Fonctions : limites et continuité 1. Limite d’une fonction en l’infini
a) Limite finie en l’infini
On dit que tend vers quand tend vers +∞ (ou que la limite de en +∞ est ) si tout intervalle ouvert contenant (de la forme ] − ; + [) contient toutes les valeurs de ( ) pour > ( est un réel qui dépend de et de la fonction ) On note lim
→ ( ) = Exemple : lim
→ ( ) = 0
Pour > 0, − < ( ) < équivaut à < soit > . La valeur de est donc
=
b) Conséquence graphique
La droite d’équation = est asymptote à la courbe de en +∞
c) Limite infinie en l’infini
On dit que tend vers +∞ quand tend vers +∞ (ou que la limite de en +∞ est +∞) si tout intervalle [ ; +∞[ contient toutes les valeurs de ( ) pour ≥ ( est un réel qui dépend de et de la fonction )
On note lim
→ ( ) = +∞
d) Calcul de limites
On emploie les mêmes méthodes que pour une suite Opérations : mêmes règles que pour les suites Addition
Une limite infinie plus une limite finie = une limite infinie
Deux limites infinies de même signe s’ajoutent avec le même infini Deux limites infinies de signes contraires font une forme indéterminée Multiplication
Une limite infinie fois une limite finie non nulle = une limite infinie Deux limites infinies se multiplient en l’infini
Dans les deux cas, on applique la règle des signes
Une limite infinie fois une limite nulle fait une forme indéterminée Inverse, division
L’inverse d’une limite infinie est une limite nulle Pour diviser, on multiplie par l’inverse
Théorème de comparaison :
si pour tout (assez grand) ( ) ≤ ( ) et que lim
→ ( ) = +∞, alors lim→ ( ) = +∞ (plus grand que l’infini, c’est l’infini)
Théorème d’encadrement (ou des gendarmes) :
si pour tout (assez grand) ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) et que lim
→ ( ) =
lim→ ( ) = , alors lim
→ ( ) =
2. Limite d’une fonction en une valeur finie
a) Deux manières de tendre vers une valeur réelle
Il y a deux manières de tendre vers un réel : on peut tendre par valeurs supérieures (en venant de +∞) ou par valeurs inférieures (en venant de −∞) On notera lim→ ( ) ou lim→ ( )
On peut aussi avoir une limite des deux côtés, on pourra écrire lim
→ ( ) b) Limite infinie en
On dit que ( ) tend vers +∞ quand tend vers par valeurs supérieures si tout intervalles [ ; +∞[ contient toutes les valeurs de ( ) pour assez proche de
(mais supérieur à ) c) Interprétation graphique :
la courbe admet la droite d’équation = comme asymptote
d) Limite finie en (définition intuitive)
On dit que ( ) tend vers quand tend vers si ( ) devient très proche de quand est proche de
On peut dire que l’on peut rajouter à la courbe de le point ( ; ) e) Théorèmes
On a des théorèmes analogues, théorème de comparaison, théorème des gendarmes.
On a un théorème sur l’inverse : si une fonction tend vers 0 en restant positive, son inverse tend vers +∞
Si elle reste négative, son inverse tend vers −∞
f) Composition de limites
Composer par , c’est faire la fonction [ ], notée ∘ On a un théorème :
Si lim
→ ( ) = et lim
→ ( ) = alors lim
→ ∘ =
3. Continuité
a) Définition intuitive
On dit que est continue sur l’intervalle si elle est définie sur I et que sa courbe peut se tracer sans lever le crayon
En d’autres termes, est définie sur et admet une limite en chaque ∈ b) Continuité et opérations
Théorème (admis)
Les sommes, produits, quotients, composées de fonctions continues sont continues sur chaque intervalle où elles sont définies
En particulier les fonctions polynômes, fractions rationnelles, racine sont continues
c) Une fonction non continue : la partie entière Elle est définie ainsi :
⌊ ⌋ est le plus grand entier inférieur ou égal à Sa courbe est un escalier
Elle est discontinue en chaque valeur entière.
d) Le théorème des valeurs intermédiaires
Si est continue sur [ ; ], alors pour tout entier compris entre ( ) et ( ), l’équation ( ) = admet au moins une solution dans [ ; ]
Remarques :
Il peut y avoir plusieurs solutions
Il se peut qu’il y ait des solutions pour des non compris entre ( ) et ( ) Ce théorème affirme qu’il y a au moins une solution, mais ne la trouve pas. On reconnait qu’il faut l’appliquer quand l’énoncé dit « Montrer qu’il y a une solution à l’équation » et non « Résoudre l’équation »
Quand vous rédigez : c’est l’équation qui admet des solutions, la fonction n’admet rien.
Si en plus la fonction est strictement croissante sur [ ; ] cette solution est unique.
Si l’intervalle est ouvert, on remplace ( ) ou ( ) par la limite de e) Algorithmes de recherche de solution
Je les donne pour une fonction croissante.Dans chaque cas, la fonction est à taper en dur dans le programme. M est la valeur cible, e la précision recherchée
Balayage TI Balayage Python Dichotomie TI Dichotomie Python prompt
prompt prompt prompt
→ while ( ) <
+ → end
disp − ,
a = input(‘borne inf’)
b=input(‘borne sup’)
m=input(‘valeur recherchée’) e=input(‘précision’) x = a
while f(x) < m : x=x+e print(x-e,x)
prompt prompt prompt prompt while − >
( + )/2 → if ( ) <
then
→ else
→ end end disp ,
a = input(‘borne inf’)
b=input(‘borne sup’)
m=input(‘valeur recherchée’) e=input(‘précision’) while b – a > e : x=(a+b)/2 if f(x) < m : a = x else : b=x print(a,b)
