Fonctions : limites et continuité Terminale S
Exercices d’entrainement pour le chapitre 03 (limites et continuité)
0.1 Énoncés
Exercice 5. Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbeCf admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses :
1. f :x7−→ 3x2−2
x2+ 1 surR 2. f :x7−→ 2−3x
x2+x+ 1 surR
Exercice 6. Soitf la fonction définie surR∗ par :
f(x) = x2+ 3x+ 2 x
Démontrer que la droiteD d’équationy=x+ 3est une asymptote à la courbe Cf en +∞ et en−∞
Exercice 9. Soitf(x) = 1 + 2 sinx 1 +√
x sur ]0; +∞[
1. Démontrer que, si x >0alors− 1 1 +√
x ≤f(x)≤ 3 1 +√
x
2. En déduire que f admet une limite en+∞ dont on précisera la valeur.
Exercice 11. Soit f une fonction décroissante sur ]0; +∞[telle que : lim
x→+∞f(x) = 0.
Démontrer que, pour toutx∈R+ on af(x)≥0.
Exercice 19. Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en donner un encadrement d’amplitude 10−2.
2. x2 = sinx
Exercice 21. Soitf une fonction continue et définie sur l’intervalle[0; 1]et à valeurs dans l’intervalle [0; 1]. Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0; 1] ie ∃c ∈ [0; 1] tel que f(c) = c (Indication : on pourra utiliser une fonction annexe crée à partir def).
Roussot 1 2011 / 2012
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0.2 Solutions rédigées Exercice 5.
1. Pourx6= 0 : 3x2−2 x2+ 1 =
x2
3− 2 x2
x2
1 + 1 x2
= 3− 2
x2 1 + 1
x2 Or lim
x→±∞
1
x2 = 0 = lim
x→±∞
2 x2. Donc lim
x→±∞f(x) = 3
1 = 3: ainsiCf admet la droite y= 3comme asymptote horizontale en+∞
et en −∞.
2. Pourx6= 0 : 2−3x x2+x+ 1 =
x 2
x −3
x2
1 + x x2 + 1
x2 =
1 2
x−3
x
1 + 1 x + 1
x2
Or lim
x→±∞
2
x = 0 = lim
x→±∞
1
x = lim
x→±∞
1 x2. Donc lim
x→±∞f(x) = 0×−3
1 = 0 : ainsi Cf admet la droite y = 0 comme asymptote horizontale en +∞ et en −∞.
Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗ par :
f(x) = x2+ 3x+ 2 x
Étudions les limites en +∞et en −∞ def(x)−(x+ 3).
Pour x∈R∗ :
f(x)−(x+ 3) = x2+ 3x+ 2
x −(x+ 3) = x2+ 3x+ 2−x(x+ 3)
x = x2+ 3x+ 2−x2−3x
x = 2
x Donc lim
x→+∞(f(x)−(x+ 3)) = lim
x→+∞
2
x = 0 et lim
x→−∞(f(x)−(x+ 3)) = lim
x→−∞
2 x = 0.
Conclusion : la droiteD d’équationy=x+ 3est une asymptote à la courbe Cf en+∞ et en −∞.
Exercice 9. Soit f(x) = 1 + 2 sinx 1 +√
x sur]0; +∞[
1. Soitx∈]0; +∞[, on a :−1≤sin(x)≤1 =⇒ −2≤2 sin(x)≤2 =⇒ −1≤1 + 2 sin(x)≤3
=⇒ −1 1 +√
x ≤ 1 + 2 sinx 1 +√
x ≤ 3
1 +√
x (car 1 +√
x >0)
2. On a : lim
x→+∞
√x= +∞=⇒ lim
x→+∞ 1 +√ x
= +∞=⇒
x→+∞lim
−1 1 +√
x = 0
x→+∞lim 3 1 +√
x = 0 Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, lim
x→+∞f(x) = 0.
Exercice 11. On va montrer par l’absurde que∀x∈R+ on af(x)≥0: ainsi on suppose qu’il existe a∈R+ tel quef(a)<0.
Commef est décroissante sur ]0; +∞[donc aussi sur]a; +∞[, ainsi pour toutx≥a,f(x)≤f(a)<0.
De plus lim
x→+∞f(x) = 0, donc pour toutε >0, il existeB ∈R,∀x∈Df,x > B=⇒f(x)∈]−ε;ε[.
Roussot 2 2011 / 2012
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On choisitε= −f(a)
2 . Ainsi pour x > B,f(x)∈
−−f(a)
2 ;−f(a) 2
ie f(a)
2 < f(x)< −f(a) 2 . Par conséquent, pour x >max(a;B) : f(a)
2 < f(x)≤f(a) =⇒0< f(a)
2 =⇒0< f(a) : absurde.
Conclusion :∀x∈R+ on af(x)≥0.
Exercice 19. Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en donner un encadrement d’amplitude 10−2.
2. x2 = sinx
Soitf la fonction définie surR parf(x) =x2−sin(x).
On cherche le nombre de solutions non nulles à l’équation f(x) = 0 dansR.
On remarque quef(0) = 02−sin(0) = 0−0 = 0 :0est donc une solution de f(x) = 0.
f est dérivable sur R, et∀x∈R,f0(x) = 2x−cos(x).
On cherche à déterminer le signe def0(x) suivant les valeurs dex :
−1≤cos(x)≤1 =⇒1≥ −cos(x)≥ −1 =⇒2x+ 1≥2x−cos(x)≥2x−1ie2x+ 1≥f0(x)≥2x−1.
Orx > 1
2 =⇒2x−1>0 =⇒f0(x)>0: ainsi sur 1
2; +∞
,f est strictement croissante.
Et x < −1
2 =⇒0>2x+ 1 =⇒0> f0(x) : ainsi sur
−∞;−1 2
,f est strictement décroissante.
La question maintenant, moins facile, est de savoir ce qu’il se passe sur −1
2 ;1 2
; pour répondre à cette question on va étudier les variations de la fonction dérivée sur cette intervalle (au même titre que les variations d’une fonction affine peuvent nous renseigner sur son signe).
f0 est une fonction dérivable sur R, et∀x∈R,f00(x) = 2 + sin(x).
Or, pour toutx∈R,−1≤sin(x)≤1 =⇒1≤2 + sin(x)≤3 =⇒0< f00(x). Donc f0 est strictement croissante surR.
De plus f0(0) =−1<0etf0 π
2
=π >0.
Ainsi f0 étant continue et strictement croissante surh 0;π
2 i
, d’après le théorème des valeurs intermé- diaires (le théorème de bijection en fait), ∃!α∈i
0;π 2 h
tel que f0(α) = 0.
On obtient alors :
x −π
2 0 α π
2
f00(x) + + +
f0
−π
−1 0
π
f0(x) (−π) − (−1) − 0 + (π)
f 0
f(α)
π2 4 −1
Sur [0;α],f est strictement décroissante, ainsi f(0)> f(α) ie0> f(α).
Roussot 3 2011 / 2012
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f π
2
= π2
4 −1>0
carπ >2(≤0) =⇒π2 >4 =⇒ π2
4 >1 =⇒ π2
4 −1>0
. Ainsi f étant continue et strictement croissante sur h
α;π 2 i
, d’après le théorème des valeurs intermé- diaires (le théorème de bijection en fait), ∃!β ∈i
α;π 2 h
tel quef(β) = 0.
Sachant que −1
2 ;1 2
⊂ −π
2 ;π 2
, on obtient alors :
x −∞ 0 α β +∞
f0(x) − − 0 + +
f
(−∞)
0
f(α)<0
0
(+∞)
Dans[0;β],f(x) = 0a exactement 2 solutions0 etβ.
Sur ]− ∞; 0], f est strictement décroissante, donc si x ∈]− ∞; 0], f(x) > f(0) ie f(x) > 0. Donc f(x) = 0n’a pas de solution dans ]− ∞; 0].
Dans [β; +∞[, f est strictement croissante, donc si x ∈ [0; +∞[, f(0) < f(x) ie 0 < f(x). Donc f(x) = 0n’a pas de solution dans [0; +∞[.
Il y a donc une seule solution non nulle à l’équationx2= sin(x)dansR, qui estβ ∈i α;π
2 h
⊂i 0;π
2 h
. À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice pour la fonction f, on obtient :
• avec un pas de 0,5 :f(0,5)' −0,23 etf(1)'0,16 donc0,5< β <1;
• avec un pas de 0,1 :f(0,8)' −0,08 etf(0,9)'0,03 donc 0,8< β <0,9;
• avec un pas de 0,01 :f(0,87)' −0,007 etf(0,88)'0,004 donc 0,87 < β <0,88 (on peut se contenter de cette dernière ligne).
Exercice 21. Soitg la fonction définie sur [0; 1]parg(x) =f(x)−x.
g est continue sur [0; 1](comme somme de fonctions continues :f etx7−→ −x).
Comme f est à valeurs dans l’intervalle [0; 1], g(0) = f(0) ∈ [0; 1], et g(1) = f(1)−1 ∈ [−1; 0] car f(1)∈[0; 1].
On a 3 cas possibles :
Cas 1 où f(0) = 0 : c’est fini (c= 0 convient).
Cas 2 où f(1) = 1 : c’est fini (c= 1 convient).
Cas 3 où f(0)6= 0 et f(1)6= 1 :alorsg(0)>0etg(1)<0.
Ainsi d’après le théorème des valeurs intermédiaires, g étant continue sur [0; 1], il existe (au moins) un réel c∈ [0; 1](et dans ce cas on peut même préciser que c ∈]0; 1[) tel que g(c) = 0 ief(c)−c= 0 ief(c) =c.
Roussot 4 2011 / 2012
