Etudier les branches infinies de la fonction f.

On considère la fonction f définie par :

( )

³ x^x

x e f x x e

= + +

Etudier les branches infinies de la fonction f.

Analyse

On commencera par donner le domaine de définition de la fonction f. Cette recherche conduit à l’utilisation du théorème de bijection et permet d’identifier une valeur interdite. L’étude aux bornes du domaine de définition permet d’identifier trois asymptotes …

Résolution

Nous commençons par déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.

Le numérateur est défini sur \ comme somme de deux fonctions définies sur \ (une fonction polynôme et la fonction exponentielle).

Pour ce qui est du dénominateur, nous devons résoudre : x+e^x =0.

Posons : ^ϕ

( )

^{x = +x ex}. La fonction ϕ est définie sur \. Elle y est également dérivable comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et on a, pour tout x réel :

( )

' x 1 e^x ϕ = +

Pour tout x réel, on a : e^x >0. Il vient donc : ^ϕ

( )

^{x = +1 ex > >1 0} et la fonction ϕ est strictement croissante sur \. Elle y est dérivable et donc continue.

Enfin, on a : lim

x x

→−∞ = −∞ et lim ^x 0

x e

→−∞ = . D’où (somme) : ^lim

( )

x ϕ x

→−∞ = −∞. Et : lim

x x

→+∞ = +∞ et lim ^x

x e

→+∞ = +∞. D’où (somme) : ^lim

( )

x ϕ x

→+∞ = +∞.

La fonction ϕ définit ainsi une bijection de \ dans \. On en déduit qu’il existe un unique réel α tel que ^{ϕ α}

( )

^{= +α eα =0.}

Finalement :

D

f =\^\

{ }

α ^.

A la calculatrice ou sur un tableur, on obtient : α − 0, 567143.

Etude en −∞

On a : lim ³

x x

→−∞ = −∞ et lim ^x 0

x e

→−∞ = . On a donc (somme) : _x^lim_→−∞

(

^x3+ex

)

^{= −∞.}

Par ailleurs : lim

x x

→−∞ = −∞ et lim ^x 0

x e

→−∞ = . On a donc (somme) : _x^lim_→−∞

(

^{x e+ x}

)

^{= −∞.}

Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞

∞ ».

Pour tout x réel non nul, on a :

( )

3

3 3 3

2

1 1

1 1

x x

x

x

x x

e e

x x

x e x

f x x

e

x e e

x x x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟ +

+ ⎝ ⎠

= = =

+ ⎛⎜ + ⎞⎟ +

⎝ ⎠

On a facilement : lim ²

x x

→−∞ = +∞ et lim 1 ₃ lim 1 1

x x

x x

e e

x x

→−∞ →−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^.

On en déduit finalement (produit) : ^lim

( )

x f x

→−∞ = +∞.

L’expression de ^{f x}

( )

que nous venons d’obtenir va nous permettre de montrer que la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la parabole d’équation y=x².

En effet :

( )

^{2 2 3 2 2 3}

3 3

2 2

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1

x x

x x

x x x x

x x

x x

x

e e

x x

f x x x x x

e e

x x

e e e e

x x x x

x x

e e

x x

e xe x

e x

⎛ ⎞

+ ⎜ + ⎟

− = − = ⎜ − ⎟

⎜ ⎟

+ ⎜⎝ + ⎟⎠

⎛ ⎞

+ − +⎜ ⎟ −

⎝ ⎠

= =

+ +

= − +

On a lim 0

x x

e

→−∞ x = et (croissance comparée) : lim ^x 0

x xe

→−∞ = .

Comme lim 1 1

x x

e

→−∞ x

⎛ ⎞

+ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , il vient finalement (rapport) : ^{lim lim}

( ( )

²

)

⁰

1

x x

x x x

e xe

x f x x

e x

→−∞ →−∞

− = − =

+

.

D’où le résultat.

Pour étudier la position de la courbe représentative de la fonction f par rapport à sa parabole asymptote, on étudie le signe de : ^{f x}

( )

^−x2.

On a :

( )

2 ^{3 x} 2 ^{3 x 2}

(

^x

)

_x1 ² _x

(

1

)(

1

)

x x x x

x e x x e x x

x e x

f x x x e e

x e x e x e x e

+ − + − +

+ −

− = − = = =

+ + + +

On a facilement le tableau de signe :

−∞ −1 α 1 +∞

1−x

+ + +

⁰

–

1+x

–

⁰

+ + +

x e+ x

– –

⁰

+ +

( )

²

f x −x

+

⁰

– || ⁺

⁰

^–

Ainsi, la courbe représentative de la fonction f :

• Coupe la parabole d’équation y=x² pour x= −1 ou 1.

• Est située au-dessus de la parabole d’équation y=x² pour tout réel x dans

]

^{−∞ −; 1}

[

ou

] [

^{α; 1 .}

• Est située en dessous de la parabole d’équation y=x² pour tout réel x dans

]

^{−1 ;α}

[

ou

]

^{1 ;+ ∞}

[

^.

Etude en α

On a vu que le réel α était l’unique réel solution de l’équation : x+e^x =0. On a donc simplement : e^α = −α.

Alors : ^lim_x→α

(

^x3+ex

)

^{=α3+eα =α3− =α α α}

(

²⁻¹

)

^.

On a vu qu’on avait α<0 et que la fonction ϕ était strictement croissante sur \. Or,

( )

^{1 1 e 1 1 1 0}

ϕ − = − + ⁻ = − + <e . Comme ^{ϕ α}

( )

⁼⁰, on en déduit immédiatement : − <1 α. On a donc : − < <1 α 0 et on en déduit : α²− <1 0 puis ^{α α}

(

^{2− >1}

)

^0.

On a alors :

( )

lim ^x 0

x x

α x e

α

−

→<

+ = et donc (rapport) : ^lim

( )

x x

α f x

→α

<

= −∞.

( )

lim ^x 0

x x

α x e

α

+

→>

+ = et donc (rapport) : ^lim_x

( )

x α f x

→α

>

= +∞.

La courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x=α.

Etude en +∞

On a : lim ³

x x

→+∞ = +∞ et lim ^x

x e

→+∞ = +∞. On a donc (somme) : _x^lim_→+∞

(

^x3+ex

)

^{= +∞.}

Par ailleurs : lim

x x

→+∞ = +∞ et lim ^x

x e

→+∞ = +∞. On a donc (somme) : _x^lim_→+∞

(

^{x e+ x}

)

^{= +∞.}

Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞

∞ ».

Pour tout x réel, on a :

( )

3 3

3 1 1

1 1

x

x x x

x x

x x

x x

e e

x e e

f x x e x x

e e e

⎛ + ⎞

⎜ ⎟ +

+ ⎝ ⎠

= = =

+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ +

Par croissance comparée, il vient :

3

lim _x lim _x 0

x x

x x

e e

→+∞ = →+∞ = puis (somme) :

3

lim _x 1 lim _x 1 1

x x

x x

e e

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎛ + =⎞ ⎜ + =⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et enfin (rapport) :

( )

3

1

lim lim 1

1

x

x x

x

x

e f x

x e

→+∞ →+∞

+ = =

+

.

La courbe représentative de la fonction f admet ainsi au voisinage de +∞ une asymptote horizontale d’équation y=1.

Pour étudier la position de la courbe par rapport à l’asymptote, on étudie le signe de la différence : ^{f x}

( )

^−1.

On a :

( )

^{3 3}

( )

³

(

¹

)(

¹

)

1 1

x x

x

x x x x

x e x e x x x

x e x x

f x x e x e x e x e

+ − + − +

+ −

− = − = = =

+ + + +

On a facilement le tableau de signe :

−∞ −1 α 0 1 +∞

x

– – –

⁰

+ +

1

x−

– – – –

⁰

+

1

x+

–

⁰

+ + + +

x e+ x

– –

⁰

+ + +

( )

¹

f x −

+

⁰

– || ⁺

⁰

^–

⁰

⁺

Ainsi, la courbe représentative de la fonction f :

• Coupe la droite d’équation y=1 pour x= −1, 0 ou 1.

• Est située au-dessus de la droite d’équation y=1 pour tout réel x dans

]

^{−∞ −; 1}

[

^,

]

^{α; 0}

[

^ou

]

^{1 ;+ ∞}

[

^.

• Est située en dessous de la droite d’équation y=1 pour tout réel x dans

]

^{−1 ;α}

[

^ou

] [

^{0 ;1 .}

Résultat final

La courbe représentative de la fonction

3

:

x x

x e f x x e

+

6 + admet :

• Une asymptote verticale d’équation x=α.

• Au voisinage de −∞ une parabole asymptote d’équation y=x².

Si x appartient à

]

^{−∞ −; 1}

[

^ou

] [

^{α; 1} (respectivement «

]

^{−1 ;α}

[

^ou

]

^{1 ;+ ∞}

[

»), la courbe représentative de la fonction f est située au-dessus (respectivement « en dessous ») de la parabole. Elle la coupe pour x= −1 ou x=1.

• Au voisinage de +∞ une asymptote horizontale d’équation y=1.

Si x appartient à

]

^{−∞ −; 1}

[

^,

]

^{α; 0}

[

^ou

]

^{1 ;+ ∞}

[

(respectivement «

]

^{−1 ;α}

[

^ou

] [

^{0 ;1 ») la}

courbe représentative de la fonction f est située au-dessus (respectivement « en dessous ») de son asymptote. Elle la coupe pour x= −1, 0 ou 1.

Complément

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la courbe représentative de la fonction f (en bleu) et de ses trois courbes asymptotes (en vert).