La suite (an) ne tend pas vers 0, la s´erie P an est donc divergente

Universit´e Paris 7 MI3 et MA4

L2, MIAS et MASS 2006-2007

Corrig´e du partiel du 4 novembre

1) Remarquons que les trois premi`eres s´eries sont `a termes positifs.

1- Soit a_n=

1− 3 n

n

, pour tout n ≥1. On a ln(1−(3/n)) ∼ −3/n, quand n → +∞, d’o`u lim_n→+∞a_n =e⁻³. La suite (a_n) ne tend pas vers 0, la s´erie P

a_n est donc divergente.

2- Soita_n = (n!)³

(3n)! pour toutn ≥1. On a a_n+1

an

= ((n+ 1)!)³ (3n+ 3)!

(3n)!

(n!)³ = (n+ 1)² 3(3n+ 2)(3n+ 1).

Il vient donc limn→+∞a_n+1/a_n = 1/9. Puisque 1/9< 1, le crit`ere de d’Alembert s’applique, et nous dit que la s´erie P

a_n est convergente.

3- Soita_n = ln⁵n

n^4/3 pour tout n≥1. Il est connu que

n→+∞lim n^5/4a_n= lim

n→+∞

ln⁵n n^1/12 = 0. On a donc

a_n≤ 1 n^5/4

`

a partir d’un certain rang. Puisque 5/4 > 1, la s´erie de Riemann P

n^−5/4 est convergente. Le crit`ere de comparaison s’applique, et nous dit que la s´erie P

a_n est convergente.

4- Soit a_n = tan(−1)ⁿ

√n , pour tout n ≥ 1. Puisque la fonction tangente est impaire, on a a_n = (−1)ⁿtan^√1_n. Puisque la fonction tangente est croissante positive sur [0,1], et continue en 0, on peut appliquer `a la s´erie P

a_nle th´eor`eme sur les s´eries altern´ees et conclure qu’elle est convergente.

2) a) Pour tout nombre complexe z, on a

∀n∈N 1

100|z|ⁿ≤a_n|z|ⁿ≤100|z|ⁿ.

En utilisant le crit`ere de comparaison et les propri´et´es connues des s´eries g´eom´etriques, on voit que la s´erie P

n≥0|a_nzⁿ| converge pour |z|<1 et qu’elle diverge pour |z| >1. Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0a_nzⁿ est donc ´egal `a 1.

b) Appliquons le crit`ere de Cauchy `a la s´erie `a terme positif P

u_n, o`uu_n = zⁿ³

. On au^1/nn =

|z|ⁿ², de sorte queu^1/nn tend vers 0 si|z|<1, vers +∞ si|z|>1. Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0zⁿ³ est donc ´egal `a 1.

3) a) On a

∀x≥0 f_n⁰(x) = 1

n^3/2e^−xn >0,

de sorte que f_n est croissante sur l’intervalle [0,+∞[. Les valeurs limites sont f_n(0) = 0 et limx→+∞f_n(x) = 1.

b) Soit x ≥ 0. Puisque f_n(x)≥ 0 pour tout n ≥ 1, on peut appliquer le crit`ere d’´equivalence.

Partant du DL : e^t = 1 +t+o(t), pour t →0, on obtient fn(x)∼ x

n^3/2 quand n → ∞. Puisque la s´erie (de Riemann)P

1/n^3/2 est convergente, la s´erie P

n≥1f_n(x) l’est aussi.

c) Soitb un r´eel positif. D’apr`es la premi`ere question, on a sup_0≤x≤b|f_n(x)|=f_n(b). Puisque la s´erie P

f_n(b) est convergente, la s´erie de fonctions P

n≥1f_n converge normalement sur [0, b].

d) Toujours d’apr`es la premi`ere question, on a sup_x≥0|f_n(x)| = 1. La s´erie de terme g´en´eral 1

´

etant divergente, on conclut que la s´erie de fonctions P

n≥1f_n ne converge pas normalement sur [0,+∞[.

e) D’apr`es le th´eor`eme de continuit´e pour les s´eries de fonctions, la continuit´e de chacune des fonctions fn et la convergence normale de la s´erie P

fn sur tout intervalle [0, b] (b > 0) impliquent la continuit´e def sur tout intervalle [0, b] (b > 0). En raison du caract`ere local de la continuit´e, on conclut que f continue sur [0,+∞[.

f) On a |f_n⁰(x)| ≤ _n3/2¹ , pour tout x ≥ 0, ce qui montre la convergence normale de la s´erie Pf_n⁰ sur l’intervalle [0,+∞[. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries de fonctions nous donne la d´erivabilit´e de f, ainsi que l’´egalit´e

f⁰(x) =

∞

X

n=1

f_n⁰(x).

Puisque f_n⁰(x)>0 pour tout n et tout x, on en d´eduit que f⁰(x)>0 pour tout x≥0.

g) Puisquef_n(x)≥0 pour tout n et tout x≥0, on a

∀m ∈N^∗ ∀x ≥0 f(x)≥

m

X

n=1

f_n(x).

Si x ≥ m, il vient x/n ≥ x/m ≥ 1 et donc 1−e^−x/n ≥ 1−e⁻¹, quel que soit n = 1, . . . , m.

On obtient

∀m∈N^∗ ∀x ≥m

m

X

n=1

f_n(x)≥

1−1 e

^m X

n=1

√1 n. h) Puisque la s´erie de RiemannP

1/√

n est divergente et `a termes positifs, on a

x→+∞lim

[x]

X

n=1

√1

n = +∞.

Compte tenu de la question pr´ec´edente, on en d´eduit que limx→+∞f(x) = +∞.