PanaMaths Janvier 2005
Déterminer les primitives de la fonction f définie sur \ par :
( )
25 f x x
=
x +
Analyse
La fonction f est une fonction rationnelle et le numérateur est « proche » de la dérivée du dénominateur …
Résolution
On a,
( ) ( )
( )
2 2
1 2 1 '
5 2 5 2
x x u x
f x = x = ×x = × u x
+ + avec u x
( )
=x2+5.Pour tout réel x, on a : u x
( )
>0. Une primitive de u'u est alors lnu, c’est à dire la fonction définie par : x6ln
(
x2+5)
.Les primitives de f sur
]
− + ∞5 ;[
sont alors les fonctions définies par :(
2)
1ln 5
x62 x + +k, où k est une constante réelle
Remarque : on peut fournir le résultat sous une autre forme en tenant compte du fait que pour tout x réel on a : 1ln
(
2 5)
ln 2 52 x + = x + .
PanaMaths Janvier 2005
Résultat final
Les primitives de la fonction f définie sur \ par :
( )
25 f x x
= x +
sont les fonctions définies par :
(
2)
1ln 5
x62 x + +k, où k est une constante réelle.
