Répétition du cours d’Analyse III, 2e partie 3ème BM
17 Mars 2011
1. Soit un (n ∈N0) une suite de distributions qui converge versu dans D0(Ω) (où Ωest un ouvert de R). Démontrer que la suite Dun converge vers Du dans D0(Ω). Qu’en est-il de la réciproque ?
2. Étudier la convergence dans D0(R) des suites de distributions suivantes (n∈N0) : a)n δ1/n−δ−1/n
, b)n3 δ1/n−δ−1/n−2δ0
, c)D2
δ0− 1 nδ1/n
.
3. Soitk ∈N0. Pour tout naturel strictement positifm, soit la fonctionfm(x) = mkeimx (x∈R). Montrer que la suite de distributions associée à ces fonctions converge dans D0(R) vers une distribution u. Déterminer u.
4. Soient a, b∈Rn. Calculer si possibleδa∗δb.
5. Montrer que les expressions suivantes ont un sens et les comparer (u1∗Dδ0)∗uY, u1∗(Dδ0∗uY)
(Y désigne la fonction caractéristique de l’intervalle]0,+∞[).
