Dérivabilité

I) Auto-test : Dérivabilité

1. Donner la définition d’une fonction dérivable en a∈R, puis sur un intervalle. Donner une inter- prétation géométrique en termes de pentes.

On dit quef est dérivable enalorsque τ_a : I\{a} → R

x 7→ τa(x) = ^f(x)−f(a)_x−a admet une limite finie quandxtend versa(x6=a).

Si c’est le cas, alors la limite en question est appelé nombre dérivée def enaet notéf⁰(a) Définition(Dérivabilité ponctuelle)

Soitf :I→R

1. On dit quef est dérivable surIlorsque f est dérivable en tout point deIi.e.f ∈ ∩∆

a∈R

Ia(I,R) On note alorsf ∈∆¹(I,R), on peut envisager la fonction

f⁰: I → R

x 7→ f⁰(x) appelé fonction dérivée def.

Définition(Fonction dérivée)

Interprétation géométrique : f(x)−f(a)

x−a est la pente de la corde qui relie les point A(a;f(a))etB(b;f(b))(coefficient directeur) Sif est dérivable ena, alorsf⁰(a)est la “pente limite" de cette courbe quandxtend versa.

2. Donner 3 exemples de fonctions continue non dérivable en zéro pour des raisons différentes.

3. Fonction valeurs absolue

f : R → R

x 7→ |x|

est dérivable surR^∗ mais pas en zéro.

En effet sia6= 0, sia >0alorsf :x7→xdans un voisinage dea, donc dérivable enaetf⁰(a) = 1(cf 2.) Sia <0, alorsf :x7→ −xdans un voisinage dea

Doncf est dérivable enaet f⁰(a) =−1 Sia= 0, soitx6= 0

τ_a(x) = f(x)−f(a) x−a =|x|

x = 1 six >0

−1six <0 Donc∃f_d⁰(x) = 1et∃f_g⁰(x) =−1

D’où le point anguleux.

4.f : R+ → R

x 7→ √

x

4.1.f est dérivable surR^∗+ et∀a >0,f⁰(a) = 1 2√ x

4.2.f n’est pas dérivable en zéro et admet une tangente verticale.

Preuve :

4.1. Soita >0, six6= 0,x >0, alors on pose τa(x) = f(x)−f(a)

x−a

=

√x−√ a x−a

= x−a

(x−a)(√ x+√

a)

= 1

√x+√ a −−−→

x→ax6=0

1 2√

a car√

•est continu en a 4.2. Ena= 0, six >0

τ₀(x) =

√x−√ 0 x−0 = 1

√x −−−−→

x→0⁺ +∞

5.f : R^∗ → R

x 7→ xsin _x¹ ∀x∈R^∗,|f(x)| ≤ |x|

5.1 Montrons quef admet un prolongement continue en zéro (on le note encoref) ? 5.2. Ce prolongement est il dérivable en zéro ?

Réponse :

5.1. Six6= 0 alors0≤ |f(x)|=

xsin 1

x

carsin≤1 Donc par encadrement,f(x)−−−→

x→Ox6=0

0 (limite pointée)

D’où le prolongement continue en zéro obtenu en posantf(0) = 0 5.2.Soitx6= 0. On pose :

τ0(x) =f(x)−f(0)

x−0 = xsin ¹_x

x carf(0) = 0 τ0(x) = sin

1 x

n’a pas de limite en0⁺ (serpent frénétique).

Doncf n’est pas dérivable en zéro.

3. Montrer que si f est dérivable en a, alors f continue en a.

Si f est dérivable enaalorsf est continue ena(sans réciproque) Théorème

Preuve :

(identité de la derivée) f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) + (x−a)ε(x)oùε(x)−−−→

x→a 0 Doncf(x)−−−→

x→a f(a)i.e.f est continue mais pas dérivable en a.

4. Définir C¹(I,R), ∆²(I,R),C²(I,R) puis, pour n∈N^∗, ∆ⁿ(I,R),Cⁿ(I,R) etC^∞(I,R)

On dit quef est de classeC⁰ surIlorsque f est continue sur I Définition

On dit quef est ∆¹ surIlorsque f est dérivable surI Définition

On dit quef est de classeC¹ surIlorsque f est dérivable surI etf⁰ est continue surI Définition

On dit quef est ∆² surIlorsque f est dérivable, etf⁰ est aussi dérivable surI Définition

On dit quef est de classeC², lorsquef est deux fois dérivable etf⁰⁰ est continue.

Définition

On dit quef est de classeCⁿ surI lorsquef estnfois dérivable etfⁿ est continue surI.

Définition

On dit quef est de classeC^∞ lorsquef est infiniment dérivable.

Définition

On dit quef est ∆ⁿ surI lorsquef estnfois dérivable surI On note alorsf ∈∆²(I;R) Définition

5. SAVOIR REFAIRE : soit f : R→R définie par f(x) =







x²sin(¹_x) six6= 0

0 six= 0

Montrer quef est dérivable sur R.La fonctionf⁰ est elle continue en zéro ?

Soitf : R → R

x7→ f(x) =







x²sin ¹₂

si x6= 0

0 si x= 0

1. Montrons quef est dérivable surR.

2. Montrons quef⁰ n’est pas continue en zéro.

Réponse :

Montrons quef est dérivable en zéro. Six= 0, on note :

τ0(x) = f(x)−f(0) x−0

= x²sin _x¹

−0 x−0

= xsin 1

x

0≤τ0(x)≤xcar|sin| ≤1 Donc par encadrementτ0(x)−−−→

x→0˙

0 Ainsif est dérivable en zéro etf⁰(0) = 0

Conclusion :f est dérivable surR, D’où f⁰:R→R 2. Calculonsf⁰(x)pourx6= 0

f⁰(x) = 2xsin 1

x

+x²× −1

x²

cos 1

x

= 2xsin 1

x

−cos 1

x

Remarque : par somme, produit, composition,f⁰ est dérivable surR^∗ Cependant on a vu quexsin _x¹

−−−→

x→0˙

0 maiscos ¹_x

n’a pas de limite en zéro Ainsif⁰ n’a pas de limite en zéro.

En particulierf⁰ n’est pas continue en zéro.

6. Énoncer la formule de Leibniz. Et donner la dérivée k^ième d’un polynôme de degrénpour k≥n

Soitf etg dans∆ⁿ(I,R)(oùn∈N).

On adopte la convention f⁽⁰⁾=f et g⁽⁰⁾=g Alors

(f×g)⁽ⁿ⁾=

n

X

k=0



 n k



f^(k)×g^(n−k) Théorème(Formule de Leibniz)

La dérvée k^ième deϕ:x7→xⁿ (n∈N) Si k > nalors,ϕ^(k)= 0

Si 0≤k < n, alorsϕ^(k)= n!

(n−k)!x^n−k Lemme

Si P est un polynômes de degrésn∈N.

Alors∀k > n, P^(k)= 0et P⁽ⁿ⁾ est une constante.

Lemme(bis)

7. Soit f :I →J bijective et continue. Soit b∈J. A quelle condition sur b la réciproque de f est-elle dérivable en b? Préciser dans ce cas (f⁻¹)⁰(b)

Soitf :I→J bijective et continue,

Soient a∈I etb∈J tqf est dérivable ena Ainsi :

1.f⁻¹ est dérivable enf(a)ssif⁰(a)6= 0.

2.Et si c’est le cas, on a en posantf(a) =b

(f⁻¹)⁰(b) = 1 f⁰[f⁻¹] Théorème

8. Interrogation sur la feuille "dérivées usuelles".

Fonctions Df Dérivée Df⁰

xⁿ(n∈N^∗) R nxⁿ⁻¹ R

x^α(α∈R^∗) R^∗+ αx^α−1 R^∗+

1

xⁿ(n∈N^∗) R^∗ −n

xⁿ⁺¹ R^∗

e^x R e^x R

ln(x) R^∗+

1

x R^∗+

sin(x) R cos(x) R

cos(x) R −sin(x) R

tan(x) R\{π

2 +πZ} 1 + tan²(x) = 1

cos²(x) R\{π 2 +πZ}

arcsin(x) [−1; 1] 1

√

1−x² ]−1; 1[

arccos(x) [−1; 1] −1

√1−x² ]−1; 1[

arctan(x) R

1

1 +x² R

sh(x) R ch(x) R

ch(x) R sh(x) R

th(x) R 1−th²(x) = 1

ch²(x) R

9. SAVOIR REFAIRE : énoncer et prouvé les deux théorèmes de Rolle. Dans quelles circonstances ces théorèmes sont-ils utiles ?

Si f :I→Ret sia∈^◦I,aest dans l’intervalle de Ii.e.an’est pas au bord de I.

Si f est dérivable enaet présente enaun extremum local alors f⁰(a) = 0 Théorème(Rolle A)

Preuve :

Supposons quef admet ena∈I^◦ un maximum local .

aétant intérieur, on dispose deα >0 tq[a−α;a+α]⊂Iet ∀x∈[a−α;a+α], f(x)≤f(a) Soitx∈[a−α;a+α],x6=a

On poseτa(x) =f(x)−f(a) x−a

Sia−α≤x < a, alorsx−a <0 etf(x)−f(a)≤0, doncτ_a(x)≥0 Or,f étant dérivable ena, τ_a(x)−−−−→

x→a⁻ f⁰(a) Donc par passage à la limitef⁰(a)≥0

Sia < x≤a+x, x−a >0 etf(x)−f(a)≤0, doncτa(x)≤0 Or,τa(x)−−−−→

x→a⁺ f⁰(a) Ainsif⁰(a)≤0 Conclusion :f⁰(a) = 0

Soita < bdansRet f ∈C⁰([a;b],R)∩∆¹(]a;b[,R) Si f(a) =f(b), alors∃c∈]a;b[tqf⁰(c) = 0

Théorème(Rolle B)

Preuve :

Par hypothèsef est continue sur le segment[a;b].

Donc (cf cours continuité), elle est bornée et elle atteint ses bornes.

On note doncM = max

[a;b]

(f)et m= min

[a;b]

(f)

D’oùc₁ etc₂ dans[a;b]tqM =f(c₁)etm=f(c₂)

SiM =m, alorsf est constante sur [a;b], doncf⁰ est nulle sur[a;b]

On choisitc=a+b

2 ∈]a;b[. (f⁰(c) = 0) SiM 6=m, alorsM oum est différent def(a) Par exempleM 6=f(a)(et doncm6=f(b)) Doncc16=aetc16=b

Doncf présente enc1un maximum (global) avecc1∈]a;b[

On peut alors appliquer Rolle A.

Ainsif⁰(c1) = 0

10. SAVOIR REFAIRE : énoncé et prouvé le théorème des accroissements finis. Donner l’inégalité en corollaire.

Soient a < bdansRetf ∈C⁰([a;b],R)∩∆¹(]a;b[,R) Alors∃c∈]a;b[tqf(b)−f(a) =f⁰(c)(b−a)

Théorème

Preuve :

On pose une fonction auxiliaireϕ: [a;b] → R x 7→ f(x)−

f(b)−f(a) b−a

x ϕ∈C⁰([a;b],R)∩∆¹(]a;b[,R)

ϕ(a) =f(a)−a

f(b)−f(a) b−a

ϕ(b) =f(b)−b

f(b)−f(a) b−a

ϕ(b)−ϕ(a) =f(a)−f(b)−

f(b)−f(a) b−a

(b−a) = 0 Doncϕ(a) =ϕ(b)

D’après le théorème de Rolle B,∃c∈]a;b[, ϕ⁰(c) = 0 i.e.f⁰(c) =f(b)−f(a)

b−a = 0 i.e.f(b)−f(a) =f⁰(c)(b−a)

Si f⁰ est bornée sur]a;b[, on envisage alors

||f⁰||∞= sup{|f(x)|/x∈]a;b[}

alors|f(b)−f(a)| ≤ ||f⁰||∞|b−a|

Corollaire(même hypothése)

11. Comment montrer qu’une fonction dérivable est lipschitzienne ?

Soient Iun intervalle de Ret f ∈∆¹(I,R)

Supposons que f⁰ est bornée sur I parK >0(i.e.∀x∈I;|f⁰(x)| ≤K) Alorsf estK−lipschitzienne surI i.e.∀(x, y)∈I²,|f(x)−f(y)| ≤K|x−y|

Corollaire

Remarque : Sif ∈C¹([a;b];R)alorsf⁰ est continue sur le segment[a;b], elle est donc bornée.

Ainsi toute fonctionC¹ sur un segment est K-lipschitzienne.

12. SAVOIR REFAIRE : énoncé et prouvé le théorème donnant le sens de variation d’une fonction selon le signe de la dérivée. Donner une CNS pour une stricte monotonie.

SoitI un intervalle deRd’intérieur non vide etf ∈∆¹(I,R)tqf⁰≥0surI Alors :

1.f est croissante surI

2.f est strictement croissante surIssif⁰ ne s’annule sur aucune “véritble" intervalle deI(i.e. d’intérieur non vide).

Théorème

Preuve :

1. Soientx≤y dansI

D’où d’après le théorème des acroissements finis,c∈]x;y[tq f(y)−f(x) =f⁰(c)

| {z }

=0

(y−x)

| {z }

=0

Doncf(x)≤f(y) 2.f est croissante.

f n’est pas strictement croissante ssi il existex < ydansI tqf(x) =f(y=i.e.f est constante sur[x;y]

13. Énoncer le théorème de conditions suffisante de dérivabilité.

Soient a < bdansRetf ∈C⁰([a;b],R)∩∆¹(]a;b[,R) 1. On supposef⁰(x)−−−−→

x→a⁺ `∈R Alorsf est dérivable enaetf<sup>0</sup>(a) =` 2. On suppose|f⁰(x)| −−−−→

x→a⁺ +∞

Alorsf n’est pas dérivable enaet on a une tangente verticale ena.

Théorème(de la limite de la dérivé)

14. SAVOIR REFAIRE : soit(un)la suite récurrente définie paru0= 1etun+1=1

2arctan(un). Montrer que ∀n∈N,0≤un≤2⁻ⁿ

Soitf : R → R x 7→ 1

2arctan(x) Six∈R,f⁰(x) =1

2 1 1 +x² Donc|f⁰(x)| ≤ ¹₂ (K=1

2 <1)

D’après le Théorème d’accroissement finis

∀(x, y)∈R²,|f(x)−f(y)| ≤ ¹₂(x−y) Point fixe :l= 0(arctan(0) = 0) Montrons queun−−−−−→

n→+∞ 0

Soitn∈N,|un+1−0|=|f(un)−f(0)| ≤ 1

2|un−0|

Donc∀n∈N,|un+1| ≤ 1 2|un| ... aqt ...|u_n| ≤

1 2

ⁿ

|u₀| Doncu_n −−−−−→

n→+∞ 0à une vitesse au moins géométrique.