Première S2 Exercices sur le chapitre 5 : E6. 2007 2008
E6 Savoir déterminer un majorant ou un minorant.
N ° 10 Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² + 2x − 8.
A ) ( x + 1 )² − 9 = x² + 2x + 1 − 9 = x² + 2x − 8 = f ( x ).
Donc f ( x ) peut s'écrire sous la forme f ( x ) = ( x + 1 )² − 9.
B ) Déterminons le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] - ∞ ; - 1 ].
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; - 1 ] tels que x1 < x2 ≤ - 1.
Alors x1 + 1 < x2 + 1 ≤ 0.
Donc ( x1 + 1 )² > ( x2 + 1 ) ² ≥ 0.
Ainsi ( x1 + 1 )² − 9 > ( x2 + 1 ) ² − 9 ≥ - 9.
D'où f ( x1 ) > f ( x2 ).
Donc la fonction f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; - 1 ].
C ) Dressons le tableau de variation de f sur l'intervalle ] - ∞ ; - 1 ].
x −∞ - 1
f
- 9 D ) Déterminons un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ - 4 ; - 2 ].
Soit x ∈ [ - 4 ; - 2 ] Alors - 4 ≤ x ≤ -2.
f ( - 4 ) ≥ f ( x ) ≥ f ( - 2 ) car la fonction f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; - 1 ].
Ainsi 0 ≥ f ( x ) ≥ - 8. Donc un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ -4 ; - 2 ] est [ - 8 ; 0 ].
E ) Déterminer deux majorants de f sur l'intervalle [ - 4 ; - 2 ] : 1 et 2 car pour tout x de [ - 4 ; - 2 ], f ( x ) ≤ 1 ≤ 2.
N ° 11 Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = - 2x² + 4x − 3.
A ) - 2 ( x + a )² + b = -2x² − 4ax − 2a² + b = - 2x² + 4x − 3 ⇔ - 4a = 4 et -2a² + b = - 3 ⇔ a = - 1 et b = - 1.
Donc f ( x ) = - 2 ( x − 1 )² − 1.
B ) Déterminons le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ 1 ; + ∞ [.
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle [ 1 ; + ∞ [ tels que 1 ≤ x1 < x2. Alors 0 ≤ x1 − 1 < x2 − 1
Donc 0 ≤ ( x1 − 1 )² < ( x2 − 1 ) ² - 2 ≥ - 2 ( x1 − 1 )² > - 2 ( x2 − 1 ) ²
Ainsi - 3 ≥ - 2 ( x1 − 1 )² − 1 > -2 ( x2 − 1 ) ² − 1.
D'où f ( x1 ) > f ( x2 ).
Donc la fonction f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ 1 ; + ∞ [ C ) Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [ 1 ; + ∞ [.
x 1 + ∞
- 1 f
D ) Déterminer un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ 2 ; 3 ].
Soit x ∈ [ 2 ; 3 ] Alors 2 ≤ x ≤ 3.
f ( 2 ) ≥ f ( x ) ≥ f ( 3 ) car la fonction f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [ 1 ; + ∞ [ Ainsi - 3 ≥ f ( x ) ≥ - 9. Donc un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ -4 ; - 2 ] est [ - 9 ; - 3 ].
E ) Déterminons deux minorants de f sur l'intervalle [ 2 ; 3 ].
- 11 et - 10 car pour tout x de [ 2 ; 3 ], - 11 ≤ - 10 ≤ f ( x ).
N ° 12 f ( x ) =
1
² x
1+ Pour tout x réel,
1
² x
1+ ≥ 0 donc 0 est un minorant de f sur . Pour tout x réel, x² ≥ 0 donc x² + 1 ≥ 1 donc
1
² x
1+ ≤ 1 cad f ( x ) ≤ 1 donc 1 est un majorant de f sur . Pour tout réel x, 0 ≤ f ( x ) ≤ 1. Donc f est une fonction bornée sur .
Première S2 Exercices sur le chapitre 5 : E6. 2007 2008
N ° 9
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² + 6x + 10.
Rappel : f ( x ) = ( x + 3 )² + 1.
Déterminons un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ - 2 ; 2 ].
Soit x ∈ [ - 2 ; 2 ].
Alors - 2 ≤ x ≤ 2
Donc - 2 + 3 ≤ x + 3 ≤ 2 + 3 Ainsi 1 ≤ x + 3 ≤ 5
1² ≤ ( x + 3 )² ≤ 5² 2 ≤ ( x + 3 )² ≤ 26.
Un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ - 2 ; 2 ] est 2 ≤ f ( x ) ≤ 26 pour tout x de [ - 2 ; 2 ].
N ° 11 f ( x ) =
4
² x
3
−+ Pour tout réel x,
4
² x
3
−+ ≤ 0 donc 0 est un majorant de f sur . Pour tout x réel, x² ≥ 0 donc x² + 4 ≥ 4 donc x²+4 ≥ 2 donc
4
² x
1
+ ≤ 0,5 d'où 4
² x
3 +
− ≥ -1,5.
Donc -1,5 est un minorant de f sur .
Pour tout x réel, -1,5 ≤ f ( x ) ≤ 0 donc f est une fonction bornée sur . N ° 12
f ( x ) =
)² 1 x ( 4
1+ + − 3
Pour tout x réel, ( x + 1 )² ≥ 0 donc ( x + 1 )² + 4 ≥ 4 donc
)² 1 x ( 4
1+
+ ≤ 0,25 d'où
)² 1 x ( 4
1+
+ − 3 ≤ 0,25 − 3 Donc f ( x ) ≤ -2,75. Ainsi -2,75 est un majorant de f.
)² 1 x ( 4
1+
+ ≥ 0 donc h ( x ) ≥ - 3 donc - 3 est un minorant de f.
ainsi - 3 ≤ h ( x ) ≤ -2,75 donc f est une fonction bornée sur .
