Terminale STG Exercices sur le chapitre 3 : E2. page n ° 1 2007 2008
E2 Savoir déterminer les variations d'une fonction.
N ° 2
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x3 − 3x.
A ) Calculons la fonction dérivée de f. f ' ( x ) = 3x² − 3.
B ) Déterminons le signe de la fonction dérivée.
f ' ( x ) = 0 ⇔ 3x² − 3 = 0 ⇔ 3x² = 3 ⇔ x² = 1 ⇔ x² − 1 = 0 ⇔ ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0.
x −∞ -1 1 +∞
x − 1 − − 0 +
x + 1 − 0 + +
f ' ( x ) + 0 − 0 +
Si x ∈ ] - ∞ ; - 1 [ alors f ' ( x ) > 0 Si x ∈ ] - 1 ; 1 [ alors f ' ( x ) < 0 Si x ∈ ] 1 ; + ∞ [ alors f ' ( x ) > 0.
C ) Déduisons en le sens de variation de la fonction f.
Si x ∈ ] - ∞ ; - 1 [ alors f est strictement croissante.
Si x ∈ ] - 1 ; 1 [ alors f est strictement décroissante.
Si x ∈ ] 1 ; + ∞ [ alors f est strictement croissante.
D ) Dressons le tableau de variation complet de la fonction f.
f ( - 1 ) = - 1 + 3 = 2 et f ( 1 ) = 1 − 3 = - 2
x −∞ -1 1 +∞
signe de f ′ + 0 − 0 +
2 f
- 2 N ° 3
Soit f la fonction définie sur [ - 1 ; 5 ] par f ( x ) = 4 x 3 2x 1++ .
A ) Calculons la fonction dérivée de f. f ' ( x ) =
)² 4 x 3 (
) x 2 1 ( 3 ) 4 x 3 ( 2
+ +
−
+ =
)² 4 x 3 (
x 6 3 8 x
6 + −+ − =
)² 4 x 3 (
5+ .
B ) Déterminons le signe de la fonction dérivée.
5 est un nombre strictement positif.
( 3x + 4 )² est un nombre strictement positif sur l'intervalle [ - 1 ; 5 ].
Donc f ' ( x ) est strictement positif sur l'intervalle [ - 1 ; 5 ].
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C ) Déduisons en le sens de variation de la fonction f.
D'où f est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [ - 1 ; 5 ].
D ) Dressons le tableau de variation complet de la fonction f.
f ( - 1 ) = 4 x 3
x 2 1++ =
4 3
2 1+
−− = -1 et f ( 5 ) = 4 15
10 1++ = 11
19
x −1 5
signe de f ′ +
11 19 f
-1 N ° 4
Soit f la fonction définie sur ] 3 ; + ∞ [ par f ( x ) = x − 2 + 3 x
4− .
A ) Calculons la fonction dérivée de f.
f ' ( x ) = 1 + 4 × )² 3 x (
−1
− =
)² 3 x (
4 )² 3 x (
− −
− =
)² 3 x (
) 2 3 x )(
2 3 x (
− − +
−
− =
)² 3 x (
) 1 x )(
5 x ( −− −
B ) Déterminons le signe de la fonction dérivée.
f ' ( x ) = 0 ⇔ (x − 5 ) ( x − 1 ) = 0 et x − 3 ≠ 0 ⇔ x = 5 ou x = 1 et x ≠ 3.
x 3 5 +∞
x − 5 − 0 +
x − 1 + +
( x − 3 )² 0 + +
f ' ( x ) − 0 +
Si x ∈ ] 3 ; 5 [ alors f ' ( x ) < 0 Si x ∈ ] 5 ; + ∞ [ alors f ' ( x ) > 0.
C ) Déduisons en le sens de variation de la fonction f.
Si x ∈ ] 3 ; 5 [ alors f est strictement décroissante.
Si x ∈ ] 5 ; + ∞ [ alors f est strictement croissante.
D ) Dressons le tableau de variation complet de la fonction f.
f ( 5 ) = 5 − 2 + 3 5
4− = 3 + 2 = 5
x 3 5 +∞
signe de f ′ − 0 +
f
5
