Exercices sur les limites de fonctions et la continuité

Exercices sur les limites de fonctions et la continuité

1. Exercice La fonction f est définie surI =

−∞;1 2

∪ 1

2; +∞

par :f(x) = 4x+ 3 2x−1 On noteCla courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal.

(a) i. Déterminer les limites de f en +∞et−∞ et en déduire l’existence d’une asymptote ∆à la courbe C.

ii. Préciser la position relative de∆etC.

(b) i. Déterminer les limites à gauche et à droite de f en 1 2 ii. Que peut-on en déduire pour la courbe C?.

(c) Calculer la dérivée def et donner son tableau de variations (d) Tracer la courbe Cet ses asymptotes.

Solution

(a) i. Pour tout x de I on a : f(x) = x

4 + 3

x

x

2− 1 x

= 4 +3

x 2−1 x

x→+∞lim

4 + 3 x

= 4 et lim

x→+∞

2− 1

x

= 2.

Par quotient on obtient : lim

x→+∞f(x) = 2.

Pour faire plus simple,on peut utiliser la règle opératoire suivante : "à l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré". Il suffit donc d’écrire l’enchaînement : lim

x→+∞f(x) = lim

x→+∞

4x 2x = 2.

On trouve de la même façon : lim

x→−∞f(x) = 2

D’après les résultats précédents, la droite ∆ d’équation y = 2 est une asymptote à la courbe Cparallèle à l’axe des abscisses.

ii. Pour étudier la position relative de C et de ∆, il faut étudier le signe de f(x)−2 c’est-à-dire de : f(x)−2 = 5

2x−1.

(b) i. x −∞ 1

2 +∞

signe de2x−1 - 0 +

Limite à droite de 1 2 :

1

lim

x→1 2 x>1 2

4x+ 3 =+5 et lim

x→1 x>12 2

2x−1 = 0⁺,

en multipliant les signes et avec la limite d’un quotient on obtient : lim

x→1 2 x>1 2

f(x) =+∞

De la même façon, on obtient à gauche de ¹₂ : lim

x→12 x<1 2

f(x) =−∞

ii. D’après la question précédente, la droite d’équation x = ¹₂ est une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées ou "verticale" à la courbe C

(c) Pour toutx de I on a :f⁰(x) = −10 (2x−1)² Tableau de variations :

x −∞ 1

2 +∞

f⁰(x) − −

f(x) 2

−∞

+∞

2 (d) Graphique

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

f(x) = ^4x+3_2x−1

y=2

x= ¹₂

C

2

2. Exercice f est la fonction définie sur R r{1} par : f(x) = x²−3x+ 3 x−1

On noteCla courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal.

(a) Déterminer les limites à gauche et à droite de f en 1. Que peut-on en déduire pour la courbe C?.

(b) Déterminer les limites def en +∞ et−∞

(c) i. Déterminer les réels a, betc tels que pour toutx6= 1 : f(x) =ax+b+ c

x−1

ii. Justifier la présence d’une asymptote "oblique", dont vous préciserez l’équation, à la courbe C en+∞ et−∞

Remarque

Si l’expression de la fonctionf peut s’écrire sous la formef(x) =ax+b+ϕ(x)avec lim

x→+∞ϕ(x) = 0 alors la droite d’équation y=ax+b est asymptote à la courbe def en+∞

Solution

(a) On trouve lim

x→1 x>1

f(x) = +∞puis lim

x→1 x<1

f(x) =−∞. La droite d’équation x= 1est une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées ou "verticale" à la courbeC

(b) lim

x→+∞f(x) = lim

x→+∞

x²

x = lim

x→+∞x= +∞

x→−∞lim f(x) = lim

x→−∞

x²

x = lim

x→−∞x=−∞

(c) i. pour tout x6= 1 :ax+b+ c

x−1 = (ax+b)(x−1) +c

x−1 = ax²+ (b−a)x+c−b x−1

Remarque Deux polynômes sont égaux si les monômes de même degré sont affectés des mêmes coefficients.

Par identification des coefficients on a :





 a= 1 b−a=−3 c−b= 3

soit





 a= 1 b=−2 c= 1 Conclusion :f(x) =x−2 + 1

x−1 ii. lim

x→+∞

1

x−1 = 0, de même : lim

x→−∞

1 x−1 = 0

On a bien une asymptote d’équation y=x−2à la courbe Cen +∞ et−∞

3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

y=x−2 x=1

f(x) = ^x2−3x+3_x−1

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