Classe de terminale S
1
Exercices sur les limites – Continuité – Dérivabilité Exercice 1
2 2
2 2
2 2
0 0 3 4
3
Calculer les limites suivantes:
1 2
lim 1 ( 1) ; lim 1 ( 1) ; lim ; lim
1 2
sin tan sin sin 3 5 3
lim ; lim ; lim ; lim ;
1 cos 4
3
x x x x
x x x
x
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x
x π x
π
→∞ →−∞ →∞ → +
→ → → →
− + − −
− + − + − + − +
− − −
− + −
− − −
2
2
lim cos ; lim 3cos
1 sin x
x
x x x
π x →+∞
→ +
−
Exercice 2
0
2
2
2 2
0 2 , 2
1. Déterminer les limites suivantes:
1 cosh 1 1 sin
lim et en déduire lim .
sinh ( ) cos
2
sin 4
lim ; lim ; lim ( 1 5).
1 cos 2
2. On considère la fonction définie s
h x
x x
x
h x x
x x
x x x x
x x
π
π
− +
→ →−
→ − − →±∞
− ⋅ +
+
− + + − − +
− +
3 *
2
( ) sin 1 pour ur par:
( ) 0 pour 0 a- Montrer que est continue en 0.
b- Montrer que est dérivable en 0.
3. Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes en
f x x x
x
f x x
f x
f x
= ∈
= =
=
= ℝ ℝ
0 2
0 0
:
sin 4 sin
( ) si 0 ( ) pour 1
a- sin b- 1
(0) 4 si 0 (1) 0 pour 1
x
x x
f x x f x x
x x
f x f x
π
= ≠ = ≠
−
= = = =
Exercice 3
0
( ) 3 1 si 1 1. Etudier la continuité de la fonction en 1:
( ) 5 7 si 1
( ) 1 2 si 3
2. Montrer que la fonction définie sur [ 1; [ par: 3 est
1 1
( ) si 3
4 2
f x x x
f x
f x x x
f x x x
x
f x x x
= − ≤
=
= − +
= + −
−
− +∞
= − ≤
≻
≻
0
3 2
0
continue sur [ 1; [
3. Montrer que les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en et donner son prolongement:
2 2
a) ( ) si 1
x-1
5 1 3
b) ( ) 2
x
x x x
f x x
f x x
x
− +∞
− − +
= =
= − −
− si 0 2
x =
Classe de terminale S
2 Exercice 4
2 3
3
Calculer la dérivée première des fonctions suivantes:
1 1 cos 3 2
( ) ; ( ) sin (2 1) ; ( ) sin 2 ; ( ) ; ( )
(3 7) sin
x x x
f x f x x f x x f x f x
x x x x
− − +
= = + = = =
−
Exercice 5
Soit la fonction définie par: ( ) 4 2. 1. Déterminer le domaine de définition de .
2. Etudier la dérivabilité de en 2 et en 2. Interpréter géométriquement les résultats.
f f x x x
f f
= − −
− Exercice 6
( ) 1 pour ] ; 0]
On considère la fonction définie par: ( ) : 2
( ) pour ]0; [
2 1. Déterminer le domaine de définition de .
2. Etudier la continuité de sur et en part
f f
f x x x x
f x x
f x x
x f D
f D
= − + − ∈ − ∞
= + ∈ +∞
−
iculier en 0.
3. Etudier la dérivabilité de sur f et en particulier en 0. Interpreter geometriquement les résultats.
x
f D x
=
= Exercice 7 Variation composée
1
21. Etudier les variations de la fonctions définie sur par: ( ) 2
2. Montrer que la dérivée ' de est strictement décroissante sur [ 1;1].Quelle est l'image de [ 1;1] par '?
3. Soit la f
f x x
x
f f f
ϕ
= − +
− −
ℝ
1 sin
2onction définie par: ( ) est un réel de [ ; ].
2 sin 2 2
a- Calculer la dérivée ' de pour .
b- Deduiser de la question 2. qu'il existe un unique réel ]- ; [ tel que '( ) 0.
2 2 c-
t t t I
t t I
ϕ π π
ϕ ϕ
α π π ϕ α
= − = −
+
∈
∈ =
Calculer le valeur exacte de ( ). ϕ α
Exercice 82
Soit la fonction définie sur par: ( ) 2
2
Déterminer les réels , , et sachant que la représentation graphique de dans un repère donné:
* Admet la droite d'équation 2 pour asymp
x ax b
f f x
cx dx
a b c d f
x
+ +
= + −
= ℝ
tote.
* N'admet pas d'asymptote parallèle à l'axe des abscisses.
* Passe par le point A de coordonnées (1 ; 2) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 5.− −
