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Démontrer qu’une suite tend vers
en utilisant la définition
Soit (un) la suite définie pour n par : un = n2 12n 27.
Soit la table des premières valeurs de (un), et sa représentation graphique :
Il semblerait que (un) soit d’abord décroissante, puis croissante, et qu’elle :
« tende vers lorsque n tend vers ».
C’est cette expression qu’il s’agit de formaliser.
1. Il est possible de rendre un supérieur à 7 à partir d’un certain rang.
En effet :
un 7
n2 12n 27 7
n2 12n 20 0
△ = (–12)2 – 4 1 20 = 64, d’où les deux racines : n1 =
1 2
64 ) 12 (
= 2 et n2 =
1 2
64 ) 12 (
= 10.
Un trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines, donc :
un 7 pour n entier appartenant à [0, 2] ou à [10, [.
Et donc :
un 7 à partir du rang 10.
2. Il est possible de rendre un supérieur à 100 à partir d’un certain rang.
Par la même méthode que précédemment, les résultats sont :
△ = 436, n1 = 6 – 109 –4,44 et n2 = 6 109 16,44.
n0 devant être entier :
un 100 dès que n n0 = 17.
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3. Plus généralement :
Est-il possible de rendre un aussi grand que l’on veut, pourvu que n soit assez grand ? Autrement dit :
Quel que soit le réel (positif) A, existe-t-il un entier naturel n0 tel que : n n0 un A ? Il s’agit là de la définition de :
« un tend vers lorsque n tend vers ».
Et qui se note :
nlim un = .
Soit donc A un réel, qui peut être supposé positif.
un A
n2 12n (27 –A) 7
△ = (–12)2 – 4 1 (27 – A) = 36 4A > 0 d’où les deux racines : n1 =
2 4 36
12 A
et n2 =
2 4 36
12 A
.
Un trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines, et la plus grande des deux est certainement n2. C’est son existence qui importe, plus que sa valeur, d’où finalement :
Pour tout A, il existe n0 tel que : n n0 = n2 un A.
Et la conclusion :
nlim un = .
