FONCTION DÉRIVÉE

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FONCTION DÉRIVÉE

I) DEFINITIONS

Soit f une fonction définie sur I.

Définition 1 :

On dit que f est dérivable sur I si elle l’est en tout a de I.

Définition 2 :

Soit f dérivable sur I.

On appelle fonction dérivée de f sur I, la fonction qui à tout x de I associe son nombre dérivé.

notation : f ' : I  ℝ x f '(x)

Exemple 1: f : x x² ∀a∈ℝ et h≠0 Th=ah²– a²

h = 2a + h donc lim_h_₀Th = 2a est un réel pour tout a donc f est dérivable sur ℝ et ∀x∈ℝ on a f ‘(x) = 2x.

Exemple 2: g : x _x³

II) DERIVEES DES FONCTIONS DE REFERENCE

f(x) ensemble de

définition

ensemble de dérivabilité

f ‘(x)

k (constante réelle) ℝ ℝ 0

a x + b a et b réels ℝ ℝ a

xⁿ n ∈ ℕ ℝ ℝ nx^n-1

xⁿ n ∈ ℤ^-∗ ℝ* ℝ* nx^n-1

1/x ℝ* ℝ* -1/x²



^x ℝ⁺ ℝ^+∗ 1/(2



^{x )}

III) DERIVEE ET OPERATIONS.

Propriété :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur I, alors u + v et u.v sont dérivables sur I et

∀x∈ I ( u + v ) ‘(x) = u ‘(x) + v ‘(x) et (u.v) ‘(x) = u ‘(x) . v (x)+ u (x) . v ‘(x)

Démonstration :uvah–uva

h =uah×vah– uah×vauah×va– ua×va h

= uah×vah– va

h va×uah– ua h

Exemples :

Propriété :

Si f est dérivable sur I et k un réel alors kf est dérivable sur I et (kf) ‘ = k f ’ Propriété :

Soient u et v deux fonctions dérivables sur I telles que pour tout x de I v(x) ≠0 alors 1 v et

u v sont dérivables sur I et



¹v



^'^{= –}^{v '}v²

et



^u^v



^'⁼^{u '×}^{v – u×}v² ^{v '}

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Démonstration

1

vah– 1 va

h =va– vah

h × 1

vah×va

et



^uv



^'⁼



^u×¹v



^' ...

Exemples :

IV ) DÉRIVÉE ET VARIATION

Th admis :

Soit f dérivable sur un intervalle I.

Si f ’  0 sur I alors f est croissante sur I..

Si f ’  0 sur I alors f est décroissante sur I.

Si f ‘ = 0 sur I alors f est constante sur I..

Exemple : Etudier les variations de f définie par f (x) = 2x² -16 x + 5 Exercices :

Théorème :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J.

Si f ‘ s’annule en un réel a de J en changeant de signe alors f admet un extremum local.

Problèmes concrets d'optimisation : Théorème :

Si dérivable et strictement monotone sur [a;b] alors pour tout les réels k compris entre f (a) et f (b) , l’équation f (x) = k admet une et une seule solution dans [a;b].

Exercice : Déterminer le nombre de solutions de l’équation x³ - 3 x - 5 = 0 sur [- 3 ; 3 ] puis donner une valeur approchée à 10^-2 prés de ces solutions.