0.4 Étude du signe de la fonction dérivée, du sens de variation et des extrema d’une fonction dérivable

Table des matières

0.1 dérivées des fonctions usuelles . . . 4

0.1.1 activité . . . 4

0.1.2 Tableau des fonctions usuelles. . . 6

0.2 Calcul de la dérivée de la composée du produit et du rapport de deux fonctions dérivable . 6 0.2.1 Calcul de la dérivée de la composée de deux fonctions dérivable . . . 6

0.2.2 calcul de la dérivée du produit et du rapport de deux fonctions . . . 7

0.3 dérivée de la réciproque d’une fonction . . . 10

0.3.1 activité . . . 10

0.4 Étude du signe de la fonction dérivée, du sens de variation et des extrema d’une fonction dérivable . . . 11

0.4.1 Étude du signe la fonction dérivée et du sens de variation d’une fonction dérivable . 11 0.4.2 étude des extrema d’une fonction dérivable . . . 11

0.5 détermination du plus grand ensemble sur le quel une fonction est dérivable . . . 12

0.5.1 Activité . . . 13

0.5.2 Activité . . . 13

0.5.3 Produit de fonctions . . . 13

0.5.4 composée de fonctions . . . 13

0.6 Quelques applications de la fonction dérivée . . . 14

0.6.1 Savoir modéliser un contexte de mouvement et présenter la vitesse comme une fonction dérivée . . . 14

0.6.2 modélisation du contexte où la dérivée est une densité. . . 14

0.7 exercices d’applications . . . 15

0.7.1 calcul de dérivée . . . 15

0.7.2 dérivée de la réciproque . . . 15

0.7.3 dérivée de la composée . . . 15

0.7.4 dérivée d’ordre n . . . 16

0.7.5 Fonctions puissance, Logarithme et Exponentielle . . . 16

0.7.6 Autres . . . 17

0.8 bibliographie et webographie . . . 19

FONCTION DÉRIVÉE

Dénomination des contributeurs.

Nom de l’étudiant: Fouenang Wamba carole Joelle.

Nom de l’encadreur de l’ENS: PR. Lawrence Diffo Lambo.

Nom de l’inspecteur : Mounchingam Abdou Sulan.

Nom de l’encadreur de lycee: Tchokona Donatien.

Objectifs pédagogiques.

Objectif pédagogique général : Familiariser l’élève avec le calcul pratique des dérivées, avec les contextes où intervient l’étude de la fonction dérivée et où celle ci joue un rôle important.

Objectif pédagogique spécifique 1: connaître les dérivées des fonctions usuelles.

Objectif pédagogique spécifique 2 :

Savoir calculer la dérivée du produit du rapport et la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables.

Objectif pédagogique spécifique 3 :

Savoir calculer la dérivée de la réciproque d’ une fonction dérivable

Objectif pédagogique spécifique 4 :Etude du signe de la fonction dérivée d’une f onction dérivable, du sens de variation et détermination des extremums d’une fonction dérivable.

Objectif pédagogique spécifique 5 :Savoir reconnaitre le plus grand ensemble sur lequel une fonction est dérivable.

objectif pédagogique spécifique 6: Quelques applications de la fonction dérivée

Introduction

La fonction x 7−→ f⁰(x) appelée fonction dérivée d’une fonction dérivable joue un rôle important. Son signe permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante, les intervalles où la fonction est décroissante et les intervalles où la fonction est constante.

Dans ce cours, nous accorderons une attention particulière aux calculs pratique quand on veut déterminer l’expression de la fonction dérivée.

En outre, nous apprendrons à étudier le signe de la fonction dérivée, à nous en servir pour étudier la fonction elle même et à reconnaitre le plus grand ensemble sur le quel une fonction est dérivable.

pré requis

-Savoir statuer sur la dérivabilité dans les cas usuelles : fonctions polynômes, fonctions rationnelles, fonctions trigonométriques, fonctions puissance...

-Savoir établir la dérivabilité par un calcul de limite -être apte au calcul littéral.

Test de pré-requis : Test 1 :

calculez les limites suivantes : a−lim

x→1

√

3x²+1−2

x−1 b−lim

x→0

sin³(x)−2

x² c−lim

x→0 tan²x

x d− lim

x→+∞

x+cosx 3+cosx

e− lim

x→−∞

x+cosx

3+cosx f − lim

x→−1 x+1

x²−1 g−lim

x→3

√x+1−2

√ x²−x−6

Test 2:déterminez les domaine de continuité, puis de dérivabilité des fonctions suivantes.

a−f(x) =√

1−x² b−g(x) =|2x−5|

c−h(x) = ^sinx+1

sin²x+1 d−l(x) =√

tan²x+ 1

cours

0.1 dérivées des fonctions usuelles

0.1.1 activité

activité 11-Considérons la fonction

f : R → R x 7→ x²

f est dérivable sur R.calculons le nombre dérivée en un point x_o de ce domaine . Soit x0 ∈R,x∈Rx6=x0 alors, f(x)−f(x0)

x−x0

= x²−(x0)² x−x0

=x+x0 pour tout x∈R\ {x_o}. Donc f⁰(x0) = lim

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

= lim

x→x0

x+x0 = 2x0

On dit que la fonction x7→2x est la fonction dérivée def(x) =x² ou encore f⁰(x) = 2x.

2-Considérons la fonction

f : R → R x 7→ x³

f est dérivable sur R. Calculons le nombre dérivée en un pointx de ce domaine .

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h .

f(x+h)−f(x)

h = (x+h)³−x³ h

= x³+ 3x²h+ 3xh²+h³−x³ h

= x³+h(3x²+ 3xh+h²)−x³

= 3x²+ 3xh+hh². Donc

f⁰(x) = lim

h→0(3x²+ 3xh+h²) = 3x². 3-Considérons la fonction

f : R⁺ → R x 7→ √

x

f est dérivable sur R^∗+. Calculons le nombre dérivée en un pointx_o de ce domaine . Soit x∈R⁺ ,x6=x₀.

f(x)−f(x0) x−x₀ =

√x−√ x₀ x−x₀

=

√x−√ x0

(√ x−√

x₀)(√ x+√

x₀)

= 1

√x+√ x0

donc f⁰(x₀) = lim

x→x₀

√ 1 x+√

x₀ = 1 2√

x₀ activité 2

1-Considérons la fonction

f : ]−^π₂;^π₂[ −→ R x 7→ sinx

f est dérivable sur ]−^π₂;^π₂[. Calculons le nombre dérivée en un pointx de ce domaine . Soitx∈]−^π₂;^π₂[alors, ∀h6= 0,

sin(x+h) + sinx

h = sin (^(h+2x)₂ +^h₂)−sin (^(h+2x)₂ − ^h₂) h

= sin^(h+2x)₂ cos^h₂ + sin^h₂ cos^(h+2x)₂ −sin^(h+2x)₂ cos^h₂ + sin^h₂cos^(h+2x)₂ h

= 2 sin^h₂cos^(h+2x)₂ h

= sin^h₂cos^(h+2x)₂

h 2

f⁰(x) = lim

h→0

sin(x+h)−sinx

h = lim

h→0

sin^h₂cos^(h+2x)₂

h 2

= cosx 2-Considérons la fonction

f : ]− ^π₂;^π₂[ → R x 7→ tanx

f est dérivable sur]−^π₂;^π₂[calculons le nombre dérivée en un pointxde ce domaine. Soit h∈R,h6= 0.

tanx+h+ tanh

h = sin (x+h) cosx−cos (x+h) sinx hcos (x+h) cosx

= sinx+h−x hcosx+hcosx

= sinh h

1 cosx+hcosx Finalement,

f⁰(x) = lim

h→0

tan(x+h)−tanx

h = 1

cos²x Définition 1.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle K.

On appelle fonction dérivée def la fonctionf⁰ définie par : f⁰ : K → R

x₀ 7→ f⁰(x₀)

Un calcul similaire nous permet de déterminer les dérivées des fonctions usuelles suivantes.

0.1.2 Tableau des fonctions usuelles.

Fonctions Dérivées Domaines de dérivabilité

x7→c,{c∈R} x7→0 R

x7→ax{a∈R} x7→a R

x7→x^r {r ∈Q^∗} x7→rx^r−1 R

x7→ 1

x^r {r∈Q^∗} x7→ −r

x^r−1 ]−∞; 0[ou ]0; +∞[

x7→√

x x7→ ¹

2√

x ]0; +∞[

x7→sinx x7→cosx R

x7→cosx x7→ −sinx R

x7→tanx x7→ _cos¹2x

−^π₂ +k;^π₂ +k , k∈Z

x7→cotx x7→ − ¹

sin²x ]kπ;π+kπ[, k∈Z exercice d’application :

application 1

Démontrez les résultats obtenu dans le précédent tableau.

application 2

On se propose de calculerA₃ = 1 + 2×3 + 3×3²+ 4×3³+ 5×3⁴+ 6×3⁵+...+ 16×3¹⁵+ 17×3¹⁶. 1-Remplacer le chiffre 3 situé à la fin de chaque terme de A parx. (Le premier terme s’écrit1×3⁰). On obtient Ax

2-Remarquer queA_x est la dérivée d’une fonction gque l’on déterminera.

3-Ecrireg avec le symbole P

(somme).

4-Exprimer g comme le rapport de deux fonctions polynôme. (On remarquera que g est la somme des 17 premiers termes d’une suite géométrique)

5-Calculer la dérivée deg,y remplacerxpar 3 et conclure.

0.2 Calcul de la dérivée de la composée du produit et du rapport de deux fonctions dérivable

0.2.1 Calcul de la dérivée de la composée de deux fonctions dérivable activité

1- Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert K et g une fonction dérivable sur un intervalle contenantf(K).Montrer que

(f◦g)⁰(x) = lim

h→0

f◦g(x+h)−f◦g(x) g(x+h)−g(x) g⁰(x)

2-Poserl=g(x+h)−g(x). Montrez que f ◦g(x+h)−f ◦g(x)

g(x+h)−g(x) = f(g(x) +l)−f(g(x))

l et en déduire

que

(f◦g)⁰(x) =g⁰(x)f⁰◦g(x) Solution

1)

(f ◦g)⁰(x) = lim

h→0

f ◦g(x+h)−f ◦g(x) h

= lim

h→0

f(g(x+h))−f(g(x)) h

= lim

h→0

g(x+h)−g(x) h

f(g(x+h))−f(g(x)) g(x+h)−g(x)

= lim

h→0

g(x+h)−g(x)

h lim

h→0

f(g(x+h))−f(g(x)) g(x+h)−g(x)

=g⁰(x) lim

h→0

f(g(x+h))−f(g(x)) g(x+h)−g(x) 2) lim

h→0g(x+h)−g(x) = 0. Posonsl=g(x+h)−g(x). On ag(x+h) =g(x) +l. En remplaçant ces valeurs dans le résultat de la première question, on obtient :

(f◦g)⁰(x) =g⁰(x) lim

l→0

f(g(x+l))−f(g(x))

l =g⁰(x)f⁰(g(x)) =g⁰(x)f⁰◦g(x) Propriété 1. (Dérivée de la composée)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert K et g une fonction dérivable sur un intervalle contenant f(K). Alors la fonction composée def parg notéeg◦f est dérivable sur K et ∀^x_K (g◦f)⁰(x) = f⁰(x)·g⁰◦f(x).

Exemple 1. Considérons la fonction

h: R^∗+ → R^∗+

x 7→ sin(x²)

h est la composée de la fonction f :x7→x² par la fonctiong:x7→sinx. f est dérivable surR, f(R) =R⁺, g est dérivable sur R etR⁺⊂R. Ainsi g◦f est dérivable surR et pour toutx∈R,

h⁰(x) = (g◦f)⁰(x) = 2x·cos(x²) = 2xcos(x²).

Exemple 2. Considérons les fonction :

f : R → ]−1; 1[

x 7→ sinx et

g: R^∗+ → R^∗+

x 7→ ₁₈₀^Πx On pose SIN(x) =f◦, g(x) = sin₁₈₀^Π x calculons (SIN)⁰ : SIN⁰(x) =g⁰(x) cos₁₈₀^Π x= ₁₈₀^Π cos₁₈₀^Π x.

Remarque :la fonction SIN n’est autre que la fonction sin avec l’angle pris en degré.

0.2.2 calcul de la dérivée du produit et du rapport de deux fonctions activité : soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle k.

a-Exprimez la dérivée f.g en fonction de f,g,f’,et g’

b-On suppose quef(x₀) non nul.

Montrez que

(1

f)⁰(x0) = −f(x0) f²(x)

c-En déduire que

(f

g)⁰= f⁰g−f g⁰ g² .

solution :

a-

(f.g)⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x) h

= lim

h→0

f(x+h)(g(x+h)−g(x)) +g(x)(f(x+h)−f(x)) h

= lim

h→0

f(x+h)(g(x+h)−g(x))

h +g(x)(f(x+h)−f(x)) h

=f(x)g⁰(x) +g(x)f⁰(x).

b- (1

f)⁰(x₀) = lim

x→x₀

1

f(x)− 1 f(x−0) x−x₀

= lim

x→x0

f(x−0)−f(x) f(x).f(x−o)

(x−x0)

= lim

x→x₀

f(x₀)−f(x) f(x).f(x₀)(x−x₀)

= lim

x→x₀

f(x0)−f(x)

(x−x₀) × 1 (f(x−0))²

= −f⁰(x0) (f(x₀))². Il en résulte que(1

f)⁰= −f⁰ f²

c- (f

g)⁰(x0) = (f.1 g)⁰(x0)

= f⁰(x0)× 1

g(x0) +f(x0)×(1 g)⁰(x0)

= f⁰(x0)

g(x0) −g⁰(x0)f(x0) (g(x0))²

= f(x₀)⁰g(x₀)−f(x₀)g(x₀)⁰ g(x0)² . Propriété 2. (Dérivée du produit)

Soient u etv deux fonctions dérivables sur un intervalle ouvertK. La fonction uv est dérivable surK et a pour dérivée (uv)⁰ =u⁰v+uv⁰.

Propriété 3. (Dérivée du rapport)

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle ouvert K tel que ∀^x_K, v(x) 6= 0; la fonction u v est dérivable sur K et a pour dérivée (u

v)⁰ = u⁰v−uv⁰ v² . Exemple 3. f(x) =x√

x f⁰(x) =x⁰√

x+x(√

x)⁰= 1√

x+ ₂^√x_x g(x) = 2x+ 1

g⁰(x) = (2x) + (1)⁰ = 2⁰(x) + 2x⁰ = 2 car(1)⁰ = 0.

Exemple 4. f(x) = 2x−1

x+ 1 , D_f =R\ {−1}.

f⁰(x) = (2x−1)⁰(x+ 1)−(2x−1)(x+ 1)⁰ (x+ 1)²

= 2x+ 2−2x+ 1 (x+ 1)²

= 3

(x+ 1)². g(x) = 1

xⁿ.

g⁰(x) = (1)⁰xⁿ−1(xⁿ) (xⁿ)² g⁰(x) = −1nxⁿ⁻¹

(xⁿ)² g⁰(x) = −nxⁿ⁻¹

(xⁿ)² g⁰(x) = −nxⁿ⁻¹

x⁽n+ 1)x⁽n−1). g⁰(x) = −n

(xⁿ⁺¹).

Exercices d’application Application 1

Soitf la fonction définie par f(x) = x−3 x+ 5

1-Déterminer sa fonction dérivée sur son ensemble de dérivabilité.

2-Utiliser la dérivée de la composée de deux fonctions pour déterminer l’ensemble de dérivabilité et les dérivées des fonctions suivantes ;

a−x7−→ x³−3 x³+ 5 b−x7−→(x−3

x+ 5)³ c−x7−→ sinx−3 sinx+ 5 Application 2

Soit f la fonction définie parf(x) = 2x(x+ 1)ⁿ 3(x+ 3)^m

1-Ecriref comme rapport de deux fonctions dérivable surR. 2-Déterminer le domaine de dérivabilité def et calculer sa dérivée Application 3

Déterminer la dérivée des fonctions : a−x7−→ 5

(x³+ 5)3 b−x7−→p

(x²+ 1)³ C−x7−→ 1

x³+ 1 Application 4

f est une fonction dérivable en x=3 et vérifief⁰(3) = 5. On pose g(x) =f(2x+ 1) Montrer queg est dérivable enb= 1 et calculerg⁰(1)

Application 5

Une fonctionf, définie et dérivable sur Rvérifie sinf(x) +x= 1∀x∈R. Calculerf⁰(2)

Cas des fonctions logarithme,exponentielle et puissance

cette partie sera abordée après l’étude des fonctions logarithme, exponentielle et puissance. Soit f : x7−→lnx . f est dérivable sur]0; +∞[et sa dérivée est la fonction x7→ _x¹.

Soitg:x7−→expx.g est dérivable sur Ret sa dérivée est la fonctionx7→expx.

Soita∈R^∗+ la fonctionh:x7−→a^x est une fonction qui s’écrit comme composée degetx7→xf(a) car a^x= expxlna.

En appliquant la formule de dérivation de la composée de deux fonction l’on obtient : h⁰(x) = lnaexpxlna.

Exemple : Calculez les dérivées des fonctions F :x7→x5^x etG:x7→ ^exp(2x)_x10

F⁰(x) = exp (xln 5) +xln 5 exp (xln 5)

=exp (xln 5)(1 +x)

=(1 +x)5^x

G⁰(x) = 2 exp (2x)x¹⁰−10x⁹exp (2x) (x¹⁰)²

=x⁹exp (2x)(2x+ 10) x²⁰

=exp (2x)(2x+ 10) x¹¹ . Soitx∈R^∗+

la fonction p : x 7−→ x^x est une fonction qui s’écrit comme composée de g et x 7→ xf(x) car x^x = expxlnx.

En appliquant la formule de dérivation de la composée de deux fonction l’on obtient : p⁰(x) = (xlnx)⁰expxlnx= (lnx+ 1)x^x.

0.3 dérivée de la réciproque d’une fonction

0.3.1 activité

1-Soit f la fonction définie de ]−Π 2 ;Π

2[ vers ]-1 :1[ par f(x) = sinx.f est une bijection dérivable sur ]− Π

2;Π 2[.

Soitg sa bijection réciproque alors,g est tel que∀y∈]−1 : 1[,sin(g(y)) =y D’oùg⁰(y) cosg(x) = 1i.e g⁰(y) = 1

cos(g(y)) = 1

p1−(sing(y))² = 1 p1−y². 2-Soith la fonction définie de ]− Π

2;Π

2[vers Rparh(x) = tanx . h est bijective de ]− Π 2;Π

2[ vers R. Calculons la réciproque g de h

gest tel que ∀x∈Rg⁰(x)(1 + (tang(x))²) = 1 i.e g⁰(x) = 1

1 + (tang(x))² = 1 1 +x². Plus généralement on a :

Propriété 4. (Dérivée de la réciproque)

Soit f une fonction dérivable strictement monotone sur une intervalle ouvert K tel que pour tout x ∈ K, f⁰(x)6= 0.

– La fonctionf réalise une bijection deK vers f(K).

– La bijection réciproquef⁻¹ est dérivable surf(K) et on a (f⁻¹)⁰ = 1 f⁰◦f⁻¹. Exercice d’application :

Application 1

Soitf la fonction définie sur R⁺ parf(x) =x³

1-Montrer quef admet une bijection réciproque sur son domaine de définition.

2-Démontrer quef⁻¹ est dérivable sur son ensemble de définition et déterminer sa dérivée.

Application 2

Soitg la fonction définie sur ]−π;π]parf(x) = sin^x₂ 1- Démontrer quef est une bijection dérivables sur]−π;π]

2-Justifier quef⁻¹ est dérivable sur ]−1; 1[.

Application 3

Soitf la fonction de [0, π]versR définie parf(x) =cotanx= ^cos_sinx^x 1-Démontrer quef admet une fonction réciproque f⁻¹

2-Démontrer quef⁻¹ est dérivable sur son ensemble de définition et déterminer la dérivée def⁻¹

0.4 Étude du signe de la fonction dérivée, du sens de variation et des extrema d’une fonction dérivable

0.4.1 Étude du signe la fonction dérivée et du sens de variation d’une fonction déri- vable

Theorème 1. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert K :

– Sif⁰ est strictement positive sur K alors f est strictement croissante sur K.

– Sif⁰ est strictement négative sur K, alors, f est strictement décroissante sur K.

– Sif⁰ est nulle surK alors f est constante surK.

– Sif admet un extremum ena, alors, f⁰(a)=0.

Quelques exemples illustratifs

Nous allons étudier les signes des dérivées de quelques fonctions

Sif⁰est un polynôme de premier degré,f⁰(x) =ax+bavec (a6= 0), alors on résoutax+b >0c’est-a-dire x >−b

a sia >0etx <−b

a sia <0 sia >0 on a le tableau :

x −∞ −b

a +∞

f(x) − 0 +

Sif⁰ est un polynôme de degré strictement supérieur a 2, on détermine les racines de f⁰ et l’on conclut à partir de son tableau de signe.

Sif⁰ est un quotient ou un produit, l’on utilise la règle du signe d’un quotient ou d’un produit.

sif⁰(x) = exp(−3x) : expu est toujours positif donc f⁰ est positif.

Sif⁰(x) = 2xexp(−x)−x²exp(−x)

On factorise :f⁰(x) =xexp(−x)(2−x).expuest toujours positif donc le signe def⁰ dépend entièrement de celui de x(2−x).

(2−x)≥0⇔(x≤2). On obtient le tableau de signe suivant :

x −∞ 0 2 +∞

x − + +

(2−x) + + −

f⁰(x) − + −

Remarque :Il peut arriver que la dérivée soit plus complexe et l’étude de son signe nécessite l’étude d’une fonction auxiliaire. Par exemple si l’étude de la fonction dérivée g conduit au tableau de variation suivant :

x −∞ x₀ +∞

g⁰(x) + −

g(x) % g(x₀) &

Et sig(x₀)≤0, on peut en déduire que g est négative carg(x₀)est le maximum de g.

0.4.2 étude des extrema d’une fonction dérivable Activité

On considère les fonctionsf etg définies surR par :

f(x) =x³−3x+ 3 et g(x) = x²−1 x²+ 1. 1-a Donnez le domaine de définition de f et le domaine de définition deg.

1-b dressez le tableau de signes de [f(x)−f(1)], et le tableau de signes de[f(x)−f(0)].

1-c Donnez un intervalle ouvert contenant 1 sur lequel on a [f(x)−f(1)] ≥0 pour tout x. Que peut-on dire def(1)?

1-d peut-on trouver un intervalle ouvert contenant 0sur lequel on a[f(x)−f(0)]≥0? 2-a Etudiez le signe de [g(x)−g(0)] surR.

2-b Que peut-on dire de g(0)?.

Plus généralement on a la définition suivante : Définition 2.

Soitf :R−→R une fonction et aun réel tel que f est définie en a.

• On dit que la fonction f admet un minimum local ena s’il existe un intervalle ouvert I contenant a, tel que f est définie sur I et tel que pour tout x∈I, on a f(x)≥f(a).

• On dit que f admet unmaximum local ena s’il existe un intervalle ouvert I contenant a,tel que f est défini sur I et tel que pour tout x∈I, on a f(x)≤f(a).

Exemple 5.

On considère la fonction f définie sur R parf(x) = 2x²+ 2.

On a : f(0) = 2 et ∀x∈]− ∞; +∞[, f(x)−f(0) = 2x²≥0.

Ainsi, f(x)≥f(0) ∀x∈]− ∞; +∞[. Donc la fonctionf admet un minimum local 0.

Remarque:

Si pour tout x tel que f soit définie en x on a f(x) ≤f(a) (respectivement f(x) ≥f(a)), alors on dit que f admet un maximum global (respectivement minimum global) ou tout simplement maximum (respectivement minimum : c’est le cas de l’exemple précédent).

proposition :

Si une fonctionf admet un extrémum local en aet sif est dérivable ena, alors f⁰(a) = 0 . preuve:

On suppose par exemple que f admet un maximum local en a. Il existe donc un intervalle ouvert I contenantatel que f soit définie sur I et tel que f(x)≤f(a) ∀x∈I.

1. Si x∈I tel que x > a, alors

f(x)−f(a)

x−a ≤0. (1)

2. Si x∈I tel que x < a, alors

f(x)−f(a)

x−a ≥0. (2)

f étant dérivable en a, on a :

x7→alim

f(x)−f(a)

x−a =f⁰(a).

En passant à la limite dans (1) et (2), on obtient respectivement limx7→a

x>a

f(x)−f(a)

x−a ≤0 et lim

x7→a

x<a

f(x)−f(a) x−a ≥0 Par suite on obtient f⁰(a)≤0 etf⁰(a)≥0. D’oùf⁰(a) = 0.

Remarque

La réciproque de la proposition précédente est fausse. C’est-à-dire, une fonction dérivable enaet vérifiant f⁰(a) = 0 n’admet pas nécessairement un extrémum local en a.

Exemple 6. On considère la fonction f :x7−→(x+ 2)³.

1. Étudiez la dérivabilité de f en −2 et vérifier que f⁰(−2) = 0.

2. Étudiez les variations def et conclure.

0.5 détermination du plus grand ensemble sur le quel une fonction est dérivable

Dans cette partie , nous nous contenterons de déterminer le plus grand ensemble sur lequel une fonction est dérivable.

0.5.1 Activité

Soit f la fonction définie parf(x)=(x−5)(x−E(x)) On pose a=²₃.

1-vérifier si f est continue en a.

2-Soit I=]1; 2[.conaîssant la valeur de E(x) dans cet intervalle donner l’expression de f sans E(x) dans cet intervalle.

3-Que peut-on dire de la continuité en ²₃.

4-D’une manière analogue,vérifier que f est continue en ⁷₃

5-Soitn∈N;n6= 5.Donner une expression de f dans l’intervalle ]n−1;n[et dans l’intervalle ]n;n+ 1[

sans utiliser la partie entière. Utiliser ces deux expressions pour étudier la continuité de fen n.

6-Déterminer le plus grand ensemble sur le quelf est dérivable. (Remarquer que si f n’est pas dérivable en un point alors f n’est pas continue en ce point.)

0.5.2 Activité

soitf la fonction définie parf(x) = (x−5)(x−E(x)) six≥5 etf(x) = (x−5)²six≺5 a-Quel est le domaine de définition de f ?

b-Etudier la dérivabilité def enx∈]− ∞; 5[.

c-Etudier la dérivabilité def en5

d-Etudier la dérivabilité def enx∈]− ∞; 5[\N e-Etudier la dérivabilité def sur]5; +∞[T

N

f-En déduire que le plus grand ensemble sur lequelf est dérivable estR(]5; +∞[T N. Remarque :

Cet ensemble s’écrit aussiR(]6; +∞[T N. 0.5.3 Produit de fonctions

considérons la fonctionf :x7−→x√ x

f est le produit des fonctionsg :x7−→xeth:x7−→√ x

gest dérivable sur Reth l’est sur ]0; +∞[donc f est dérivable sur ]0; +∞[.

évaluons la dérivabilité en 0 :

x→olim⁺

x√ x x = lim

x→o⁺

√x=0. f est donc dérivable à droite de 0.

Le plus grand ensemble sur lequel f est dérivable est donc[0;∞[

ce n’est pas toujours le cas pour un produit de fonctions dérivables sur ces mêmes intervalles.

Par exemplex7−→(x+ 1)√

xn’est pas dérivable à droite de 0car lim

x→o⁺ (x+1)√

x x = lim

x→o⁺

√x x +√

x= +∞. le plus grand ensemble sur lequelf est dérivable est donc]0;∞[

0.5.4 composée de fonctions a-Considérons la fonctionf :x7−→√

x²−9 f est la composée des fonctions g:x7−→√

x eth:x7−→x²−9.

f est définie pour lesx pour lesquelsx²−9≥0c’est-a-dire ]− ∞;−3]S [3;∞[

fest continue et dérivable sur]−∞;−3[S

]3;∞[en appliquant la propriété de dérivabilité de la composée.

évaluons la dérivabilité def en 3 et en -3 :

x→3lim⁺

√ x²−9

x−3 = +∞

x→3lim⁻

√x²−9

x−3 =−∞

f n’est donc pas dérivable à droite de 3 et a gauche de -3.

Le plus grand ensemble sur le quelf est dérivable est]− ∞;−3[S ]3;∞[

b-Considérons la fonctionf :x7−→

x²−1 .

f est la composée des fonctions g:x7−→ |x|eth:x7−→x²−1.

g est dérivable sur R^∗ et h est dérivable sur R. g◦h est dérivable sur l’ensemble des x pour les quels x²−16= 0 c’est-à-dire x6= 1;x6=−1.

0.6 Quelques applications de la fonction dérivée

0.6.1 Savoir modéliser un contexte de mouvement et présenter la vitesse comme une fonction dérivée

a-Vecteur vitesse

On considère une automobile qui se déplace suivant une trajectoire dans un repère (O,I,J).

Supposons qu’à l’instantt₁, le mobile est en M₁ et à l’instant t₂ le mobile est enM₂ En générale on exprime la vitesse moyenne entre les instantst1 ett2 par la relation : Vm=^M_t^1~M2

1−t2=^OM~_t^{1−OM~ 2}

1−t2 .

Mais pour savoir quelle est la vitesse du mobile en un point précisM0 à l’instantto, il suffit de considérer un intervalle de temps très petit [t ;t_o]en faisant tendre t vers t_o.

Si M est la position du mobile à l’instant t, on obtient la vitesseVo en Mo :

~

v_o= lim

t→t0

OM−~ OM~ o

t−t_o .

Cette écriture n’est autre que l’expression de la dérivée du vecteur position OM par rapport au temps.

Si l’on a l’équation de la trajectoire, la dérivée de celle-ci par rapport au temps nous donne l’équation de la vitesse.

Exemple :les équations paramétriques d’un mobile dans un repère orthonormé (O ;I ;J ;k) sont : X(t) = 2t²;

Y(t) = ¹₂t²;

Z(t) = 0 Déterminer le module du vecteur vitesse du mobile à l’instant t.

Remarque:

la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse est appelé vecteur accélération.

b-Fonction vitesse

Considérons une voiture qui se déplace d’une ville à une autre. Si f(t1) est la distance parcouru de l’instant t=0 à l’instant t₁ et f(t₂) est la distance parcouru de l’instant t=0 à l’instant t₂, alors la vitesse moyenne entre les instantst₁ ett₂ est donnée par

Vm=^f(t2_t^)−f(t1)

2−t1

Mais cette vitesse ne dit rien sur la sensation qu’un individu peut avoir sur la rapidité ou la lenteur de cette voiture qui passe devant lui à un instant t₀ du parcours. c’ est pour remédier à cela que l’on introduit la notion de vitesse instantanée en considérant la vitesse moyenne sur un intervalle [t ;t0] de temps très petit et en faisant tendre t verst₀.

On obtientV₀= lim

t→to

f(t)−f(t0) t−t₀ .

La fonction vitesse V est donc la dérivée de la fonction f par rapport au temps.

0.6.2 modélisation du contexte où la dérivée est une densité.

versons régulièrement de la poudre de farine sur un fils(de diamètre négligeable) tendu. définissons sur ce fils un repère(o ;~i). pour un point M d’abscisse x du fils, on considère la masse m(x) de poudre déposée sur le fils de l’origine au point M

La quantité de poudre déposée entre un point M₁ et un point M₂ est donnée par m(x₁)−m(x₂) et la densité moyenne de poudre entre les points M1 et M2 est dm=^m(x_x^2)−m(x1)

2−x1 et la densité en un point d’abscisse x₀ est obtenu en considérant un intervalle de petite longueur [x;x₀] et en faisant tendre x vers x₀ : on obtient

d0=lim

x→xo

m(x)−m(x0) x−x0 .

la densité de poudre enx₀ est donc la dérivée dem en x₀. Application

Application 1

Déterminer l’équation horaire de la vitesse d’un mobile qui se déplace dans un plan sachant que l’ex- pression de son élongation est x(t) = 2t;y(t) = ¹₂t²+ 3t

Application 2

les équations horaires d’un mobile sont :x(t) = 2 cosπt:y(t) = 2 sinπt;z(t) = 5 Déterminer le vecteur vitesse à chaque instant t.

Application 3

L’équation horaire du mouvement d’un mobile est x= 2×10⁻²sin(πt+ϕ) Calculerϕpour chacun des cas suivant :

1-A l’instant initial, le mobile passe par l’origine des espaces dans le sens des élongations décroissantes.

2-A l’instant initial le mobile passe par l’élongations maximale.

3-Le mobile passe par l’élongation maximale à l’instant initial.

0.7 exercices d’applications

0.7.1 calcul de dérivée

Exercice 1. calculez les dérivées des fonction suivantes : 1−f(x) = 2x²−x√

x+_x+1² . 2−g(x) = _5−sin^sinx_x.

3−h(x) =√

x²+ 2x+ 5

4−q(x) = 3 sin(x+ 2) + 3 cos(3x+ 2) Exercice 2. Déterminer la dérivée des fonctions suivantes.

a−x7−→cosx−sinx b−x7−→cos (−3x+^Π₃) c−x7−→sin (x²−^Π₆) d−x7−→

√ x²−4x cos²x

0.7.2 dérivée de la réciproque

Exercice 3. soit f la fonction de]−π;π[vers R, définie par : f(x) = tan^x₂ 1-Démontrer quef admet une fonction réciproquef⁻¹.

2-Démontrer quef⁻¹ est dérivable sur son ensemble de définition et déterminer sa dérivée.

Exercice 4. A revoir

Exercice 5. Soit f la fonction définie de ]−^Π₂;^Π₂] vers [−1; 1] parf(x) = sinx 1-Démontrez quef est une bijection dérivable sur]−^Π₂;^Π₂]

2-On notesin⁻¹ la bijection réciproque de f. Etudiez la dérivabilité de sin⁻¹ en -1 et en 1.

3-Justifiez quesin⁻¹ est dérivable sur ]-1 ;1[ et montrez que sa dérivée est ^√1

1−t²

4-Refaire le même travail avec la fonction g avecg(x) = cosx, x ∈]o; Π]

Exercice 6. Soit f la fonction de [0;^Π₂]vers [0 ;1] définie par : f(x) = sinx² 1-Démontrez quef admet une fonction réciproque f⁻¹.

2-Déterminez L’ensemble de dérivabilité def et démontrez que sa dérivée est la fonction :x7−→ ¹

2√

x(1−x). Exercice 7. Soit f la fonction de [0;^Π₂[vers [1;∝[définie par :f(x) = _cos¹_x

1-Démontrez que f admet une fonction réciproquef⁻¹

2-Déterminez l’ensemble sur le quelf⁻¹ est dérivable et démontrez que sa dérivé est la fonction : x7→ 1

x√ x²−1

0.7.3 dérivée de la composée

Exercice 8. déterminez les dérivées des fonctions suivantes après avoir donné leur domaine de dérivabilité : f(x) = cos(√

1 +x⁴) g(x) = tan(√

16 +x²)

0.7.4 dérivée d’ordre n

Exercice 9. soit f la fonction définie parf(x) = q 1

cos 2x

1-Vérifier que f est deux fois dérivable sur l’intervalle ]−^Π₄;^Π₄[

2-Démontrer que pour tout nombre réel x de cet intervalle, on a :f⁰⁰(x) +f(x) = 3f⁵(x) Exercice 10. Soit f la fonction définie par f(x) = cos 3x

donnez le domaine de dérivabilité de f et montrez quef⁽ⁿ⁾= 3ⁿcos(3x+n^Π₂)

Exercice 11. Soit f une fonction dérivable et f⁰ sa dérivée. Alors si f⁰ est dérivable, on définit f⁰⁰ sa dérivée. f⁰⁰ est la dérivée seconde de f elle est aussi notéef⁽²⁾. De manière récurrente, on définit la dérivée n^ime de f f⁽ⁿ⁾ n∈N^∗ sif⁽ⁿ⁻¹⁾ est dérivable par f⁽ⁿ⁾= (f⁽ⁿ⁻¹⁾)⁰ (avec f⁽⁰⁾ =f).

– f(x) =x⁵ calculezf⁰(x) f⁰⁰(x)

f⁽³⁾ f⁽⁴⁾ f⁽⁵⁾

f⁽ⁿ⁾∀n >5

– g(x) = cos(2x) + sin(3x) calculezg⁰(x)

g⁰⁰(x)

montrez queg⁽ⁿ⁾= (−2)ⁿsin(2x+ (n−1)Π

2) + (3)ⁿcos(3x+ (n−1)Π 2) Exercice 12. (Dérivée de la puissance n^ime)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle ouvertK et n∈N\ {0,1};

Montrez que la fonctionuⁿ est dérivable surK et a pour dérivée (uⁿ)⁰=nu⁰uⁿ⁻¹. application

f(x) = cosⁿx, n≥2,

Exercice 13. Soit f la fonction définie parf(x) = _x2¹−1

1-Déterminer les nombres réels a et b tels que :∀x∈R\ {−1,1}, f(x) = _x−1^a +_x+1^b

2-soit n un nombre entier naturel non nul ; démontrer qu’il existe un polynômep_n,de degré n, tels que :

∀x∈R\ {−1,1},f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ_2(x^n!p2−1)^n(x)n+1 où f⁽ⁿ⁾ est la dérivée n-ième de f.

Exercice 14. (Exercice 35 page 230. CIAM, Terminale SM) Soit f la fonction définie par : f(x) = (1 + x)ⁿ(n∈N^∗)

1-Déterminez la dérivée def.

2-Après avoir développé f(x) par la formule du binôme, donner une autre expression de cette dérivée.

3-En déduire la valeur des sommes suivantes : a-Pn

p=1p{^pn

b-Pn

p=1p(−1)^p+1{^pn

0.7.5 Fonctions puissance, Logarithme et Exponentielle Exercice 15. (Exercice 11 page 271 CIAM, Terminale SM)

Dans chacun des cas suivant ,préciser l’ensemble de dérivabilité de la fonction f, puis, déterminer sa

fonction dérivée

a)f(x) = exp(−2x+ 1) b)f(x) = expxlogx c)f(x) = expx²

d)f(x) = (1−x) exp(1−x) e)f(x) = expx−exp−x

expx+ exp−x f)f(x) =x²exp(1−x) g)f(x) = exp(2x

x¹⁰ Exercice 16. (Exercice 29 page 251 CIAM, Terminale SM)

Dans chacun des cas suivant ,préciser l’ensemble de dérivabilité de la fonction f, puis, déterminer sa fonction dérivée

a)f(x) = log−x b)f(x) = log 2x+ 1 c)f(x) = log√

x d)f(x) =√

xlogx e)f(x) = logx

x f)f(x) = x

logx g)f(x) = log 1 + 3x

2x h)f(x) =x²log³x 0.7.6 Autres

Exercice 17. Déterminez le polynômef(x)d’ordre 4 dont :f(−1) = 5;f⁰(−1) = 4;f⁰⁰(−1) = 3;f⁽3)(−1) = 2;f⁽4)(−1) = 1.

Exercice 18. Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction f sur son ensemble de définition puis déterminez sa dérivée.

a−f(x) = (√³

2x²−x−6)⁵ b−f(x) = (√⁵

2x²−x−6)³ c−f(x) = √3 ¹

2x²−x−6

d−f(x) = √ ¹

(−2x²+x+6)³

Exercice 19. (Formule de Leibnitz)

On considère deux fonctions f et g dérivables jusqu’à l’ordre n sur un intervalle K.

1-Déterminer (f g)⁰ et(f g)⁰⁰.

démontrer que :(f g)⁽³⁾=f⁽³⁾g+ 3f⁰⁰g⁰+ 3f⁰g⁰⁰+g⁽³⁾

En utilisant un raisonnement par récurrence, donner une expression de(f g)⁽ⁿ⁾.

Exercice 20. (Extrait de MONGE Terminale) Déterminez le polynôme f(x) d’ordre 4 dont : f(−1) = 5;f⁰(−1) = 4; f⁰⁰(−1) = 3;f⁽3)(−1) = 2;f⁽4)(−1) = 1.

Exercice 21. Soit f la fonction définie par : f(x) = sin⁶x+ cos⁶x+ 3 sin²xcos²x.

Démontrez que f est une fonction constante.

Exercice 22. Déterminez les dérivées des fonctions suivantes :

a)x7→cosx−sinx b)x7→cos−3x+ ^π₃ c)x7→sinx²−^π₆ d)x7→sin²2x−^π₄ e)x7→sin cosx f)x7→x²cos_x¹ g)x7→sin

q 1 1−x²

h)x7→tan (tanx) i)x7→ ^1+cosx

sin²x

j)x7→

√ x²−4x cosx

Exercice 23. En utilisant la définition du nombre dérivé, calculez les limites suivantes.

a) lim

x→a

sinx−sina x−a

b) lim

x→a

cos²x−cos²a x−a

c) lim

x→^π₆

2 sinx−1 6x−π

d) lim

x→a

tanx−tana x−a

e) lim

x→π cosx+1

x−π

e) lim

x→π^cos3_x−π^x+1

Exercice 24. En utilisant la définition du nombre dérivé, calculez les limites suivantes.

a) lim

x→0

√x+1−1 x

b) lim

x→1

√2−√ x+1 x−1

c) lim

x→2

√

x²+x+3−3 x−2

d) lim

x→3

√3x−√ x+6 2x−6

Exercice 25. (Exercice 12 page 23.MAJORS EN MATHEMATIQUE Tle D) µet f sont définies sur Rpar :

µ(x) =√

1 +x² et f(x) = (1 +x²)√ 1 +x² a) Calculer la dérivée de µ

b) Calculer la dérivée de f de deux façons différentes.

Exercice 26. (Exercice 13 page 23.MAJORS EN MATHEMATIQUE Tle D) Démontrer que les courbes représentatives des fonctions

f :x→x² et g:x→ 2

x ont une tangente commune y=−2x+ 4

Exercice 27. (Exercice 14 page 23.MAJORS EN MATHEMATIQUE Tle D) Soitf la fonction f :x→ x³

(x−1)²

1)Trouver le point de la courbeC de f où la tangente est parallèle à la droite d’équation y=x+ 4.

2)Donner une équation de cette tangente.

Exercice 28. (Exercice 36 page 230.CIAM Tle SM) Soit f la fonction définie parf(x) =

r 1 cos 2x

1) Vérifier quef est deux fois dérivable sur l’intervalle ]−π 4;π

4[

2) Démontrer que pour tout nombre réelx de cet intervalle, on a f”(x) +f(x) = 3f⁽⁵⁾(x)

Exercice 29. (Exercice 38 page 230.CIAM Tle SM)

Soit f la fonction définie parf(x) =x(x+ 1)ⁿ(n∈N, n6= 1) 1) Déterminer la dérivée def.

2)Après avoir développé f(x) par la formule du binôme, donner une autre expression de cette dérivée.

3) En déduire que : a)-Pn

p=0(p+ 1){^pn= (n+ 2)2⁽ⁿ⁻¹⁾ b-Pn

p=0(p+ 1)(−1)^p{^pn= 0

Exercice 30. (Exercice 3 page 332.CIAM Tle SM)

Soit l’équation différentielle y^,,,−2y^,,−y^,+ 2y= 0 (E)

1)Vérifier que les fonctions x→exp−x, x→expx et x→exp 2x sont solutions sur Rde (E)

Démontrer que pour tous nombres réels a,b,c la fonction x→ aexp−x+bexpx+cexp 2x est solution de (E).

0.8 bibliographie et webographie

[1] Taïrou ALASANNE, Abdou Khadre BARRY, Jules N’DA KOUADIO, Olivier Téodule RAZAFIN- DRANOVOA, Paul REY,Julien SANHOUDI Soma TRAORE, Joseph TSOUMTSA, MATHHEMA- TIQUES Terminale SCIENCE MATHEMATIQUE, EDICEF, 04/2001.

[2] Cristophe AKELE, Ould Aadj Amar BAYE, Kotol Miandom BENDIMAM, Kémo CONDE, Oumar DJIGUIBA, Assalé Patrice DON, Jean-Luc NEULAT, Soma TRAORE, MATHHEMATIQUES Pre- mière SCIENCE MATHEMATIQUE,EDICEF, 06.

[3] Fredy BEGHAIN, Rose EBOUTOU MFOU,Ali HAYA, Georgette HAYA, Georgette HADDAD-OUEDRAOGO, Denis OUEHI, Laurent RAKOTOSOLOSORISOA, Alain Renault, Amadou SALL DIOP et Oumarou

SAWADOGO. Mathématiques Première CIAM1^re sciences expérimentale, EDICEF 1998

[4] Elméhdi Ag HAMATY, Pierre DAGBEGNON LAWIN ORE, Georgette HADDAD-OUEDRAOGO, Denis OUEHI, Baye OULD EL HADJ AMA, Faustin TAOUADERA, Collection inter Africaine de Mathématique T^lescientifique option sciences expérimentale, EDICEF 2009

[5] Charles MVOMO OTAM, Jean Roland, ELANDI ELANDI, François TCHETGNA, Casimir NDEUT- CHOUA, Luc Calvin MEGAMTCHE, Stanislas hervé NKOULE, Samuel TOBOU, Severin Didier FOUDA, Olivier TCHOUMGUI FOM, ISSA OUMAROU, Benoit Eric MINALI, Bernard ETO MO- NEVONDO, ABDOU KOUMCHEGHAME, Raoul AYISSI, MAJORS en Mathématique Terminale D, ASVA EDUCATION 2012.

[6] Charle MVOMO OTAM et al MAJORS en Première D, EDICEF 2011