Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g un fonction dérivable sur l’intervalle J. La fonctiong◦f est une fonction dérivable surI et pour tout nombre réela, on a l’égalité :
[g◦f]′
(a) =f′(a)×g′[ f(a)] Démonstration :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g un fonction dérivable sur l’intervalle J. On considère un nombre réela∈I tel que :
f(a) =b ; b∈J.
On considère la fonction εdéfinie par :
ε(x) = g(x)−g(b)
x−b −g′(b) pourx̸=b
ε(x) = 0 pourx=b
On effectue les deux remarques préliminaires : On a la limite suivante :
x7→blim
x>b
ε(x) = lim
x7→b x>b
[g(x)−g(b) x−b −g′(b)
]
= lim
x7→b x>b
[g(x)−g(b) x−b
]
−g′(b)
La fonctiong est dérivable enb:
=g′(b)−g′(b) = 0
De même, on obtiendra la limite : lim
x7→b x<b
ε(x) = 0
Ainsi, on obtient les égalités : lim
x7→b x<b
ε(x) = lim
x7→b x>b
ε(x) =ε(b)
On en déduit que la fonctionεest continue en0.
La fonctionf étant dérivable ena, on en déduit que la fonction composéeε◦f est continue en a. On en déduit la limite suivante :
xlim7→a
(ε◦f)
(x) =ε[ f(a)]
=ε(b) = 0
Etudions une expression deg(x)−g(b)par la disjonction de cas suivante sur la valeur de x: Six∈J etx̸=b: ε(x) = g(x)−g(b)
x−b −g′(b) =⇒ g(x)−g(b) =[
ε(x) +g′(b)]
·(x−b) Six=b:
g(x)−g(b) =g(b)−g(b) = 0 [ε(x) +g′(b)]
·(x−b) =[
ε(b) +g′(b)]
·(b−b) =[
0 +g′(b)]
×0 = 0 Ainsi, on en déduit que pour tout nombre réelx∈J, on a :
g(x)−g(b) =[
ε(x) +g′(b)]
·(x−b)
En particulier, on pourra utiliser l’égalité suivante pour toutx∈I : g[
f(x)]
−g(b) =[ ε[
f(x)]
+g′(b)]
·[
f(x)−b]
Etudions le quotient suivant :( g◦f)
(x)−( g◦f)
(a) x−a = g[
f(x)]
−g[ f(a)] x−a =g[
f(x)]
−g(b) x−a =
[ε[ f(x)]
+g′(b)]
·[
f(x)−b] x−a
=[ ε[
f(x)]
+g′(b)]
·f(x)−b x−a =
[ ε[
f(x)] +g′(b)
]·f(x)−f(a) x−a On a les deux limites suivantes :
La fonctionε◦f est continue ena:
xlim7→a
[ ε[
f(x)] +g′(b)
]
= lim
x7→aε[ f(x)]
+g′(b) = 0 +g′(b) =g′(b) =g′[ f(a)] La fonctionf étant dérivable ena, on a : lim
x7→a
f(x)−f(a)
x−a =f′(a) On en déduit la limite suivante :
xlim7→a
(g◦f) (x)−(
g◦f) (a)
x−a = lim
x7→a
[ε[ f(x)]
+g′(b)]
·f(x)−f(a) x−a =g′[
f(a)]
×f′(a)
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Preuve :(avec le développement limité à l’ordre1 d’une fonction dérivable)
Soitf une fonction dérivable enaet g une fonction dérivable enf(x). Montrons que le nombre dérivée de la fonction( g◦f) enaa pour valeur :
(g◦f)′
(a) =f′(a)·g′[ f(a)]
Utilisation de la dérivabilité def et de g :
La fonctionf étant dérivable ena, il existe une fonctionεtelle que pour touthtel quea+h∈Df : f(a+h) =f(a) +h·f′(a) +h·ε(h) où lim
h7→0ε(h) = 0
La fonctiong étant dérivable enf(a), il existe une fonction ε′ telle que pour toutktel quef(a)+k∈Dg : g[
f(a)+k]
=g[ f(a)]
+k·g′[ f(a)]
+k·ε′(k) où lim
h7→0ε′(h) = 0 Identification de limites tendant vers 0 :
On a l’égalité suivante :
f(a+h) =f(a) +h·f′(a) +h·ε(h) f(a+h)−f(a) =h·f′(a) +h·ε(h) f(a+h)−f(a) =h·[
f′(a) +ε(h)]
On en déduit que la limite suivante : lim
h7→0f(a+h)−f(a) = 0
Ainsi, la différence a une valeur aussi proche de0que l’on souhaite pour des valeurs de hsuffisamment proches de0.
Substitution de variables :
Remplaçons dans l’égalité toute valeur dekparf(a+h)−f(a): g
( f(a)+[
f(a+h)−f(a)])
=g( f(a))
+[
f(a+h)−f(a)]
·g′( f(a))
+[
f(a+h)−f(a)]
·ε′(
f(a+h)−f(a)) g(
f(a+h))
=g( f(a))
+[
f(a+h)−f(a)]
·g′( f(a))
+[
f(a+h)−f(a)]
·ε′(
f(a+h)−f(a)) Utilisons l’égalitéf(a+h)−f(a) =h·[
f′(a) +ε(h)] : g(
f(a+h))
=g( f(a))
+h·[
f′(a) +ε(h)]
·g′( f(a))
+h·[
f′(a) +ε(h)]
·ε′ (
h·[
f′(a)+ε(h)]) g(
f(a+h))
=g( f(a))
+h·g′( f(a))
·f′(a) +h·g′[ (f(a))
·ε(h) +h·[
f′(a) +ε(h)]
·ε′ (
h·[
f′(a)+ε(h)]) g(
f(a+h))
=g( f(a))
+h·g′( f(a))
·f′(a) +h·[ g′(
f(a))
·ε(h) +[
f′(a) +ε(h)]
·ε′ (
h·[
f′(a)+ε(h)])]
Notonsσ(h) =g′( f(a))
·ε(h) +[
f′(a) +ε(h)]
·ε′ (
h·[
f′(a)+ε(h) )
, on a l’égalité : g(
f(a+h))
=g( f(a))
+h·g′[ f(a)]
·f′(a) +h·σ(h) Identification du développement limité de(
g◦f) en a: On a les limites suivantes :
lim
h7→0h·[
f′(a) +ε(h)]
= 0 =⇒ lim
h7→0ε′ (
h·[
f′(a) +ε(h)])
= 0 lim
h7→0f′(a)+ε(h) =f′(a)
=⇒ lim
h7→0
[f′(a) +ε(h)]
·ε′ (
h·[
f′(a) +ε(h)])
= 0
lim
h7→0ε(h) = 0 =⇒ lim
h7→0g′[ f(a)]
·ε(h) = 0 On en déduit que lim
h7→0σ(h) = 0 Ainsi, on a l’égalité suivante :
g(
f(a+h))
=g( f(a))
+h·g′( f(a))
·f′(a) +h·σ(h) où lim
h7→0σ(h) = 0 On en déduit que la fonction(
g◦f)
est dérivable enaet admet pour nombre dérivée : (g◦f)′
(a) =f′(a)·g′( f(a))
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