Chapitre 2 : Fonctions  limites, continuité et dérivabilité TS A. Limites d'une fonction

A. Limites d'une fonction

I. Limite en ∞ et en –∞ 1. Limites finie et infine

Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [a;∞ [ où a∈ℝ .

DÉFINITIONS  Soit l un réel. On dit que fx tend vers l lorsque x tend vers ∞ quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de fx pour x suffisamment grand.

On note lim

x∞ fx=l

 On dit que fx tend vers ∞ lorsque x tend vers ∞ quand tout intervalle de la forme [A;∞[ contient toutes les valeurs de fx pour x suffisamment grand

On note lim

x∞ fx=∞

Exercice : Définir la limite de fx égale à l lorsque x tend vers –∞ et la limite de fx égale à –∞ lorsque x tend vers –∞

Interprétations graphiques : lim

x∞

fx=l

On dit que :

La droite  d'équation y=l est ...

En d'autres termes, l'écart entre un point de la courbe et un point de la droite  pour un x

donné, tend vers 0 lorsque x tend vers ∞.

lim

x∞

fx=∞

Fonctions usuelles :

lim

x∞

fx=∞ lim

x∞

fx=0

x x x 1

x

x x

x 1

x

x x² x 1

x²

x xⁿ

n entier naturel non nul

x 1

xⁿ n entier naturel non

2. Limites et ordre

THÉORÈME  Soit l un nombre réel et f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle de la forme [a;∞ [ .

Si • pour tout xa, gxfxhx

• lim

x∞

gx=l

• lim

x∞

hx=l

Alors lim

x∞

fx=l

Théorème analogue en –∞. ( f, g et h définies sur ]–∞, a] ) Ce théorème est connu sous le nom de "théorème des gendarmes".

THÉORÈMES de comparaison Soit f etg deux fonctions définies sur un intervalle de la forme [a;∞ [ .

Si • pour tout xa, fxgx

• lim

x∞

gx=∞

Alors lim

x∞

fx=∞

et

Si • pour tout xa, fxgx

• _lim

x∞

gx=−∞

Alors lim

x∞

fx=−∞

Théorèmes analogues en –∞ ( f et g définies sur ]–∞, a] ) Exemples :

Déterminer la limite de f en ∞ et de g en 0 : fx=x –2sinx et gx=xsin^1x

3. Asymptote oblique

DÉFINITION  Si fx=axbx_avec lim

x∞

x=0 _{, on} dit que la droite  d’équation y=axb est asymptote à la courbe de f en ∞.

Définition est analogue en –∞ . Exemple :

On considère la fonction f définie pour tout x≠0 par

fx=x²–2x3

x . Étudier son comportement en ∞ .

II. Limite en a (a réel)

Soit a dans et une fonction ℝ f dont l'ensemble de définition est un intervalle contenant a ou un intervalle de la forme ]...,a[ ou ]a,...[ .

1. Limite finie en a

DÉFINITION  Soit l un nombre réel. On dit que fx tend vers l lorsque x tend vers a quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs fx pour x assez proche de a.

On note …...

• Fonction définie en a : Pour toutes les fonctions de référence et la somme, le produit, le quotient ou la valeur absolue de telles fonctions : Si f définie en a _alors lim

xafx=fa

exemple : lim

x2 x²x1=

• Fonction non définie en a : Si pour x≠a _, fx=gx_{, où} g est une fonction usuelle définie en a, alors f admet une limite en a, et lim

xafx=ga

exemple : Limite de f en 3, où f est la fonction définie sur ℝ-{3} par fx=x²7x –30 x –3

2. Limite infinie en a

DÉFINITION  On dit que fx tend vers ∞ _lorsque x tend vers a quand tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les images fx pour x assez proche de a.

On note …...

Définition analogue pour une limite égale à –∞ Interprétations graphiques : Lorsque lim

xa fx=∞ (ou –∞ ) on dit que la droite  : x=a est asymptote verticale à C_f ( définition valable aux limites à gauche et à droite )

Remarque importante : Le théorème des gendarmes et les théorèmes de comparaison restent valables pour des limites en un réel a.

Fonctions usuelles :

xlim0x0

1

^{x= xlim0x0}

1

x= lim

x0x0

1

x= lim

x0

1 x²=

III. Limites et opérations

Lorsque deux fonctions f et g ont des limites connues , on peut en général en déduire la limite de la fonction somme

fg , de la fonction produit f×g , de la fonction quotient f g ^.

Ces règles opératoires sont rassemblées dans les tableaux qui suivent.

Les limites sont prises soit en –∞ , soit en ∞ , soit en un réel a . l et l ' sont deux réels.

• Limite d'une somme

Si f a pour limite l l l ∞ –∞ ∞

Si g a pour limite l' ∞ –∞ ∞ –∞ –∞

Alors f +g a pour limite

• Limite d'un produit

Si f a pour limite l l0 l0 l0 l0 ∞ ∞ –∞ 0

Si g a pour limite l' ∞ –∞ ∞ –∞ ∞ - ∞ –∞ –∞ ou ∞

Alors fg a pour limite

• Limite d'un quotient

✗ Cas où la limite de g n'est pas nulle

Si f a pour limite l l ∞ ∞ –∞ –∞ –∞ ou ∞

Si g a pour limite l'≠0 ∞ ou –∞ l'0 l'0 l'0 l'0 –∞ ou ∞

Alors f

g a pour limite

✗ Cas où la limite de g est nulle

Si f a pour limite l0 ou ∞ l0 ou ∞ l0 ou –∞ l0 ou –∞ 0 Si g a pour limite 0 en restant

positif 0 en restant

négatif 0 en restant

positif 0 en restant

négatif 0

Alors f

g a pour limite

Exercice 1:

A partir des tableaux précédents et en signalant la propriété utilisée, déterminer les limites suivantes:

lim

x4xx _; lim

x−∞

xx1 _; lim

x∞

1

x²1 ^; lim

x0 x0

x x²1 Exercice 2:

limx1 x1

x−3

x²−1 ^; lim

x2 x2

2x5

x²−x−2 ^; lim

x2

x−2 x²x−6 Exercice 3:

lim

x∞

x³−2x1 _; lim

x−∞

x²3x−2

3x²1 ^; lim

x0

^x21−1

x

IV. Limite de la composée de 2 fonctions

THÉORÈME  a , b , c désignent des réels ou ∞ ou –∞ , f et g sont des fonctions.

Si • ^lim_xa^fx=b

• ^lim_xb^gx=c

Alors ...

Exemple : hx=^{41x sur ]0 ;∞ [.}

(à venir)

B. Continuité

Introduction : Annexe "Fonctions ?"

I. Fonctions continues

DÉFINITION  Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I. La fonction f est continue en a_{, si} lim

xa

fx=fa.

La fonction f est continue sur l'intervalle I, si elle est continue en tout nombre réel a de I. Interprétation graphique :

• On peut tracer la courbe C₁ sans lever le crayon. Si C₁ est la courbe de la fonction f sur [a₀;a₁] _alors f est continue sur [a₀;a₁]_.

• On ne peut pas tracer C₃ sans lever le crayon donc si C₃=C_{g alors} g n'est pas continue sur [a₀;a₁]_.

lim g x

Cas des fonctions usuelles : Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, racine carré, valeur absolue, ainsi que les sommes, produits, quotients et composées de telles fonctions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

Exercices : 1. Justifier la continuité de la fonction h définie sur ]–∞;–1] par hx=x^{x2– 1}

2. La fonction k définie sur [0;∞ [ par kx={ x si x∈[0 ; 1[

x² si x∈ [1 ;∞[ est-elle continue sur [0;∞ [ ? II. Propriétés des fonctions continues

1. Théorème des valeurs intermédiaires

THÉORÈME  Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans I. Pour tout k compris entre fa et fb, il existe un réel c compris entre a et b tel que : fc=k Ce théorème porte le nom de "Théorème des valeurs intermédiaires"

Remarque :

Exercice : Démontrer que l'équation x³– 3 x=1 admet au moins une solution ( voir Méthode ) 2. Image d'un intervalle par une fonction continue

DÉFINITION et NOTATION  Soit f une fonction définie sur D_{f et} I un intervalle inclus dans D_{f .} L'image de l'intervalle I par la fonction f est l'ensemble de toutes les images des réels appartenant à

I. On note fI cet ensemble.

Attention : f(I) n'est pas obligatoirement un intervalle. ( Annexe)

PROPRIÉTÉ  Si f est continue sur l'intervalle I (inclus dans D_f) alors fI est un intervalle.

Exercice : Expliciter fI si fx=x^{2 et} I=[– 1;2]. III. Fonction continue strictement monotone

THÉORÈME  Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a;b] _.

Pour tout k compris entre fa et fb, l'équation fc=k a une solution unique dans [a;b]. Ce théorème porte le nom de "Théorème de la bijection"

Important : Ce théorème reste valable si f est définie sur un intervalle ouvert ]a;b[ ( a et b finis ou infinis ) ou semi-ouvert dans le cas où les limites aux bornes de l'intervalle sont connues.

Remarque : Les deux théorèmes précédents s'utilisent pour la résolution approchée d'une équation du type fx=k. (à condition que f remplisse les conditions requises)

Exemple : Reprendre l'équation x³– 3 x=1 et dénombrer le nombre de solutions.

Algorithmique : Recherche de valeur approchée de solution par dichotomie (Site) , par balayage (Calculatrice)

C. Dérivation

I. Définition

1. Dérivabilité en a

DÉFINITION  Soit f une fonction définie sur D_{f et} a un réel de D_{f .}

On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement de f en a admet une limite l finie en a : lim

xa

fx– fa

x – a =l ou, écrit autrement, lim

h0

fah– fa

h =l

Dans ce cas, l est appelé le nombre dérivé de f en a et se note f 'a.

Interprétation graphique :

Si f est dérivable en a, le réel f 'a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C_{f au point}

Aa;fa.

Équation de la tangente :

y=f 'ax – afa

Fonctions non dérivables en a :

• x ∣x∣ _{en 0 ;}

• x x en 0 .

2. Utilisation de la dérivabilité en a

• Calcul de limite (f.i) : lim

x0

sinx x =?

• Continuité en a : Toute fonction dérivable en a est continue en a.

• Approximation affine : Si f est dérivable en a alors, pour x proche de a : fx≈f 'a x – afa (Méthode d'Euler)

3. Fonction dérivée

Lorsqu'une fonction f est dérivable en tout réel d'un intervalle I , on définit la fonction dérivée f ' : x f 'x sur I.

II. Variation d'une fonction et extremums

THÉORÈME  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si la dérivée f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I ;

• Si f ' est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur I.

• Si f ' est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur I.

Utilisation : Recherche des variations d'une fonction. (déjà vu en première)

THÉORÈME  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x₀∈I_.

• Si f admet un extremum local en x_{0 alors} f 'x₀=0 ; (réciproque fausse)

• Si en x₀ la dérivée f ' s'annule en changeant de signe alors f admet un extremum local en x_0..

Utilisation : Les extremums locaux d'une fonction sont à chercher parmi les nombres qui annulent la dérivée mais à un tel nombre ne correspond pas forcément un extremum local ( fx=x^{3 et} x=0 ) III. Dérivée d'une fonction composée

1. Expression du nombre dérivé d'une fonction composée

THÉORÈME  Soit u une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel x_{0, et} v une fonction définie sur un intervalle J contenant y₀=ux₀

Si u est dérivable en x_{0 et si} v est dérivable en y₀, alors la fonction f=v ou est dérivable en x_{0 et} f 'x₀=u 'x₀×v'ux₀

Exemple : Montrer que f : x sinx² est dérivable sur ℝ et calculer f 'x.

2. Applications

Soit u une fonction dérivable en x_0. Fonction f : x [ux]ⁿ

Fonction g : x ux

IV. Tableaux récapitulatifs

Fonction Dérivée Fonction Dérivée

x k uv

x xⁿ au

x x uv

sin : x sinx 1

v

cos : x cosx u

v tan : x tanx

exp : x e^x ln : x lnx

Fonction Dérivée

exp : x e^x ln : x lnx vou : x voux u^{n :} x [ux ]ⁿ u ^: x ^ux