # ' # * (

' ( * .

( ) sin 1 f x x

= x

/

/ lim ( ) lim ( ) ( )

x a f x x a+ f x f a

= =

= 0 : # * # #

C . & *

* 1

/ $: 7 ,<%

) # " * *

*

) #

* 0

! D # # # 0 ( ) 22 1 0

( ) 1 0

f x x pour x f x x pour x

= + ≤

= + > < 2 6

< 0

# # 0 #$ % ! 9 + ! + x≤0

( ) 2 1 f x = x+

:. 0 # # f x( ) 2= x+1 &

2 #

lim ( ) 2 0 1 10 x f x

= × + =

: 0 # # f x( )=x2+1 &

2 # 2

lim ( ) 00 1 1

x f x

= + =

: lim ( )0 (0)

x f x f

= #

-1 -2

2

-1

0 1

1

x y

(4)

E #

F * * * # # & . D 1

) # #

- . 0

- 0 # * & 1

- ' # ( 0 2G x

x 2Gsinx

x 2Gxsin 1 x 1

% 1

" , # # # 0 → sin( )x x

! F # # A−∞?> A ?>

" # *

# < # 0 ( ) ( ), 0

: (0) 1 f x f x x f f

= ≠

=

! 5 & # #

/ & 0 # # *

" * *

0

sin( )

lim 1

x

x x

= $ *

%

# ) # f # = * #

< 0 .

0 0

sin( )

lim ( ) lim 1

x x

f x x

x

= =

0 0

sin( )

lim ( ) lim 1

x x

f x x

x

+ +

= =

: lim ( )0 (0)

x f x f

= f

H f =

→5 f . #

$ ( *

# * #$ % ! I *

* I

2 -1

-2

2 3

-1 -2

0 1

1

x y

2 -1

-2

2 3

-1 -2

0 1

1

x y

2 -1

-2

2 3

-1 -2

0 1

1

x y

(5)

. . #$ % ! I

J ! I

#

! / k≤0 #$ % ! I

/ IG I #

" / k∈ −] 1.2; 0[ #$ % ! I

/ I! 2+ 9 I! I

, #$ % ! I I

# / k∈]1; 2.4[ #$ % ! I

, #$ % ! I I

( * ! 0 , # # # ! > ? A

• #

• • I #$ % #$ %

> ? A #$ % ! I

% 0 5 I #

. # ! I # # > ? A

! " #

$ % c1 c2 % c1 &

c2 & ' % c1 c2

( c1 c2 c1 c2 ) * % c1 & c2 &

+ (

2

7 # > ? A > ? A I

#

7 # > ? A I #$ % #$ % I

#

= + 2 * I≤

= 2 * I + 9 @

( * " 0 , # # # ! > ? A

, #

I #$ % #$ %

> ? A #$ % ! I

= 0 & & 0 #

K * &

/ 1

(6)

! 3

) & * > ? A A ? > > ? > > ?∞> 1

5 #$ %

#$ % #$ %#$ % 1 4

< x3−3x=3 >29 ?A

/ f x( )=x3− −3x 3 0 # * = f x'( ) 3= x2− =3 3

(

x1

)(

x+1

)

" . 3

0

, >29 ?+A # 3+ #$ % !

*

, >+ ?A $+% # "

$9% #

$ % # * . * $2L% * * $+L%

& DB #$ % ! >+ ?A

< . # >29 ?A

5

7 " / . =

$+% / "

$9% < # " " .

, . ## " #

2 lim ( )

x P x

→−∞ = −∞ lim ( )

x P x

→+∞ = +∞

: / * . * * *

' 6 0 7 #$ % ! I$ # *

1%

→→

→→ 7 1 * * # #

>+ ?+A

#$ % ! + + G ∈> ?+A

L ,

"# $ % & & %

# $

(7)

'

%&'(

-

* 3 .

044 # # 4 4 4 * 4

044 # # 4 4 4 . 4

& 8

/ # 2 * + 6

$+% # * # . * $ ?#$ %%

$9% # * + 0 ## #

2 . ## .

$ % # * + $ 8 %

- + . , , # # # * ∈

, lim ( ) ( )

x a

f x f a x a

# *

5 # $ % 2

' 6

# . * ! # →

#$ % 2 #$ % 0

!#$ % 2 #$ %

2 * #

; ## :$ ?#$ %%

7$ ?#$ %%

1 6 + . ,

E # * # . * :$ ?#$ %%

E # *

G . * :$ ?#$ %%

G 2 . ## A (a ;f(a ))- - - A (a ;f(a ))+ + +

2 -1

2

-1

0 1

1

x y

1 y

0 1

1

x y

(8)

( 0

! 9 0

" !

< * #$ % ! # > ?∞>

# # #$ % !

5 ( ) (0) 1

0

f x f x

x x x

− = =

0

lim 1

x+ x = +∞ # *

: 6 # . *

5 " − .$ → −%

" 9 9 3 1 3 0

" "

, #$ % ! MN− M # = < * +

# # #$ % !

5 #$ %2#$ %

2 ! MMM2+M

0 3 1 /; ;< = 3 /; ;<

→ 2

MMM2+M

! → 2

2 $+2 %

! 2+ →

MMM2+M

! →

$+2 %

! +

# * * . ##

8 +

: 6 # 9 − . ?

.

+ 1

# &

-% *

' >$ 0

; # * # . *

, ## # $ % ( 7< ?+ ,+ ,@ + ,

(9)

)

& & ?

8 3 + ,6 *

% *

<* & #$ % & #$ %

)

- *

, # # * # . D0 ! # $ %$ 2 % #$ %

/ # ( ) ( )

lim '( )

x a

f x f a x a f a

− =

( ) ( )

'( ) ( ) f x f a

f a x

x a− = +ε

Olim ( ) 0

x a ε x =

/ .

( )

'

( ) ( ) '( ) ( )

on améliore l approximation précédente

f x = f a + f a x a− +ε x Olim ( ) 0

x a ε x =

( * &

, # # *

/ * ε( )x & f x( ) f a( )+ f a x a'( )

(

)

: 6 . # * . $ %

& 0 ## #

' 6

) # # # & & .

#$ %

" #

, * 1.0121 P $ * % 6

1.121 6

5

( )

1.0121= +

(

1 0.01

)

21 0 f x( )= +

(

1 x

)

21

# * f x'( ) 21 1=

(

+x

)

20 0 # * *

( )

( ) (0) '(0) 0

f xf + f xf x( ) 1 21≈ + x

7 + 1.0121= f(0.01) 1 21 0.01≈ + × 1.0121≈1.21

: * 1.0121≈1.23239 &

8 1.121= f(0.1) 3.1≈ ) Q@ * RR

( / ,

" 2

, * f

( )

106 O

(

3

)

4

2 1

( ) 1

6 f x x x

x

= + + + +

→5 * &

( )

( ) ( )

3 3

4 4

2 1 2 2

lim ( ) 1 lim lim lim 0

6

x x x x

x x

f x x

x x x

→∞ →∞ →∞ →∞

− + = + = = =

+

) ! + # #

→ 106 # 0 ( f

( )

106 106+ ≈1 106

(10)

&

9 7 6

< ## ∆

:* ∆ ! − $* % ∆ ! − ! #$ % 3 #$ % $* #$ %%

∆∆ ! 0 ( ) ( )0

o

y y f x f x

x a x x

− = −

− −

< → ∆

: * J * 0 # ! ! '( ) di, '( ) dv...

i t v t

dt dt

= =

$ ) -

• P # * * $' (% #

*

• ) # * # $ % # * #

9

, # # # * ∈

%

, # * #

, # * / # ( ) ( )

lim '( )

x a

f x f a x a f a

− =

− ( ) ( )

'( ) ( ) f x f a

f a x

x a = +ε

− Olim ( ) 0

x aε x

= / f x( )= f a( )+ f a x a'( )

(

− +

)

ε( )x O

lim ( ) 0

x a ε x =

< .

→ #$ % ! #$ % #

' 6

) # 0 # 8 8 *

$ #$ % ! MM %

%

? ?

= ' / P ( ' P / (

* 5

1 ( (

(11)

-

$ *% ! *

I∈ = $I % ! I

$ × *% ! * *

$ % ! −+

$+4% !− 4N

$ 4*% ! $ *− *%4*N

$ % ! $ 4 % ! 1 ! +4 N

+ ,?< ? −−−−!

+ ,6

nn

= # RR< *

1 1 '

u

( )

u '

$+% 5

( )

1 2 2

1 '

' ' 1 ' u

u u u

u u

= = − = − # ! 2+

# $ *

( )

12 12 1

2

1 1 ' '

' ' '

2 2 2

u u

u u u u

u u

= = = = +,- + . -+ / 0 1

2

- ?

0 , u= f g 0 →u F .$ % →g =

→u .$ % →g #$.$ %%

. * # * .$ %

%

, . # * # # * F$F . .%

: f g *

(

f g x

)

'( )=g x'( )×f g x'( ( ))

(

f g

)

'= ×g' f g'( )

$ * % .

= # 0

( ) ( ) ( ) ( )

(1) (2)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f g x f g a f g x f g a

f g x f g a g x g a

x a x a g x g a x a

− −

− = = × −

− − − −

% +!,0 S! .$ % :! .$ % $+%

(

( )

) (

( )

)

( ) ( )

( ) ( )

f g x f g a f X f A

g x g a X A

− = −

− −

* S * : $ ## . * %

/ ( ) ( )

lim '( ) ( ( ))

X A

f X f A

f A f g a X A

− = =

− # *

% +",0 * . ( ) ( )

lim '( )

x a

g x g a x a g a

− =

0 ( *

#$ % ! # * # $ % !

= =

= = +

= =

N = = 9

∈ 8 = = −+

+4 =T =T −+4N

> ?∞> A ?∞> +49

, = =

= = −

D =UVπ49 Iπ W =UVπ49 IπW +4 N

(12)

&

$ % ! $ % !− $ % ! 49

$ % ! −+ $+4% ! 2 4N

& & - 3

! + ,

" 1 + 1 6 ,

% ∀ ∈> ?∞> $ %≤

# . ?

B * #

Références

Documents relatifs

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation

Soit f une fonction deux fois dérivables et soit t un réel de l’intervalle

Etudier la dérivabilité de sur f et en particulier en

Si une fonction est dérivable sur , on appelle fonction dérivée la fonction définie sur qui à tout antécédent associe , où est le coefficient directeur de la tangente

Donner l’allure du graphe

I.3.3.. Soit f et g deux fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires sur [a , b].. Donner un exemple de fonction continue f : R −→ R qui atteint chacune de

On dit

Dans chacun des cas suivants, la courbe C est la courbe représentative d’une fonction f définie sur [-1,3]... 4° Dresser le tableau de variations de