Calculer les limites en 0 (à gauche et à droite), en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur * \ par :

PanaMaths

Décembre 2009

Calculer les limites en 0 (à gauche et à droite), en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur * \ par :

( ) ¹ ₅

^{( )}

f x = e

Donner une interprétation géométrique des résultats obtenus.

Analyse

L’exercice fait appel à quelques limites classiques de l’exponentielle et requiert de connaître la limite de sinx

x en 0.

Résolution

On écrit, pour tout x réel non nul :

( ) ( )

2

sin 5 5 sin 5 5

x x

x = ×x x

En tenant compte de

lim 50 0

x x

→ = et de

0

limsin 1

x

x

→ x = il vient (composition) :

( )

0

sin 5

lim 1

5

x

x

→ x = .

En tenant compte ensuite de

0 0

lim5

x

x^→_< x= −∞, il vient (produit) :

( )

0 2 0

sin 5 lim

x x

x

→ x

<

= −∞

Par ailleurs, on a la limite classique (cours) : lim ^x 0

x e

→−∞ = .

On en déduit alors (composition) :

0

( )

0

lim 0

x x

→ f x

<

= On procède de façon analogue à droite de 0.

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Décembre 2009

On a cette fois :

0 0

lim5

x

x^→_> x= +∞ et donc :

( )

0 2 0

sin 5 lim

x x

x

→ x

>

= +∞

On a la limite classique (cours) : lim ^x

x e

→+∞ = +∞. On en déduit alors (toujours par composition) :

0

( )

0

lim

x x

→ f x

>

= +∞

Le premier résultat nous indique que la fonction f peut être prolongée par continuité à gauche en 0. La courbe représentative de la fonction f admet donc en 0 à gauche un point limite qui est simplement l’origine

D’après le second résultat, la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation : x=0.

Pour les limites en −∞ et en +∞, on effectue deux remarques :

• On a : lim ² lim ²

x x x x

→−∞ = →+∞ = +∞ ;

• Pour tout x réel non nul :

( )

2 2 2

sin 5

1 x 1

x x x

− ≤ ≤ .

On a alors : 1₂ 1₂

lim lim 0

x^→−∞ x x^→+∞x

⎛− ⎞= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Le théorème des gendarmes nous permet alors d’écrire :

( ) ( )

2 2

sin 5 sin 5

lim lim 0

x x

x x

x x

→−∞ = →+∞ = .

Enfin il vient (par composition) :

( ) ( )

lim lim

5 5

x f x x f x e

→−∞ = →+∞ = =

( ) ( )

lim lim

5

x f x x f x

→−∞ = →+∞ =

La courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’équation : 1 y=5.

En guise de complément, nous fournissons la courbe représentative de f :

PanaM

Résul

Maths

ltat final

Po

Courbe r

l

our la foncti

représentati

ion f définie lx

lix x

→>

(

xlim f

→−∞

[3 - 3]

ive de la fon

e sur \^*₊ pa

0

( )

0

lim 0

x x

→ f x

<

=

0

( )

0

m f x

→>

= +

( )

x x f

= →+∞

nction x6

ar

( )

f x =5 0

+∞

( )

f x =5

( )

2 sin 5

1 5

x

e x .

( )

2 sin 5

1 5

x

e x , on

Décembr

a :

re 2009