Seconde 1 Exercices sur le chapitre 9 : E3. page n ° 1 2007 2008
E3 Etude de la fonction qui à x fait correspondre x3.
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x3.
1. Déterminons l'ensemble de définition de la fonction f.
x3 existe pour tout réel x donc f est définie sur .
2. a. ( x1 − x2 ) ( x1² + x1x2 + x2² ) = x13 + x1² x2 + x2² x1 − x2 x1² − x1x2² − x23. Donc x13− x23 = ( x1− x2 ) ( x1² + x1x2 + x2² ) .
b. Déterminons le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ tels que x1 < x2.autre méthode a < b donc a × b² < b3 Alors f ( x1 ) − f ( x2 ) = x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x1² + x1x2 + x2² ) . a² < b²
Or x1 − x2 < 0 et x1x2 > 0 donc f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0. a3 < b² × a < b3 Donc f est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; 0 ] tels que x1 < x2. a < b donc a × b² < b3 Alors f ( x1 ) − f ( x2 ) = x13 − x2
3 = ( x1 − x2 ) ( x1² + x1x2 + x2² ) . a² > b²
Or x1 − x2 < 0 et x1x2 > 0 donc f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0. a3 < b² × a < b3 Donc f est strictement croissante sur ] - ∞ ; 0 ].
Ainsi f est strictement croissante sur . 3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
x −∞ +∞
+ ∞ f
- ∞ 4. Déterminer le signe des valeurs f ( x ).
Lorsque x est positif alors x ≥ 0 donc f ( x ) ≥ f ( 0 ) car f est strictement croissante sur Donc les valeurs f ( x ) sont positives car f ( 0 ) = 0.
Lorsque x est négatif alors x ≤ 0 donc f ( x ) ≤ f ( 0 ) car f est strictement croissante sur Donc les valeurs f ( x ) sont négatives car f ( 0 ) = 0.
5. Complétons le tableau des valeurs suivant :
x -2,5 -2,25 -2 -1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 0
y -15.63 -11.39 -8.00 -5.36 -3.38 -1.95 -1.00 -0.42 -0.13 0.00 6. Sur une feuille de papier millimétrée, représentons la courbe représentative de la fonction f.
voir page n ° 2.
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7. remarque : la fonction f est une fonction impaire : soit x ∈ alors -x ∈ et f ( - x ) = ( - x )3 = - x3 = - f ( x ) .
