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Démontrer qu’une suite tend vers l
en utilisant la définition
Soit (un) la suite définie pour n par : un = 2
1 2
n
n .
Soit la table des premières valeurs de (un), et sa représentation graphique :
Il semblerait que (un) soit croissante, et qu’elle :
« tende vers 2 lorsque n tend vers ».
C’est cette expression qu’il s’agit de formaliser.
1. Il est possible de rendre un compris entre 1,9 et 2,1 à partir d’un certain rang.
En effet, quelles sont les valeurs de n telles que :
1,9 < un < 2,1 ? Première inégalité :
1,9 < un
1,9 <
2 1 2
n
n
1,9(n 2) < 2n 1
1,9n 3,8 < 2n 1
2,8 < 0,1n
n > 28.
Deuxième inégalité :
un < 2,1
2 1 2
n
n < 2,1
2n 1 < 2,1n 4,2
–0,1n < 3,2,
inégalité toujours vraie compte tenu du fait que n est un entier naturel, donc positif.
2
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Finalement :
1,9 < un < 2,1 à partir du rang 28.
2. Il est possible de rendre un compris entre 1,99 et 2,01 à partir d’un certain rang.
Par la même méthode que précédemment, les résultats sont : 1,99 < un < 2,01 à partir du rang 298.
3. Plus généralement :
Étant donné un intervalle ouvert centré en 2 (par exemple de la forme ]2 – 10–p, 2 – 10–p[, est- il possible de que un appartienne à cet intervalle, pourvu que n soit assez grand ?
Autrement dit :
Quel que soit le réel (strictement positif) ε, existe-t-il un entier naturel n0 tel que : n n0 un ]2 – ε, 2 ε[ ?
Il s’agit là de la définition de :
« un tend vers 2 lorsque n tend vers ».
Et qui se note :
nlim un = 2.
Soit donc ε un réel strictement positif.
2 – ε < un < 2 ε
2 – ε <
2 1 2
n
n < 2 ε
Par la même méthode que précédemment : La première inégalité conduit à : n >
2 3
, et la deuxième est vraie pour tout n.
Finalement :
2 – ε <
2 1 2
n
n < 2 ε dès que n >
2 3
. La valeur précise n’a pas d’importance.
Ce qui compte, c’est qu’il soit possible de rendre un aussi proche de 2 que l’on veut, pourvu que n soit assez grand.
En conclusion :
nlim un = 2.
