TD7 : continuité et dérivabilité sous le signe somme

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Lycée Chrestien de Troyes-PC-mathématiques Page 1

TD7 Intégrales dépendant d’un paramètre : partie II PC

Exercice 10 : Soit f :    une fonction intégrable sur . On appelle transformée de Fourier de f la fonction :

𝑓̂: 𝑥 ⟼ ∫ 𝑓(𝑡)_ℝ 𝑒^𝑖𝑥𝑡 Montrer que la transformée de Fourier de f est continue sur 

Exercice 11 : Soit 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ une fonction monotone. Justifier que pour tout 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], |𝑓(𝑥)| ≤ |𝑓(𝑎)| + |𝑓(𝑏)|

Exercice 12 : Soit

 

^xt

0

g x e dt

1 t

 

 

 



Déterminer le domaine J de définition de g. Puis montrer que g est continue sur J.

Exercice 13 : Soit 𝑓: 𝑥 ↦ ∫ ^𝑒^−𝑡2

𝑥+|𝑡|𝑑𝑡

+∞

−∞ . Montrer que 𝑓 est continue sur ]0, +∞[

Exercice 14 : Soit 𝑔: 𝑥 ↦ ∫₀^+∞^𝑒^−𝑡^{sin (𝑥𝑡)}_𝑡 𝑑𝑡 . 1. Montrer que 𝑔 est C¹ sur 

2. Calculer explicitement 𝑔(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ ℝ

Exercice 15 : Soit 𝑔: 𝑥 ↦ ∫₀^+∞𝑒^−𝑡²cos (𝑥𝑡) 𝑑𝑡 .Calculer 𝑔(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ ℝ Exercice 16 : Montrer que 𝑓: 𝑥 ↦ ∫ cos(𝑥𝑡) 𝑑𝑡₀¹ est C^ sur 

Exercice 17 : (très classique) Le but de ce TD est d’étudier la fonction gamma d’Euler : ¹

0

:x ^t^x^{ }e dt^t





1. Montrer que, que pour x donné, l’intégrale généralisée ¹

0

x t

t e dt

  



converge si, et seulement si, x > 0. La fonction  est donc définie sur ^*_.

2. Montrer que la fonction  est continue sur ^*_.

3. a . Montrer, en intégrant par parties, que :  x  ^*_, (x+1) = x (x) b. En déduire la valeur de (n) pour n  ^*.

c. En déduire que :

 

^x ¹

 x(lorsque x  0)

4. a. Montrer que la fonction  est C^ sur ^*_. Pour tout n  ^*, proposer une expression de ⁽ⁿ⁾ b. Montrer qu’il existe c ]1,2[ tel que ' (c) = 0.

c. Etudier les variations de  sur ^*_ d. Montrer que : ^lim

 

x x

  

5. Donner l’allure du graphe de .