Production des Ressources Numériques pour l'enseignement des Mathématiques en Afrique Centrale
Année 2013
Ressource Terminale D : Fonction Dérivée
Production :
Concepteur :
Arnaud Bongo, étudiant à l'école Normale Supérieure de l'université Marien Ngouabi, Congo-Brazzaville.
Encadreurs :
Table des matières
INTRODUCTION 1-historique
2-Public ciblé
3-objectifs pédagogiques 4-Place dans le programme 4.1-Pré requis
4.2-But d'utilisation
5-Déroulement prévu des activités de la ressource 5.1-Organisation de la ressource
5.2-Problématique de la ressource CHAPITRES
1-Dérivées successives
1.1-Activité préparatoire (1)
1.1.1-Enoncé de l'activité préparatoire 1.1.2-Analyse a priori
1.1.3-Solution optimale de l'activité préparatoire 1.2-Définition
1.3-Exemple
1.4-Caractéristique de la dérivée successive 1.5-Exercice d'application
2-Dérivée d'une fonction composée
2.1-Notion d’une fonction composée 2.2-Activité préparatoire (2)
2.1.1-Enoncé de l'activité préparatoire 2.1.2-Analyse a priori
2.1.3-Solution optimale de l'activité préparatoire 2.3-Définition
2.4-Exemple
2.5-Caractéristique des dérivées successives 2.6-Exercices d'application
3-Dérivée de la réciproque d'une fonction continue strictement monotone
3.1-Activité préparatoire (3)
3.1.1-Enoncé de l'activité préparatoire 3.1.2-Analyse a priori
3.1.3-Solution optimale de l'activité préparatoire 3.2-Définition
3.3-Exemple
3.4-Caractéristique de la dérivée successive
3.5-Exercice d'application
Devoir sur table
Enoncé du devoir sur table
Analyse a priori du devoir sur table et corrigé du devoir sur table Devoirs '' Maison''
Exercices d'approfondissement
INTRODUCTION
Les dérivées en mathématiques en classe de terminale représentent une notion classique et incontournable que l’élève doit maitriser. Bien avant l’épreuve de mathématiques en terminale, les dérivées ont historiquement mis beaucoup de temps avant d’être définies rigoureusement en langage de mathématiques.
Aujourd’hui, l’utilisation des dérivées en mathématiques en terminale permet de prouver la continuité d’une fonction en un point, et de résoudre de nombreux exercices de mathématique en terminale. Les dérivées de fonctions, les dérivées de polynômes, les dérivées usuelles, les dérivées partielles sont des points clés des exercices de mathématiques en terminale.
1-Historique
Les fonctions dérivées comme nous les étudions aujourd'hui commencent dès la seconde moitié du XVIIe siècle. Le domaine mathématique de l'analyse numérique connut une avancée prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral, traitant notamment de la notion
d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales.
C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du XVIIe siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe qu’il appelait
« touchantes ». Le marquis de l'Hôpital contribuera à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du XVIIe siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits. Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle.
Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion
d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au XVIIIe siècle que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème : R n'est pas
encore construit formellement. C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIXe siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.
C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f’(x), aujourd'hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en x. C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.
2-Public ciblé :
Cette ressource est destinée aux enseignants des sciences en particuliers de Mathématiques et aux apprenants en classe de terminale scientifique D.
3-objectifs pédagogiques
A la fin de ce cours, l'apprenant doit être capable de : - Déterminer les dérivées successives;
- trouver la fonction dérivée d’une fonction composée ; -montrer l’existence de la dérivée de la fonction réciproque ;
4-Place dans le programme
4.1-Pré requis
La séquence du cours sur la fonction dérivée étant une partie du cours sur les fonctions numériques, elle doit être faite après les séquences suivantes: limites, continuités, dérivabilités. Avant de commencer ce cours, l'apprenant doit être en mesure de:
- trouver la limite d'une fonction en un point ;
- déterminer la continuité en un point;
- effectuer le calcul sur la dérivabilité en un point;
- décomposer la fonction composée en fonction de référence;
- connaître les raccourcis pour chacune des fonctions de référence;
- réassembler la dérivée de la fonction compliquée à partir des dérivées de chaque fonction de référence ;
- déterminer une application : injective, surjective, bijective et réciproque.
4.2-but d'utilisation future
Les dérivées sont un outil indispensable pour analyser rapidement une fonction.
Notre objectif principal c’est de savoir calculer la dérivée d’une fonction.
En ce qui concerne la progression du programme, ce cours interviendra dans les rubriques tels que :
La résolution d’une équation différentielle
L’étude des fonctions
L’application des nombres complexes
4.3-Répartition horaire
5-Déroulement prévu des activités de la ressource
Titre de la ressource: Fonctions dérivées
5.1-Organisation de la ressource
Nous distinguons les dérivées successives, les dérivées d'une fonction composée et la dérivée de la réciproque d'une fonction continue strictement monotone dans l'étude sur la fonction dérivée. Le schéma pédagogique suivant est élaboré dans cette étude: activités préparatoires, cours, exemples d'illustration, exercices d'applications. Pour vérifier si les notions enseignées après les cours sont bien assimilées, il est utile de proposer un devoir sur table, des devoirs de ''maison'' et une série d’exercices d'approfondissement.
5.2-Problématique de la ressource
Les apprenants de terminales connaissent déjà les dérivées. Cette étude vise à analyser la place de la dérivée dans la résolution des problèmes; autrement dit, il s'agit d'examiner en quoi la notion de dérivée est utile dans le traitement des problèmes mathématiques, en particulier les problèmes de modélisation.
Fonction dérivée :
1-Définition :
La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle, on peut définir sa fonction dérivée sur cet intervalle. Lorsqu’une fonction f admet un nombre dérivé en tout point x0 d’un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. On définit alors la fonction dérivée, notée f ’ , qui à tout point x0 de I associe le nombre dérivé f ’(x0) .
Nous savons déjà dériver un certain nombre de fonctions. Se reporter au tableau des dérivées pour en avoir un aperçu. Les physiciens notent dy=f'(x)dx .
Donnons à présent un théorème fondamental.
2-Théorème 2.1:
Toute fonction f dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
Démonstration : Soit x0∈I Puisque f est dérivable en x0 , elle admet un développement limité à l’ordre 1 en x0 :
f(x0+h)=f(x0)+l h+hφ(h) où limh →0φ(h)=0∨l=f'(x0) on a
f(x0+h)=f(x0)+f'(x0)h+hφ(h) où limh →0 φ(h)=0 Posons x=x0+h , il vient alors :
x0
f(x)=f¿ ) x0
+f'¿ )( x−x0¿+(x−x0)φ(x−x0). où x → xlim
0
φ(x−x0)=0 Par passage à la limite lorsque x tend vers x0 , on obtient
¿¿ x0 f(x)=¿lim
x→ x0¿ lim
x → x0
¿
) +¿ ( x−x0¿f'(x0)+(x−x0)φ(x−x0) )
or x → xlim
0
(x−x0)f'(x0)=0 Car f'(x0) est un nombre fini et x → xlim
0
(x−x0)φ(x−x0)=0 D’où x → xlim0f(x)=f(x0) .
La fonction f est donc continues en x0 . Ce raisonnement étant valable pour tout x0 de I. On déduit que la fonction f est continue sur I.
Remarques : La réciproque du théorème 2.1 est fausse. En effet, il existe des fonctions continues en un point x0 et non dérivables en x0 . C’est le cas, par exemple, de la fonction valeur absolue.
Une fonction f peut être dérivable (et donc continue) sans que sa dérivée f ’ est continue.
Moralité : Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en un point x0, il ne faut surtout pas étudier la limite de f ’ en x0. (ce serait étudier la continuité de la dérivée en x0¿ . mais étudier la limite de l’accroissement moyen. Cependant, si
f ’ admet une limite (finie) en x0 alors f est dérivable en x0 de nombre dérivé f ’(x0).
CHAPITRES
1 -Dérivées successives 1.1 Activité préparatoire1
1.1.1 Enoncé de l’activité préparatoire Titre : calcul des dérivées
Enoncé :
Soit la fonction définie sur par ℝ f(x)=sin(x). a-calcule les dérivées f ’ , f ’ ’et f ’’’ .
b-Comment appel-t-on ces dérivé
c-Trouve par récurrence l’expression de f(n).
1.1.2 Analyse a priori
Objectif de l'activité
Le but de cette activité est d’amener les apprenants à déterminer les dérivées à un ordre donné. Cette étude est motivée par la résolution du problème de manière générale.
Justification de l'activité
Le choix de l'activité rentre dans le cadre de la révision de notions sur les dérivées usuelles que les apprenants connaissent déjà. Il s'agit de montrer aux apprenants que les dérivées sont successives jusqu'à un ordre donné par rapport aux exercices.
Erreurs possibles
Pour la question a)
Les apprenants auront tendance d’écrire : f(x) = sin(x)⇒f'(x)=(x)cos(x)
au lieu de f'(x)=(x)'cos(x) Pour la question b)
Les apprenants seront tentés de répondre par les dérivées consécutives
1.1.3 Solution optimale de l'activité préparatoire 1
a) calculons les dérivées f’, f’’, f’’’
f(x)= sin(x)⇒f'(x)=cos(x)
f'(x)=cos(x)⇒f''(x)=−sin(x) f' '(x)=−sin(x)⇒f' ''(x)=−cos(x)
b) les dérivées f ’ f ’’et f ’’ ’ sont appelés dérivées successives
c)Expression par récurrence de fn
f'(x) = cos(x) = sinxcosπ2+cosxsinπ2
f' '(x) = ¿−sin(x) =
2π 2
¿ sinx¿cos¿
f' ' '(x) = −cos(x) =
3π 2
¿¿ sinxcos¿
f’’’’(x) = sin(x) =
4π 2
¿ sinx¿cos¿
. . . . . . . . .
.
nπ 2
¿
¿
f(n)(x)=sin(n)(x)=sinxcos¿
f(n)(x)=sin(n)(x) = x+n
π 2 sin¿¿
)
1.3 Définition
f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f’ s’appelle la fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de f.
Lorsque f ’ est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f’’ ; f’’ est appelée dérivée seconde (ou dérivée d’ordre 2) de f.
De manière récurrente, pour tout entier naturel n ≥2 , on définit la fonction dérivée n-ième (ou d’ordre n). Comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre n-1,
f(1)=f'et pour tout n ≥2,f(n)=f(n−1)'
Exemple :
Soit f définie sur par f(x) = ℝ x3
f est dérivable sur et fℝ ’(x)=3 x2 pour tout réel x
f’ est dérivable sur et fℝ ’’(x) = 3(2x)= 6x pour tout réel x f’’ est dérivable sur et f’’’(x)= 6ℝ
f’’’ est dérivable sur et ℝ f(4)(x)=0 ainsi de suite
1.4-Caractéristique de la dérivée successive
Dérivée seconde
La dérivée d’une dérivée f’ se note f’’ (se lit f seconde) et nous renseigne sur la convexité d’une fonction. Lorsque f '’(x) > 0, la fonction est
convexe quand f’’(x) < 0 elle est concave (ces notions s’apprécient en regardant la courbe représentative depuis le « haut »). La dérivée seconde s’annule sur les points d’inflexion (exemple en page extremums).
Notation des dérivées d'ordre n
Etant donné un intervalle ouvert , on dit que f est dérivable sur , si elle est dérivable en tout point de . Soit f une fonction dérivable sur . Sa dérivée f’peut être elle-même dérivable. On appelle alors dérivée seconde la dérivée de f’, et on la note f’’. Cette fonction peut être elle-même dérivable, etc. Si f est fois dérivable, on note f(k) sa dérivée d’ordre K, ou dérivée k-ième. Par définition, la dérivée d'ordre 0 est la fonction elle-même.
Voyons à présent le moyen de déterminer directement la dérivée d'ordre n pour quelques types de fonctions.
Soit f(x) = xn. Considérons d'abord que n est un entier naturel. Pour k compris entre 0 et n , nous avons...
f(k)(x)= n !
(n−k)!× xn−k
Démonstration :
f(x) = xn⇒f'(x)=n xn−1
⇒f''(x)=n(n−1)xn−2
⇒f'' '(x)=n(n−1)(n−2)xn−3
⇒f'' ' '(x)=n(n−1) (n−2)(n−3)xn−4
. . . . . . . . .
f(k)(x)=n(n−1)(n−2) (n−3). . .(n−k+1)xn−k
Or n(n−1)(n−2) (n−3). . .(n−k+1) = Ank avec An
k = (n−kn ! )!
Donc f(k)(x)=(n−kn ! )!× xn−k
La dérivée troisième donne une indication sur la pente de la courbe représentative de la dérivée seconde.
La dérivée d'ordre n de xⁿest tout simplement n!(factoriellen) : f(k)(x)=¿ n ! xn−k
et
Mentionnons également les fonctions trigonométriques :
x+nπ 2 sin(n)(x)=sin¿
) et cos(n)(x)=cos(x+nπ2)
Démontrons pour cos(n)(x)
f(x) = cos(x) ;
f'(x)=−sin(x)=cosxcosπ
2−sinxsinπ 2 π
2 2¿
π¿ 2 2¿
f''(x)=−cos(x)=cosxcos¿ π
2 3¿
π¿ 2 3¿
f'''(x)=sin(x)=cosxcos¿
π 2 4¿
π¿ 2 4¿
f''' '(x)=cos(x)=cosxcos¿
. . . . . .
. . .
π 2 n¿
¿π 2 n¿
f(n)(x)=cos(n)(x)=cosxcos¿
f(n)(x)=cos(n)(x)=cos(x+nπ 2)
Vous rencontrerez souvent les notations suivantes, que nous n'utiliserons pas ici.
f'(x)=df
dx;f' '(x)=d2f
d x2;f(n)(x)=dnf d xn
Exemple :
Soit f une fonction dérivable définie par f :x↦ x5 .
Calculer la fonction dérivée d’ordre 4 en appliquant les deux cas sans trouver f' ,
f'' , f'' ' .
Solution :
f est dérivable sur son ensemble de définition ℝ
1ercas: En utilisant la formule
f(k)(x)= n !
(n−k)!× xn−k
avec n=5 ; k=4
f(4) (x)= (5−4)5! !× x5−4 = 5 ×4×3×2× x
f(4) (x) =120 x
2emecas: En appliquant la formule
n=5 ; k = 4
f(5)(x)=5(5−1) (5−2)(5−3) (5−4)x(5−4)
=5(4)(3)(2)(1) x
f(5)(x) =120 x
La formule de Leibniz, très proche de la formule du binôme de Newton, exprime la dérivée n-ième d'un produit à d'aide des dérivées successives des composantes.
Proposition : Si f et g sont deux fonctions de dans , n fois dérivables sur un intervalle I, alors le produit f g est n fois dérivable sur I est :
(fg)(n)=∑
k=0 n
∁k
nf(k)g(n−k) (1)
Démonstration 1 :
(f(x)g(x))’=f ’(x)g(x)+f(x)g ’(x)
(f(x)g(x))’ ’=f ’’(x)g(x)+2f ’(x)g ’(x)+f(x)g ’’(x) (f(x)g(x))(n)=f(n)(x)g(x)+n f(n−1)g'+n(n−1)
2 f(n−2)(x)g(n)(x)+.. .+n f'(x)g(n−1)(x)+f(x)g(n). (f(x)g(x))(n)=∑
k=0 n ∁n
kf(k)(x)g(n−k)(x)
Démonstration2:
Par récurrence sur n. Puisque par définition f(0)=f , la formule est vraie pour n=0.
Supposons qu'elle est vraie pour n. Si f et g sont dérivables n+1 fois sur I , alors pour tout k =0……n, le produit f(k)g(n−k) est dérivable et sa dérivée est :
(f(k)g(n−k))'=f(k+1)g(n−k)+f(k)g(n−k+1)
D'après (1), (fg)n est dérivable, comme combinaison linéaire de fonctions dérivables. Sa dérivée s'écrit :
∁knf(h+1)g(n−k)
∁k
nf(k)g(n+1−k)
∑k=0 n
¿
∑k=0 n
¿+¿ ¿ (fg)(n+1)=¿
∁h−1n f(h)g(n+1−h)
∑h=1 n+1
¿+¿
¿ ¿
( ∁k
nf(k)g(n+1−k)
∑k=0 n
¿ ¿
∁h−1n f(h)g(n+1−h)
∁k
nf(k)g(n+1−k)
∑k=1 n
¿
¿
∑h=1 n
¿+¿ ¿
¿f(n+1)g(0)+¿
∑k=1 n
(∁k−1
n +∁k
n¿f(k)g(n+1−k))+f(0)g(n+1)
¿f(n+1)g(0)+¿
∑k=0 n+1
∁k
n+1f(k)g(n+1−k)
(fg)(n+1)=¿
Pour la dernière égalité, nous avons appliqué la formule du triangle de Pascal. La formule est vraie pour n+1 donc pour tout n∈N , par récurrence.
À titre d'exemple, calculons la dérivée n-ième de x↦xn(1+x)2 . Posons f:x↦xn
et g=:x⟼(1+x)2 . Alors :
f(n−2)(x)=n!
2 x2 , f(n−1)(x)=n ! x , f(n−1)(x)=n ! g'(x)=2(1+x) , g' '(x)=2 et ∀k ≥3 , g(k)(x)=0
Par application de (1),
(fg)(n)=n !(1+x)2+2nn ! x(1+x)+n(n−1) 2 n! x2
1.5-Exercices d'application
Exercice 1 : Calculer les dérivées d'ordre 1 à n , de f sur l'intervalle I en utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence.
f(x)=x4−6x2+5 I = R
f(x)= 1 x−2
I = ] 2; + ∞ [
2-Dérivée d'une fonction composée 2.1-Notion de fonction composée
Définition
Soient X, Yet Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions f:X → Y et
g:Y → Z . On définit la composée de f et g , notée g∘f par
∀x Xϵ ,(g∘f)(x)=g(f(x))
On applique ici à l’argument , puis on applique au résultat.
On se retrouve donc avec une nouvelle fonction g∘f:X → Z .
La notation g∘f se lit « g rond f », « f suivie de g » ou encore « g après f ». On note parfois
g∘f(x) pour (g∘f)(x)
Procédure
Pour trouver l'image d'un nombre par la composée f∘g , on applique successivement la fonction g, puis la fonction f. La notion de
composition a été abordée en classe de première. Il s'agit ici de rappeler les résultats essentiels concernant le sens de variation et les limites de la fonction composée. On verra plus tard, à propos des fonctions
logarithmes et exponentielles, que ces fonctions peuvent être composées avec d'autres fonctions de référence.
Que signifie f o g (« f rond g ») ?
• Le symbole « o » est le signe d'une opération appelée composition effectuée sur les fonctions f et g. Pour trouver l'image d'un nombre par la fonction composé e f∘g , on applique successivement les deux
fonctions, en commençant par celle de droite : ici, g. On retrouve la notation de la classe de première en écrivant l'égalité :
Par exemple : si f et g sont deux fonctions définies sur , par : f(x) = 3x − 1 et g(x) = −2x + 4
alors .
On trouve l'image par f du réel (−2x + 4) en le multipliant par 3, puis en soustrayant 1 au résultat : f(−2x + 4) = 3 × (−2x + 4) − 1 ;
f(−2x + 4) = −6x + 12 − 1 ; f(−2x + 4) = −6x + 11.
.
Ensemble de définition d'une composée de fonctions
Soit f et g deux fonctions définies respectivement sur les ensembles de définitions : Df et Dg
L'ensemble de définition de la fonction c = f o g composée de la fonction g suivie de la fonction f est Dc = { x ϵ Dg tel que g(x) ∈ Df }
Explication :
Pour que f o g soit définie il faut d'abord que g soit définie, donc il faut que x ϵ Dg puisque c'est la première fonction que l'on utilise dans la composée f o g , puis il faut que f(g(x) ) existe donc il faut g(x) ϵ Df.
2.2-Activité préparatoire (2)
2.2.1 Enoncé de l’activité préparatoire
Titre : calcul de la dérivée d’une fonction composée
Enoncé :
Soient f et g deux fonctions définies sur ℝ par : f (x)=2x2−9et g(x)=x−3
1-Trouve la fonction composée de f et g 2-Détermine la dérivée f ’, g’ et ( f∘g )’
3-comment s’appelle la dérivée ( f∘g )’
4- calcule h'(x)=f'∘g(x). g'(x) puis compare avec ( f∘g )’
2.2.2 Analyse a priori
Objectif de l'activité
Le but de cette activité est d’amener les apprenants à calculer les dérivées d’une fonction composée.
Justification de l'activité
Le choix de l'activité rentre dans le cadre que les apprenants connaissent déjà les dérivées usuelles. Il s'agit de montrer aux apprenants comment e fait la dérivée une fonction composée.
2.2.3 Solution optimale de l'activité préparatoire (2)
1-Trouvons la fonction composée de f∘xg¿ )
f(x)=2x2−9et g(x)=x−3
f∘g(x) = f[g(x)] = f(x−3) = 2(x−3)2−9
=2( x2 -6x +9) -9
f gₒ (x) =2 x2−12x+9
2-Déterminons la dérivée f’, g’ et ( f∘g¿ ’
f(x)=2x2−9; g(x)=x−3et f∘g(x) =2 x2−12x+9 f'(x)=4x et g'(x)=1 ( f∘g(x) )’= 4x−12
3-La dérivée ( f∘g )’ s’appelle dérivée d’une fonction composée 4-calculons h ’
h'(x)=(f'∘g(x)). g'(x)
= 4(x+3) ×1
h'(x) = 4x+12
Par comparaison h'(x) = ( f ∘g(x) )’
d’où ( f∘g(x) )’= (f'∘g(x)). g'(x)
2.3 Théorème
Soient f et g deux fonctions On suppose que g est dérivable sur I et que f est dérivable sur g(I).
Soit h la composé f ∘ g. Alors la dérivée de la fonction composée est :
h ’(x)=f ’(g(x)). g ’(x)∀x Iϵ
Exemple :
Soit h la fonction définie sur ℝ par 3x
2
(¿+2) h:↦sin¿
. Détermine la dérivée de la fonction h.
Méthode de dérivation :
Faire le schéma décomposant h en deux fonctions ;
Identifie f et g ;
Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de f et calculer sa dérivée f’ ;
Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de g et calculer sa dérivée g’ ;
Exprimer h’ à l’aide du théorème.
Solution de l’exemple :
ℝ→ℝ→ℝ
Le schéma est x↦3x2+2↦sin(3x2+2)
ℝ→ℝ
Et se ramène à x↦sin(3x2+2) .
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
f : x↦3x2+2 et g : x ↦sinx On a bien h=g∘f
f est définie et dérivable sur I=ℝ et, pour tout x∈R , f'(x)=6x
g est définie et dérivable sur ℝ et f (I)C R et , pour tout x∈R ,
g'(x)=cosx
On applique la formule du théorème pour tout x∈R:
h'(x)=(g'∘f(x))× f'(x)
= cos(3x2+2)×6x
Finalement, pour tout x∈R , h'(x)=6xcos(3x2+2)
Théorème
g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur un intervalle
I, et pour tout x de I, u(x) appartient à J.
Alors la fonction f définie par f(x) = g ◦ u(x) = g(u(x)) est dérivable sur I et pour tout x
de I,f′(x) = u′(x) × g′(u(x)).
Démonstration:
Pour tout a ∈I, pour tout réel h non nul tel que a + h ∈I,
f(a+h)−f(a)
h = g(u(a+h)h)−g(u(a)) = g(uu(a+(a+h)h)−u)−g(a)(u(a))×u(a+hh)−u(a)
or u est dérivable en a, d’où lim
h →0
u(a+h)−u(a)
h =u'(a)
De plus u est dérivable en a, u est donc continue en a, ce qui donne
lim
h →0u(a+h)=u(a)
On a également u(a) ∈j et g est dérivable sur j . d’où lim
h →0
g(X)−g(u(a))
X−u(a) =g'(u(a))
On obtient alors
u(a+h)−g(u(a)) g¿¿
lim¿
h→0¿
Donc lim
h →0
f(a+h)−f(a)
h =u'(a)× g'(u(a))
et g ◦ u est dérivable en a et (g ◦ u)′(a) = u′(a) × g′(u(a)).
Remarque :
On retrouve ainsi une propriété vue en première : si g(x) = f(a x + b), alors g′(x) = a f′(a x + b).
Exercice 1: Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1. f est la fonction définie sur R \ {0} par : f(x) =
1 x (¿) sin¿
2. f est la fonction définie sur R par : f(x) = x
2
(¿) cos¿
Solution :
1. f est dérivable sur R \ {0}. Pour tout x ∈R \ {0}, f(x) = g ◦ u(x) où u(x) = 1x et g(x) = sinx
u’(x) = - 1
x2 et g’(x) = cosx on a alors f’(x) = - 1
x2cos(1 x)
2. f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f(x) = g ◦ u(x) où u(x) = x2 et g(x) = cosx
u’(x) = 2x et g’(x) = - sinx f’(x)= −2xsinx2
Deux exemples de fonctions composées Proposition 1:
u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I.
