Limites de fonctions en un point. Continuité en un point
Plan du chapitre
1
Limite en un point. Définitions . . . .page 2 1.1Limite finie en un réel . . . page 2 1.1.1 Définition . . . page 2 1.1.2 Limite à droite, limite à gauche . . . page 5 1.1.3 Lien avec les limites de suites . . . page 7 1.2Limite finie en±∞ . . . page 7 1.3Limite infinie en un réel . . . page 8 1.4Limite infinie en±∞ . . . page 102
Opérations sur les limites. . . .page 12 2.1Combinaisons linéaires . . . page 12 2.2Produits . . . page 14 2.3Quotients . . . page 15 2.4Formes indéterminées . . . page 17 2.5Le théorème de composition des limites . . . page 183
Limites et inégalités . . . .page 19 3.1Passage à la limite dans des inégalités . . . page 19 3.2Obtention de limites grâce à des inégalités . . . page 20 3.3Limites et fonctions monotones . . . page 224
Continuité en un point . . . .page 23 4.1Définition de la continuité en un point . . . page 23 4.2Continuité à droite, à gauche . . . page 24 4.3Prolongement par continuité . . . .page 24 4.4Continuité en un point et opérations . . . page 261 Limite en un point. Définitions
La notion de limite de fonction est très fastidieuse à définir en raison du grand nombre de situations différentes à analyser.
Il vous faudra vous armer de patience pour lire tout ce qui suit.
1.1 Limite finie en un réel.
1.1.1 Définition
Définition 1.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans R(resp.C). Soit aun réel qui, soit est dans I, soit est une extrémité deI (et pas nécessairement dans I). Soitℓ un réel (resp. un complexe).
On dit quef(x)tend vers ℓquand x tend vers asi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Comme le prévoit le programme officiel, la définition précédente est donnée avec des inégalités larges. Elle pourrait tout autant être donnée avec des inégalités strictes comme le montre le théorème suivant :
Théorème 1.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dansR (resp.C). Soitaun réel qui, soit est dansI, soit est une extrémité deI(et pas nécessairement dansI). Soitℓun réel (resp. un complexe).
f(x)tend versℓquand xtend versasi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|< α⇒|f(x) −ℓ|< ε).
Démonstration.
•Supposons que∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε). Soitε > 0. Soitε′ = ε
2. Le réelε′ est un réel strictement positif et strictement inférieur àε. Il existe un réelα > 0tel que, sixest un réel élément deItel que|x−a|6α, alors|f(x) −ℓ|6ε′. Sixest un élément deI,
|x−a|< α⇒|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε′⇒|f(x) −ℓ|< ε.
On a montré que∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|< α⇒|f(x) −ℓ|< ε).
•Supposons que∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|< α⇒|f(x) −ℓ|< ε). Soitε > 0. Il existe un réel strictement positifα′tel que, si xest un élément deItel que|x−a|< α′, alors|f(x) −ℓ|< ε. Soitα= α′
2.αest un réel strictement positif et strictement inférieur àα′. Sixest un élément deI,
|x−a|6α⇒|x−a|< α′⇒|f(x) −ℓ|< ε⇒|f(x) −ℓ|6ε.
On a montré que∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
❏ Théorème 2 (unicité de la limite).Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dansR(resp.C). Soitaun réel qui, soit est dansI, soit est une extrémité deI(et pas nécessairement dansI). Soientℓetℓ′ deux réels (resp. deux complexes).
Sif(x)tend versℓetℓ′ quand xtend versa, alorsℓ=ℓ′.
Démonstration. Soitε > 0. Il existeα > 0etα′> 0tels que, sixest un élément deIvérifiant|x−a|< α, alors|f(x) −ℓ|< ε 2 et sixest un élément deIvérifiant|x−a|< α′, alors|f(x) −ℓ′|< ε
2.
Soitx0un élément deI∩]a−Min{α, α′}, a+Min{α, α′}[(Min{α, α′}> 0et doncx0existe). Alors,
|ℓ−ℓ′|=ℓ−f(x0) +f(x0) −ℓ′6|ℓ−f(x0)|+f(x0) −ℓ′< ε 2+ε
2 =ε.
Finalement, pour toutε > 0,|ℓ−ℓ′|< ε. Ainsi,|ℓ−ℓ′|est un réel positif ou nul qui est strictement plus petit que tout réel strictement positif et qui est en particulier différent de tout réel strictement positif. Il ne reste que|ℓ−ℓ′|=0puisℓ=ℓ′.
❏
Ainsi, en cas d’existence, la limite est unique. Quandf(x)tend versℓquandxtend versa, on peut donc écrire lim
x→af(x) =ℓ ou plus simplement lim
a f=ℓ.
Dans l’égalité lim
x→af(x) =ℓ,la variable xest muette( lim
x→af(x) = lim
y→af(y)) ou encore lim
x→af(x)n’est pas une fonction dex. Une phrase du genre «∀x∈I, lim
x→af(x) =. . .» n’a absolument aucun sens.
Visualisons maintenant la définition 1 sur un graphique dans le cas d’une fonction à valeurs réelles. Pour chaqueε > 0, l’intervalle]ℓ−ε, ℓ+ε[contient tous lesf(x)oùx∈]a−α, a+α[∩I,αayant été choisi suffisamment petit en fonction deε.
ℓ ℓ+ε
ℓ−ε
a
a−α a+α (
b b
x f(x)
Définition 2.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans R(resp.C). Soitaun réel qui, soit est dansI, soit est une extrémité deI(et pas nécessairement dansI).
On dit quefconverge en asi et seulement si il existeℓun réel (resp. un complexe) tel quef(x)tend versℓquandx tend versa.
Théorème 3.Sia appartient àIet sifconverge ena, alors nécessairement lim
x→af(x) =f(a).
Démonstration. Soitε > 0. D’après le théorème 1, il existeα > 0tel que pourx∈I, si|x−a|< α, alors|f(x) −ℓ|< ε. Le réelx=aest un réel deItel que|x−a|< α. On en déduit que|f(a) −ℓ|< ε.
Ainsi, pour toutε > 0,|f(a) −ℓ|< ε. Le réel|f(a) −ℓ|est un réel positif strictement plus petit que tout réel strictement positif et en particulier différent de tout réel strictement positif. Il ne reste que|f(a) −ℓ|=0et doncℓ=f(a).
❏ Dans le cas où le réelaappartient à l’intervalleI(le domaine de définition de la fonctionf), la limite que nous venons de définir s’avère souvent peu pratique à utiliser. Considérons par exemple la fonctionfdéfinie surI=] −∞,+∞[par : pour tout réelx,f(x) =
1six=0
0six6=0 . Voici son graphe
b
Nous avons envie de dire quef(x)tend vers0 quandxtend vers0et que cette valeur limite, à savoir0, n’est pasf(0)qui est égal à1, ceci traduisant la discontinuité de la fonctionfen0. Pourtant, avec la définition de la limite que nous avons adoptée, lim
x→0f(x)n’existe pas. Vérifions-le explicitement.
Si lim
x→0f(x) = ℓ existe, lim
x→0f(x) est nécessairement égale à 1 d’après le théorème 3. Soit alors ε = 1
2. Soit α un réel strictement positif quelconque. Le réelx=αest un réel tel que|x−0|6αet|f(x) −ℓ|=|0−1|=1 > ε.
Ainsi,∃ε > 0/∀α > 0, ∃x∈R/(|x−0|6αet|f(x) −1|> ε). Donc,f ne converge pas vers1 en0puis lim
x→0f(x)n’existe pas.
Ici, un autre type de limite existe : la limite def(x)quandxtend vers0en restant différent de0. Cette limite, notée
xlim→0 x6=0
f(x), existe et vaut0.
En résumé, ici, lim
x→0f(x)n’existe pas et lim
x→0 x6=0
f(x) =0. Ceci nous amène à la définition suivante :
Définition 3.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans R(resp.C). Soit aun réel qui, soit est dans I, soit est une extrémité deI (et pas nécessairement dans I). Soitℓ un réel (resp. un complexe).
On dit quef(x)tend versℓquandxtend versaen restant différent deaet on écrit lim
x→a x6=a
f(x) =ℓsi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (0 <|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
➱ Commentaire.
⋄ La seule nuance avec la définition 1 est que dans la définition 2,xn’est égal àa(|x−a|> 0).
⋄ Sia n’est pas dans le domaine de définition de f, la limite de la définition 2 est la même que la limite de la définition 1. Par exemple, on peut écrire au choix lim
x→0
sinx
x =1ou lim
x→0 x6=0
sinx x =1.
⋄ Quand lim
x→a x6=a
f(x) existe dansR(ouC), on dit aussi que la fonctionfconverge ena.
Théorème 4.Soitfune fonction définie sur un intervalle IdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans R(resp.C). Soitaun réel qui, soit est dansI, soit est une extrémité deI(et pas nécessairement dansI).
Sifconverge ena,alorsfest bornée au voisinage deaou encore il existeα > 0tel quefest bornée sur[a−α, a+α]∩I.
Démonstration. Supposons quefest converge vers un certain un nombreℓena. On applique la définition 1 avecε=1: il existeα > 0tel que, pourx∈[a−α, a+α]∩I,|f(x) −ℓ|61. Pour x∈[a−α, a+α]∩I, on a alors
|f(x)|=|f(x) −ℓ+ℓ|6|ℓ|+|f(x) −ℓ|6|ℓ|+1.
fest alors bornée sur[a−α, a+α]∩I.
❏
Remarque.Le théorème 4 est également valable avec la limite de la limite de la définition 2.
Exercice 1.Montrer, en revenant à la définition, que lim
x→1
3x−1 x+2 = 2
3. Solution 1.Soitε > 0. Soitx∈] −2,+∞[.
f(x) − 2 3 =
3x−1 x+2 − 2
3 =
7x−7 3(x+2)
= 7|x−1|
3|x+2|. Prenons déjàxdans[0, 2]. Alors,|x+2|>2 puis
f(x) − 2 3 6 7
3×2|x−1|= 7 6|x−1|.
Soit alors α = Min
1,6ε 7
. α est un réel strictement positif. Si x est un réel tel que |x−1| 6 α, on a en particulier
|x−1|61 ou encorex∈[0, 2]. On a donc
f(x) − 2 3 6 7
6|x−1|. Mais on a aussi|x−1|66ε
7 et donc
f(x) − 2 3 67
6|x−1|6 7 6 ×6ε
7 =ε.
On a montré que :∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈]−2,+∞[,
|x−1|6α⇒
f(x) −2 3 6ε
. Donc, lim
x→1f(x)existe et lim
x→1f(x) = 2 3.
1.1.2 Limite à droite, limite à gauche
Définition 5.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans R(resp.C). Soitℓun réel (resp. un complexe).
1)Soitaun réel qui, soit est dansI, soit est l’extrémité droite deI(et pas nécessairement dansI).
On dit quef(x)tend vers ℓquandxtend versapar valeurs inférieureset on écrit lim
x→a x6a
f(x) =ℓsi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (−α6x−a60⇒|f(x) −ℓ|6ε).
On dit quef(x)tend versℓquand xtend versapar valeurs inférieures en restant différent deaet on écrit
xlim→a x<a
f(x) =ℓsi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (−α6x−a < 0⇒|f(x) −ℓ|6ε).
2)Soitaun réel qui, soit est dansI, soit est l’extrémité gauche deI(et pas nécessairement dansI).
On dit quef(x)tend versℓquandxtend versapar valeurs supérieureset on écrit lim
x→a x>a
f(x) =ℓsi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (06x−a6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers a par valeurs supérieures en restant différent de aet on écrit lim
x→a x>a
f(x) =ℓsi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (0 < x−a6α⇒|f(x) −ℓ|6ε). Ainsi, par exemple, lim
x→1 x<1
E(x) =0, lim
x→1 x61
E(x)n’existe pas, lim
x→1 x>1
E(x) = lim
x→1 x>1
E(x) =E(1) =1(oùEdésigne la fonction « partie entière »).
De manière générale, sia∈I et si lim
x→a x6a
f(x) existe dans RouC, alors nécessairement lim
x→a x6a
f(x) =f(a) et de même pour
xlim→a x>a
f(x).
Dans la pratique des classes préparatoires, il est fréquent qu’une fonction soit définie sur un ensemble qui n’est pas un intervalle mais une réunion d’intervalles. Par exemple, la fonctionx7→ sin(x)
x est définie surR∗ =] −∞, 0[∪]0,+∞[. La notion de limite à droite ou à gauche permet de généraliser la notion de limite en un réel.
Définition 6. SoitI un intervalle de R, non vide et de longueur non nulle. Soit a un réel de I, qui n’est pas une extrémité deI. Soitf une fonction définie surI\ {a}à valeurs dansR(resp.C). Soitℓun réel (resp. un complexe).
f(x)tend versℓquandxtend versasi et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I\ {a}, (|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Théorème 5. Soit I un intervalle deR, non vide et de longueur non nulle. Soit a un réel de I, qui n’est pas une extrémité deI. Soitf une fonction définie surI\ {a}à valeurs dansR(resp.C).
fa une limite réelle (resp. complexe) enasi et seulement sifa une limite à droite réelle (resp. complexe) et une limite à gauche réelle (resp. complexe) enaet ces limites sont égales.
De plus, sifa une limite réelle ena, lim
x→a x6a
f(x) = lim
x→a x>a
f(x) = lim
x→af(x).
Démonstration.
• Supposons que f ait une limite réelle (resp. complexe) ℓ en a. Soit ε > 0. Il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ I\ {a},
|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Mais alors, pour toutx∈I\ {a},(06x−a6α⇒|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε). Ainsi,
∀ε > 0,∃α > 0/∀x∈I\ {a},(06x−a6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Ceci montre quefa une limite à droite en a et que lim
x→a x>a
f(x) = ℓ. De même, f a une limite à gauche en a et que lim
x→a x6a
f(x) = ℓ.
Finalement,fa une limite à droite et à gauche enaet lim
x→a x>a
f(x) =lim
x→a x6a
f(x) = lim
x→af(x).
•Supposons que fait une limite à droite réelle (resp. complexe) et une limite à droite gauche (resp. complexe) en a et que ces limites soient égales à un certain réel (resp. complexe)ℓ.
Soitε > 0. Il existeα1> 0tel que pour toutx∈ I\ {a},(06x−a 6α1⇒|f(x) −ℓ|6 ε) et il existeα2> 0tel que pour tout x∈I\ {a},(−α26x−a60⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Soitα=Min{α1, α2}.αest un réel strictement positif. Soitxun réel deI\ {a}tel que|x−a|6α.
Six > a.|x−a|6α⇒06x−a6α1⇒|f(x) −ℓ|6ε.
Six < a.|x−a|6α⇒−α26x−a60⇒|f(x) −ℓ|6ε.
On a montré que
∀ε > 0,∃α > 0/∀x∈I\ {a}, (|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Donc,fa une limite réelle (resp. complexe) et de plus, lim
x→af(x) = lim
x→a x>a
f(x) = lim
x→a x6a
f(x). ❏
Exercice 2.Soientaet bdeux réels. Soitfla fonction définie surR∗par :
∀x∈R∗, f(x) =
ebx−1
x six < 0
√x+4−a
x six > 0 .
Détermineraetbtels quefait une limite réelle quand xtend vers0. Préciser cette limite en cas d’existence.
Solution 2.fest définie surR∗.fa une limite réelle en0 si et seulement sifa une limite réelle à droite et à gauche en0 et ces limites sont égales.
•Si b6=0, pourx < 0,f(x) = ebx−1
x =b×ebx−1 bx puis
xlim→0 x<0
f(x) = lim
x→0 x<0
b×ebx−1 bx = lim
X→0b×eX−1 X =b.
Si b=0, pour tout x < 0,f(x) =0 puis lim
x→0 x<0
f(x) =0. Finalement, pour tout réelb,f a une limite réelle à gauche en 0 égale àb.
• Si a6= 2, le numérateur de la fraction
√x+4−a
x ne tend pas vers0 quand x tend vers0 alors que le dénominateur tend vers0. Dans ce cas,fn’a pas de limite à droite réelle en0.
Sia=2, pour tout réelx > 0, f(x) =
√x+4−2
x =
√x+4−2 √
x+4+2 x √
x+4+2 = x+4−4 x √
x+4+2 = 1
√x+4+2.
Par suite, lim
x→0 x>0
f(x) = lim
x→0 x>0
√ 1
x+4+2 = 1
√0+4+2 = 1 4.
•Ainsi,fa une limite réelle en0 si et seulement sia=2 etb= 1
4 et dans ce cas, lim
x→0f(x) = 1 4.
±∞
1.1.3 Lien avec les limites de suites
Avec les notations des paragraphes précédents,
Théorème 6. Si f a une limite réelle (resp. complexe) ℓ en a, alors pour tout suite (un)n
∈N d’éléments de I (ou
I\ {a}), convergente, de limitea, la suite(f(un))n
∈N est convergente, de limiteℓ.
Démonstration. Soit(un)n∈N une suite d’éléments deI(ouI\ {a}), convergeant versa.
Soitε > 0. Il existeα > 0tel que,pour toutxdeI(ouI\ {a}), si|x−a|6α, alors|f(x) −ℓ|6ε. Puisque la suite(un)n∈Nconverge versaet queαest un réel strictement positif, il existe un rangn0tel que, pourn>n0, on a|un−a|6α.
Pournentier naturel supérieur ou égal àn0, on a alors|f(un) −ℓ|6ε.
On a montré que :∀ε > 0,∃n0∈N/∀n∈N,(n>n0⇒|f(un) −ℓ|6ε). Ainsi, la suite(f(un))n∈N converge et lim
n→+∞f(un) =ℓ.
❏ Le théorème précédent peut être utilisé de différentes façons. Son utilisation la plus immédiate est par exemple : lim
n→+∞
en1 = e0=1. Mais il peut être utilisé aussi pour prouver qu’une fonction n’a pas de limite.
Exemple 1.Montrons queχQ, la fonction caractéristique deQ, n’a pas de limite en tout réelx0. Soitx0un rationnel. Alors, pour tout n∈N∗,x0+ 1
n ∈QpuisχQ
x0+ 1
n
=1. La suite(un)n∈N∗ =
x0+ 1 n
n∈N∗
converge versx0et la suite(χQ(un))n∈N∗ converge vers1.
De même, pour toutn∈N∗,x0+
√2
n ∈/QpuisχQ x0+
√2 n
!
=0. La suite(vn)n∈N∗ = x0+
√2 n
!
n∈N∗
converge vers x0et la suite(χQ(vn))n∈N∗ converge vers0.
On a trouvé deux suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ convergeant versx0 telles que les suites (χQ(un))n∈N∗ et (χQ(vn))n∈N∗
convergent vers des limites différentes. Ceci montre que la fonctionχQ n’a pas de limite enx0.
La démarche est analogue six0∈/Q. ❏
Exemple 2.Pourx∈R∗, posonsf(x) =sin 1
x
. Montrons que la fonctionfn’a pas de limite en0. Pourn∈N∗, posons un = 1
nπ etvn= 1 π 2 +2nπ
.(un)n∈N∗ et(vn)n∈N∗ sont deux suites convergentes de limite0.
Pourn∈N∗,f(un) =sin(nπ) =0. Donc, la suite(f(un))n∈N∗ converge et a pour limite0.
Pourn∈N∗,f(vn) =sinπ
2 +2nπ
=1. Donc, la suite(f(vn))n∈N∗ converge et a pour limite1.
On a trouvé deux suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ convergeant vers 0 telles que les suites (f(un))n∈N∗ et (f(vn))n∈N∗
convergent vers des limites différentes. Donc, la fonctionfn’a pas de limite en0.
On aurait pu aussi considérer la suite(wn)n∈N=π 2 +nπ
n∈N. Pourn∈N, f(wn) = (−1)n. Ainsi, la suite(wn)n∈N converge vers0 et la suite (f(wn))n∈N diverge. Cette constatation montre également que la fonctionf n’a pas de limite
en0. ❏
1.2 Limite finie en ±∞
Définition 7.Soitfune fonction définie sur un intervalleIde la forme]a,+∞[,aréel ou égal à−∞, à valeurs dans R(resp.C). Soitℓun réel (resp. un complexe).
On dit quef(x)tend vers ℓquand x tend vers +∞si et seulement si
∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈I, (x>A⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Soitfune fonction définie sur un intervalleIde la forme] −∞, a[,aréel ou égal à +∞, à valeurs dansR(resp.C).
Soitℓun réel (resp. un complexe).
On dit quef(x)tend vers ℓquand x tend vers −∞si et seulement si
∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈I, (x6A⇒|f(x) −ℓ|6ε).
Les divers résultats sont identiques à ceux concernant une limite finie en un réel. Nous donnons ces résultats sans démons- tration la plupart du temps :
Théorème 7.Soitfune fonction définie sur un intervalleIde la forme]a,+∞[,aréel ou égal à−∞, à valeurs dans R(resp.C). Soitℓun réel (resp. un complexe).
f(x)tend versℓquand xtend vers+∞si et seulement si
∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈I, (x > A⇒|f(x) −ℓ|< ε).
Soitfune fonction définie sur un intervalleIde la forme] −∞, a[,aréel ou égal à +∞, à valeurs dansR(resp.C).
Soitℓun réel (resp. un complexe).
f(x)tend versℓquand xtend vers−∞si et seulement si
∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈I, (x < A⇒|f(x) −ℓ|< ε). Ensuite, avec les notations précédentes,
Théorème 8 (unicité de la limite).Soientℓetℓ′ deux réels (resp. deux complexes).
Sif(x)tend versℓetℓ′ quand xtend vers+∞(resp.−∞), alorsℓ=ℓ′.
Par suite, quandf(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ (resp.−∞), on peut maintenant écrire lim
x→+∞
f(x) = ℓ (resp.
x→lim−∞
f(x) =ℓ) ou plus simplement lim
+∞
f=ℓ(resp. lim
−∞
f=ℓ).
Théorème 9.Sifconverge en+∞(resp.−∞), alorsfest bornée au voisinage de+∞(resp.−∞) ou encore il existe A∈Rtel que fest bornée sur]A,+∞[∩I(resp.] −∞, A[∩I).
Théorème 10 (lien avec les limites de suites).Sif(x)tend versℓ, réel ou complexe, quandxtend vers+∞(resp.
−∞), alors pour toute suite(un)n∈Nd’éléments deItendant vers+∞(resp.−∞), la suite(f(un))n∈Nconverge vers ℓ.
Démonstration. Montrons le résultat quand lim
x→+∞f(x) =ℓ. Soit(un)n∈N une suite d’éléments deItendant vers+∞quand ntend vers+∞.
Soitε > 0. Puisque lim
x→+∞f(x) =ℓ, il existe un réelAtel que, pour toutxdeI, six>A, alors|f(x) −ℓ|6ε. Puisque lim
n→+∞un= +∞, il existe un rangn0tel que, pourn>n0,un>A.
Soitn>n0.unest un réel deIvérifiantun>A. Mais alors,|f(un) −ℓ|6ε.
On a montré que :∀ε > 0,∃n0∈N/∀n∈N, (n>n0⇒|f(un) −ℓ|6ε). Donc, la suite(f(un))n∈N converge versℓ.
❏
1.3 Limite infinie en un réel
Définition 8.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans Ret soitaun réel qui est une extrémité deI (resp. soitIun intervalle deR, non vide et de longueur non nulle, soit aun réel deIpuisfune fonction définie sur I\ {a}à valeurs dansR).
On dit quef(x)tend vers +∞ quand xtend versa, et on écrit lim
x→af(x) = +∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒f(x)>A) (resp.∀x∈I\ {a}, (|x−a|6α⇒f(x)>A)).
On dit quef(x)tend vers −∞ quand xtend versa, et on écrit lim
x→af(x) = −∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒|f(x)6A) (resp.∀x∈I\ {a}, (|x−a|6α⇒f(x)6A)).
Exemple.Montrons, en revenant à la définition, que l’on a lim
x→0
1
x2 = +∞. SoitAun réel. Si A60, pour toutxdeR∗ on a 1
x2 >Aet en particulier, il existeα > 0 (par exemple α= 1) tel que, pour toutxdeR∗, si|x−0|6α, alors 1
x2 >A.
Supposons maintenantA > 0. Soitxun réel non nul.
1
x2 >A⇐x26 1
A⇐|x|6 1
√A.
Le réelα= 1
√A est un réel strictement positif tel que, pour tout réel non nulx, si|x−0|6α, alors 1 x2 >A.
On a montré que :∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈R∗,
|x|6α⇒ 1
x2 >A
. Donc, lim
x→0
1
x2 = +∞.
1 2 3 4 5
1 2 3
−1
−2
−3 −α α
y=1/x2
b
A
❏ On a aussi la notion de limite à droite ou à gauche infinie en un réel. Avec des notations adaptées :
Définition 8 bis.On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a par valeurs supérieures, et on écrit
xlim→a x>a
f(x) = +∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (06x−a6α⇒f(x)>A).
On dit quef(x)tend vers+∞ quandxtend versa par valeurs supérieures en restant différent dea, et on écrit lim
x→a x>a
f(x) = +∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (0 < x−a6α⇒f(x)>A).
On dit quef(x) tend vers−∞quand x tend vers apar valeurs supérieures, et on écrit limx→a
x>a
f(x) = −∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (06x−a6α⇒f(x)6A).
On dit quef(x)tend vers−∞ quandxtend versa par valeurs supérieures en restant différent dea, et on écrit lim
x→a x>a
f(x) = −∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (0 < x−a6α⇒f(x)6A).
±∞
Définition 8 ter. On dit quef(x) tend vers +∞ quand x tend vers a par valeurs inférieures, et on écrit
xlim→a x6a
f(x) = +∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (−α6x−a60⇒f(x)>A).
On dit quef(x) tend vers +∞ quandx tend vers a par valeurs inférieures en restant différent dea, et on écrit lim
x→a x<a
f(x) = +∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (−α6x−a < 0⇒f(x)>A).
On dit quef(x) tend vers −∞ quand x tend vers a par valeurs inférieures, et on écrit lim
x→a x6a
f(x) = −∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (−α6x−a60⇒f(x)6A).
On dit quef(x) tend vers −∞ quandx tend vers a par valeurs inférieures en restant différent dea, et on écrit lim
x→a x<a
f(x) = −∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (−α6x−a < 0⇒f(x)6A). Ainsi, par exemple, lim
x→0 x<0
1
x = −∞et lim
x→0 x>0
1
x = +∞.
Les différents résultats des paragraphes précédents restent valables en adaptant : définitions pouvant être fournies avec des inégalités strictes, lien avec les limites de suites . . .
1.4 Limite infinie en ±∞
Définition 9.Soitfune fonction définie sur un intervalleIde la forme]a,+∞[,aréel ou égal à−∞, à valeurs dans R.
On dit quef(x)tend vers +∞ quand xtend vers+∞et on écrit lim
x→+∞f(x) = +∞si et seulement si
∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈I, (x>B⇒f(x)>A). On dit quef(x)tend vers −∞ quand xtend vers+∞et on écrit lim
x→+∞
f(x) = −∞si et seulement si
∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈I, (x>B⇒f(x)6A).
Soitfune fonction définie sur un intervalleIde la forme] −∞, a[,aréel ou égal à+∞, à valeurs dansR.
On dit quef(x)tend vers +∞ quand xtend vers−∞et on écrit lim
x→−∞
f(x) = +∞si et seulement si
∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈I, (x6B⇒f(x)>A). On dit quef(x)tend vers −∞ quand xtend vers−∞et on écrit lim
x→−∞
f(x) = −∞si et seulement si
∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈I, (x6B⇒f(x)6A). Visualisons sur un graphique la définition de lim
x→+∞
f(x) = +∞. On se donne un réel Alu sur l’axe des ordonnées. On fournit un réelBsur l’axe des abscisses, en fonction du réelA, tel que, six>B, alorsf(x)>A.
A
B
On « résume » maintenant les différentes définitions dans un tableau.
•Soitfdéfinie surD=IouI\ {a},aréel à valeurs dansR(resp.C). Soitℓun réel (resp. un complexe).
xlim→af(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈D, (|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
xlim→a x6=a
f(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈D, (0 <|x−a|6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
xlim→a x>a
f(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈D, (06x−a6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
xlim→a x>a
f(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈D, (0 < x−a6α⇒|f(x) −ℓ|6ε).
xlim→a x6a
f(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈D, (−α6x−a60⇒|f(x) −ℓ|6ε).
xlim→a x<a
f(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈D, (−α6x−a < 0⇒|f(x) −ℓ|6ε).
•Soitfdéfinie surD=]a,+∞[ou] −∞, a[,aréel, à valeurs dans R(resp.C). Soitℓun réel (resp. un complexe).
x→lim+∞
f(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈D, (x>A⇒|f(x) −ℓ|6ε).
x→lim−∞
f(x) =ℓ⇔∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈D, (x6A⇒|f(x) −ℓ|6ε).
•Soitfdéfinie surD=IouI\ {a},aréel à valeurs dansR.
xlim→af(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (|x−a|6α⇒f(x)>A).
xlim→a x6=a
f(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (0 <|x−a|6α⇒f(x)>A).
xlim→a x>a
f(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (06x−a6α⇒f(x)>A).
xlim→a x>a
f(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (0 < x−a6α⇒f(x)>A).
xlim→a x6a
f(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (−α6x−a60⇒f(x)>A).
xlim→a x<a
f(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (−α6x−a < 0⇒f(x)>A).
xlim→af(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (|x−a|6α⇒f(x)6A).
xlim→a x6=a
f(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (0 <|x−a|6α⇒f(x)6A).
xlim→a x>a
f(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (06x−a6α⇒f(x)6A).
xlim→a x>a
f(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (0 < x−a6α⇒f(x)6A).
xlim→a x6a
f(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (−α6x−a60⇒f(x)6A).
xlim→a x<a
f(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈D, (−α6x−a < 0⇒f(x)6A).
•Soitfdéfinie surD=]a,+∞[ou] −∞, a[,aréel, à valeurs dans R.
x→lim+∞
f(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈D, (x>B⇒f(x)>A).
x→lim+∞
f(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈D, (x>B⇒f(x)6A).
x→lim−∞
f(x) = +∞ ⇔∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈D, (x6B⇒f(x)>A).
x→lim−∞f(x) = −∞ ⇔∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈D, (x6B⇒f(x)6A).
C’est une compétence de base à acquérir rapidement, que de savoir fournir immédiatement la définition d’une limite donnée.
2 Opérations sur les limites
Ce qui suit est quasiment un copier-coller du paragraphe Opérations sur les limites du chapitre sur les suites.
2.1 Combinaisons linéaires
Théorème 11.aest un réel ou−∞ou+∞.ℓetℓ′ sont deux réels (resp. deux complexes).
Si lim
x→af(x) = ℓ et lim
x→ag(x) = ℓ′, alors pour tout (λ, µ) ∈ R2 (resp. C2), la fonction λf+µg a une limite en a et
xlim→a(λf(x) +µg(x)) =λℓ+µℓ′=λlim
x→af(x) +µlim
x→ag(x).
Démonstration.
•Cas oùaréel. Soitε > 0. Il existeα1> 0tel que, pour toutxdeI, si|x−a|6α1, alors|f(x) −ℓ|6 ε
2(|λ|+1) et il existeα2> 0 tel que, pour toutxdeI, si|x−a|6α2, alors|g(x) −ℓ′|6 ε
2(|µ|+1).
Soitα=Min{α1, α2}.αest un réel strictement positif. Pourx∈Itel que|x−a|6α. Alors,|x−a|6α1et donc|f(x)|6 ε 2(|λ|+1) mais aussi|x−a|6α2et donc |g(x)|6 ε
2(|µ|+1). Par suite,
|(λf(x) +µg(x)) − (λℓ+µℓ′)|=|λ(f(x) −ℓ) +µ(g(x) −ℓ′)|
6|λ||f(x) −ℓ|+|µ||g(x) −ℓ′|6|λ| ε
2(|λ|+1)+|µ| ε 2(|µ|+1) 6(|λ|+1) ε
2(|λ|+1)+ (|µ|+1) ε 2(|µ|+1)
= ε 2+ε
2=ε.
On a montré que :∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒|(λf(x) +µg(x)) − (λℓ+µℓ′)|6ε). Donc, la fonctionλf+µga une limite enaet de plus, lim
x→a(λf(x) +µg(x)) =λℓ+µℓ′.
•Cas oùa= +∞. Soit ε > 0. Il existeA1∈Rtel que, pour tout xdeI, six>A1, alors|f(x) −ℓ|6 ε
2(|λ|+1) et il existeA2∈R tel que, pour toutxdeI, six>A2, alors|g(x) −ℓ′|6 ε
2(|µ|+1).
SoitA=Max{A1, A2}. Comme précédemment,Aest un réel tel que sixest un réel deIsupérieur ou égal àA, alors
|(λf(x) +µg(x)) − (λℓ+µℓ′)|6|λ| ε
2(|λ|+1)+|µ| ε
2(|µ|+1) 6ε.
On a montré que :∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈I, (x>A⇒|(λf(x) +µg(x)) − (λℓ+µℓ′)|6ε). Donc, la fonctionλf+µga une limite en +∞et de plus, lim
x→+∞(λf(x) +µg(x)) =λℓ+µℓ′. Le cas oùa= −∞se traite de manière similaire.
❏ Une conséquence du théorème précédent est la possibilité d’analyser la limite d’une fonction à valeurs dansCen analysant ses parties réelle et imaginaire :
Théorème 12.aest un réel ou−∞ou+∞.fest une fonction à valeurs dansC.
1)fa une limite finie en asi et seulement sifa une limite finie enaet dans ce cas,
xlim→af(x) = lim
x→af(x).
2)fa une limite finie en asi et seulement si Re(f)et Im(f)ont une limite finie enaet dans ce cas,
xlim→af(x) = lim
x→a(Re(f))(x) +ilim
x→a(Im(f))(x).
Démonstration.
1) Supposons quef ait une limite ℓ ∈C ena. Puisque pour tout x deI, f(x) −ℓ= f(x) −ℓ =|f(x) −ℓ|, il est immédiat que
xlim→af(x) =ℓ= lim
x→af(x).
Réciproquement, sifa une limiteℓ∈Cena, en appliquant ce qui précède àf,f=fa une limite enapuis lim
x→af(x) = lim
x→af(x).
2)Sifa une limiteℓ∈C, alorsfa une limite enaqui estℓpuis, d’après le théorème 11, quandxtend versa, Re(f) = 1 2 f+f tend vers 1
2 ℓ+ℓ
=Re(ℓ)et Im(f) = 1 2i f−f
tend vers 1 2i ℓ−ℓ
=Im(ℓ).
Réciproquement, si quandxtend versa, Re(f)tend versℓ∈Ret Im(f)tend versℓ′∈R, alorsf=Re(f) +iIm(f)tend versℓ+iℓ′.
❏ Théorème 13.aest réel ou infini.f etgsont à valeurs dansR.
1) a) Si, quandxtend versa, f(x)tend+∞(resp.−∞) et sigest bornée au voisinage de a, alorsf(x) +g(x)tend vers+∞(resp.−∞).
b)Si, quandxtend versa,f(x)tend+∞(resp.−∞) etg(x)tend versℓ∈R, alorsf(x) +g(x)tend vers+∞(resp.
−∞).
2)Si, quandxtend versa,f(x)etg(x)tendent vers+∞(resp.−∞), alorsf(x) +g(x)tend vers+∞(resp.−∞).
Démonstration. 1) a)Supposons que lim
x→af(x) = +∞et que la fonctiongsoit bornée au voisinage dea. Montrons quef(x) +g(x) tend vers+∞ quandxtend versa.
•Cas où a est réel. Il existe un réel positif Met un réel strictement positif α1 tel que, pour toutx de I, si|x−a| 6 α1, alors
|g(x)|6M.
SoitA∈R. Puisque lim
x→af(x) = +∞, il existe un réel strictement positifα2tel que, pourx∈I, si|x−a|6α2, alorsf(x)>A+M.
Soitα=Min{α1, α2}.αest un réel strictement positif.
Pour tout réelxdeItel que|x−a|6α, on a|x−a|6α1et|x−a|6α2. Mais alors, f(x) +g(x)>A+M−M=A.
On a montré que :∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒f(x) +g(x)>A). Donc, lim
x→a(f(x) +g(x)) = +∞. La démonstration est analogue si lim
x→af(x) = −∞.
•Cas oùa= +∞. Il existe un réel positifMet un réel B1tel que, pour toutxdeI, six>B1, alors|g(x)|6M.
SoitA∈R. Puisque lim
x→+∞f(x) = +∞, il existe un réelB2tel que, pourx∈I, six>B2,f(x)>A+M. SoitB=Max{A1, A2}.
Pour tout réelxdeItel quex>B, on ax>B1et x>B2. Mais alors,
f(x) +g(x)>A+M−M=A.
On a montré que :∀A ∈R, ∃B∈R/∀x ∈I, (x>B⇒f(x) +g(x)>A). Donc, lim
x→+∞(f(x) +g(x)) = +∞. La démonstration est analogue sia= −∞ou si lim
x→af(x) = −∞.
b)Si quandxtend versa,g(x) tend vers un réelℓ,gest en particulier bornée au voisinage dea. Le résultat se déduit alors de a).
2)Supposons que lim
x→af(x) = +∞et lim
x→ag(x) = +∞.
•Cas oùaest réel. SoitA∈R. Il existe α1> 0tel que, pour toutx∈I, si|x−a|6α1, alorsf(x)> A
2 et il existeα2> 0tel que, pour toutx∈I, si|x−a|6α2, alorsg(x)> A
2
Soitα=Min{α1, α2}.αest un réel strictement positif. Pour toutx∈Itel que|x−a|6α, on a f(x) +g(x)> A
2 +A 2 =A.
On a montré que :∀A∈R, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒f(x) +g(x)>A). Donc, lim
x→a(f(x) +g(x)) = +∞. La démonstration est analogue si lim
x→af(x) = −∞et lim
x→bg(x) = −∞.
•Cas oùa= +∞. SoitA∈R. Il existeB1∈Rtel que, pour toutx∈I, six>B1, alorsf(x)> A
2 et il existeB2> 0tel que, pour toutx∈I, six>B2, alorsg(x)> A
2
SoitB=Max{A1, A2}. Pour toutx∈Itel quex>B, on af(x) +g(x)> A
2 +A 2 =A.
On a montré que :∀A ∈R, ∃B∈R/∀x ∈I, (x>B⇒f(x) +g(x)>A). Donc, lim
x→+∞(f(x) +g(x)) = +∞. La démonstration est analogue sia= −∞ou si lim
x→af(x) = −∞et lim
x→bg(x) = −∞.
❏ Sinon, on a immédiatement
Théorème 14.Soientfune fonction à valeurs dansRetλun réel.
Si lim
x→af(x) = +∞,alors lim
x→aλf(x) =
−∞siλ < 0 0siλ=0 +∞siλ > 0
.
Si lim
x→af(x) = −∞,alors lim
x→aλf(x) =
+∞siλ < 0 0siλ=0
−∞siλ > 0 .
On peut résumer la plupart des résultats précédents dans le tableau suivant :
f(x)tend vers ℓ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞
g(x)tend vers ℓ′ ℓ ℓ +∞ −∞ −∞
f(x) +g(x)tend vers
ℓ+ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞
?
Le tableau ci-dessus comporte un
?
. Cela signifie que si limx→af(x) = +∞et lim
x→ag(x) = −∞, tout est possible concernant f(x) +g(x). (+∞) + (−∞)est uneforme indéterminéequi sera analysée plus loin.
2.2 Produits
Théorème 15.a est réel ou infini.f et gsont deux fonctions à valeurs dans R(resp.C). ℓetℓ′ sont deux nombres réels (resp. complexes).
Si, quandx tend versa,f(x)et g(x) tendent versℓet ℓ′ respectivement,alorsf(x)g(x)tend versℓℓ′ quand xtend versa.
Démonstration. Soitε > 0.g(x)tend versℓ′ quandxtend versaet en particulier, la fonctiongest bornée au voisinage de a.
•Cas oùaest réel. Il existe un réel positifMet un réel strictement positifα1tel que, pour toutx∈I, si|x−a|6α1alors|g(x)|6M.
Il existe un réel strictement positif α2 tel que, pour tout x ∈ I, si |x−a| 6 α2, alors |f(x) −ℓ| 6 ε
2(M+1) et il existe un réel strictement positifα3tel que, pour toutx∈I, si|x−a|6α3,|g(x) −ℓ′|6 ε
2(|ℓ|+1). Soitα=Min{α1, α2, α3}> 0. Pour toutx∈Itel que|x−a|6α, on a
f(x)g(x) −ℓℓ′=f(x)g(x) −ℓg(x) +ℓg(x) −ℓℓ′=(f(x) −ℓ)g(x) +ℓ g(x) −ℓ′ 6|g(x)| |f(x) −ℓ|+|ℓ′|
g(x) −ℓ′
6M ε
2(M+1)+|ℓ| ε 2(|ℓ|+1)
6(M+1) ε
2(M+1)+ (|ℓ|+1) ε 2(|ℓ|+1)
= ε 2+ε
2 =ε.
On a montré que∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒|f(x)g(x) −ℓℓ′|6ε)et donc lim
x→af(x)g(x) =ℓℓ′.
•Cas oùa= +∞. Il existe un réel positifMet un réel A1tel que, pour toutx∈I, six>A1alors|g(x)|6M.
Il existe un réelA2tel que, pour toutx∈I, six>A2, alors|f(x) −ℓ|6 ε
2(M+1) et il existe un réelA3tel que, pour toutx∈I, si
x>A3,|g(x) −ℓ′|6 ε
2(|ℓ|+1).
SoitA=Max{A1, A2, A3}. Pour toutx∈Itel quex>A, on a
f(x)g(x) −ℓℓ′6|g(x)| |f(x) −ℓ|+|ℓ′|g(x) −ℓ′6M ε
2(M+1)+|ℓ| ε
2(|ℓ|+1) 6 ε 2+ε
2=ε.
On a montré que∀ε > 0, ∃A∈R/∀x∈I, (x>A⇒|f(x)g(x) −ℓℓ′|6ε)et donc lim
x→+∞f(x)g(x) =ℓℓ′. Le cas oùa= −∞se traite de manière analogue.
❏
Théorème 16.aest réel ou infini.f etgsont des fonctions à valeurs dansR 1) Si lim
x→af(x) = +∞et sig(x)tend vers un réel non nulℓquandxtend versa,alors lim
x→af(x)×g(x) =sgn(ℓ)×(+∞).
Si lim
x→af(x) = −∞et sig(x)tend vers un réel non nulℓquandxtend versa,alors lim
x→af(x)×g(x) =sgn(ℓ)×(−∞).
2) Si lim
x→af(x) = +∞et lim
x→ag(x) = +∞,alors lim
x→af(x)×g(x) = +∞. Si lim
x→af(x) = +∞et lim
x→ag(x) = −∞,alors lim
x→af(x)×g(x) = −∞. Si lim
x→af(x) = −∞et lim
x→ag(x) = −∞,alors lim
x→af(x)×g(x) = +∞. Démonstration.
1)Supposons par exemple que lim
x→af(x) = +∞et lim
x→+∞g(x) =ℓ > 0.
•Cas oùaest réel. Le réel ℓ
2 est strictement positif et donc il existe un réel strictement positifα1tel que, pour toutxdeItel que
|x−a|6α1,|g(x) −ℓ|6 ℓ
2. Pour toutxdeItel que|x−a|6α1, on ag(x) −ℓ>−ℓ
2 et doncg(x)> ℓ 2> 0.
Soit A ∈ [0,+∞[. Il existe un réel strictement positif α2 tel que pour tout x ∈ I tel que |x−a| 6 α2, f(x) > 2A
ℓ > 0. Soit α=Min{α1, α2}> 0. Pour tout x∈Itel que|x−a|6α, on a
f(x)×g(x)> 2A ℓ ×ℓ
2=A.
On a montré que∀A∈[0,+∞[,∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒f(x)g(x)>A).
Mais alors, ∀A ∈ R, ∃α > 0/ ∀x ∈ I, (|x−a|6α⇒f(x)g(x)>A) car si A est un réel strictement négatif, un réel strictement positifαtel que pourx∈I∩[a−α, a+α], on af(x)g(x)>0, est aussi réel strictement positifαtel que pourx∈I∩[a−α, a+α], f(x)g(x)>A. Donc, lim
x→af(x)g(x) = +∞.
•Les cas oùa=±∞ou lim
x→af(x) = −∞ou lim
x→ag(x) =ℓ < 0se traitent de manière analogue.
2)Supposons par exemple que lim
x→af(x) = +∞et lim
x→ag(x) = +∞.
•Cas oùaest réel. Comme précédemment, on se contente de montrer que∀A∈[0,+∞[, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒f(x)g(x)>A).
SoitA ∈[0,+∞[. Il existe un réel strictement positifα1 tel que, pour x∈ I tel que|x−a|6 α1,f(x) > √
A et il existe un réel strictement positifα2tel que, pourx∈Itel que|x−a|6α2,g(x)>√
A. Soitα=Min{α1, α2}> 0. Pourx∈Itel que|x−a|6α, on a
f(x)×g(x)>√ A×√
A=A.
On a montré que∀A∈[0,+∞[,∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒f(x)g(x)>A)et donc, lim
x→af(x)g(x) = +∞.
•Les autres cas se traitent de manière analogue.
❏
On peut résumer la plupart des résultats précédents dans le tableau suivant :
f(x)tend vers ℓ +∞ −∞ +∞ +∞ −∞ ±∞
g(x)tend vers ℓ′ ℓ6=0 ℓ6=0 +∞ −∞ −∞ 0
f(x)×g(x)tend vers
ℓℓ′ sgn(ℓ)×+∞ sgn(ℓ)×−∞ +∞ −∞ +∞
?
Le tableau ci-dessus comporte un
?
. Cela signifie que si limx→af(x) = ±∞ et lim
x→ag(x) = 0, tout est possible concernant f(x)×g(x).∞×0 est uneforme indéterminéequi sera analysée plus loin.
2.3 Quotients
Théorème 17.aest réel ou infini.fest une fonction à valeurs dansR(resp.C).ℓest un nombre réel (resp. complexe) non nul.
Si f(x) tend versℓ quand x tend versa, alors la fonction f ne s’annule pas au voisinage de a et 1
f(x) tend vers 1 ℓ quandxtend versa.
Démonstration. On fait la démonstration dans le cas oùaest réel. Supposons que lim
x→af(x) =ℓ6=0. Le réel|ℓ|
2 est strictement positif et donc, il existe un réel strictement positifα1tel que pour x∈I tel que|x−a|6 α1,|f(x) −ℓ|6 |ℓ|
2. Pourx∈ Itel que
|x−a|6α2, on a
|ℓ|−|f(x)|6||ℓ|−|f(x)||6|ℓ−f(x)|6 |ℓ| 2 et donc|f(x)|>|ℓ|−|ℓ|
2 =|ℓ|
2. En particulier,|f(x)|> 0puisf(x)6=0. La fonction 1
f est bien définie sur[a−α1, a+α1]∩I.
Pourx∈[a−α1, a+α1]∩I, on a 1
f(x)−1 ℓ
= |f(x) −ℓ|
|f(x)| |ℓ| 6 |f(x) −ℓ|
|ℓ|
2 ×|ℓ|
= 2
|ℓ|2|f(x) −ℓ|.
Soit alorsε > 0. Le réel |ℓ|2
2 εest un réel strictement positif. Donc, il existe un réel strictement positifα2tel que, pour toutx∈Itel que|x−a|6α2,|f(x) −ℓ|6 |ℓ|2
2 ε. Soitα=Min{α1, α2}> 0. Pour toutx∈Itel que|x−a|6α, on a
1 f(x) −1
ℓ 6 2
|ℓ|2|f(x) −ℓ|6 2
|ℓ|2 ×|ℓ|2 2 ε=ε.
On a montré que :∀ε > 0,∃α > 0/∀x∈I,
|x−a|6α⇒
1
f(x)−1 ℓ 6ε
. Donc, lim
x→a
1 f(x) =1
ℓ. ❏
Théorème 18.aest réel ou infini.fetgsont des fonctions à valeurs dansR(resp.C).ℓet ℓ′ sont deux réels (resp.
complexes),ℓ′ étant non nul.
Si f(x)tend versℓquandx tend versa et g(x)tend vers ℓ′ quand xtend vers a,alorsla fonction f
g est définie au voisinage deaet f(x)
g(x) tend vers ℓ
ℓ′ quandxtend versa.
Démonstration. Puisque f
g=f×1
g, il suffit d’appliquer les théorèmes 15 et 17.
❏
Théorème 19.aest réel ou infini.f est une fonction définie surI\ {a}à valeurs réelles.
Sif(x)tend vers0et est strictement positive au voisinage dea,alors lim
x→a
1
f(x) = +∞. Sif(x)tend vers0et est strictement négative au voisinage dea,alors lim
x→a
1
f(x)= −∞. Démonstration. On fait la démonstration dans le cas oùaest réel.
Supposons quef(x)tend vers0quandxtend versaet que la fonctionfconverge vers0et soit strictement positive au voisinage de a. Il existe un réel strictement positifα1tel que pour toutx∈I\ {a}tel|x−a|6α1, on af(x)> 0.
SoitAun réel strictement positif. Puisque lim
x→af(x) =0, il existe un réel strictement positifα2tel que, pourx∈I\ {a},|f(x)|6 1 A. Soitα=Min{α1, α2}> 0. Pourx∈I\ {a}tel que|x−a|6α, on a0 < f(x) =|f(x)|6 1
A et donc 1 f(x) >A.
On a montré que : ∀A ∈]0,+∞[, ∃α > 0/ ∀x ∈ I\ {a},
|x−a|6α⇒ 1
f(x) >A
et donc aussi que∀A ∈ R, ∃α > 0/ ∀x ∈ I\ {a},
|x−a|6α⇒ 1
f(x) >A
. Par suite, lim
x→a
1
f(x) = +∞.
La démonstration est analogue si la fonctionfest strictement négative au voisinage dea.
❏
Théorème 20.aest réel ou infini.f est une fonction à valeurs dansR.
Si lim
x→af(x) =±∞,alorsla fonction 1
f est définie au voisinage deaet lim
x→a
1 f(x)=0.
Démonstration. On fait la démonstration dans le cas oùaest réel et lim
x→af(x) = +∞. Soitε > 0. Il existe un réel strictement positif αtel que, pour toutx∈Itel que|x−a|6α,f(x)> 1
ε. Pourx∈[a−α, a+α]∩I, on af(x)> 1
ε> 0et donc0 < 1 f(x) 6ε.
On a montré que :∀ε > 0,∃α > 0/∀x∈I,
|x−a|6α⇒
1
f(x) 6ε
. Par suite, lim
x→a
1 f(x) =0.
❏ On peut résumer les théorèmes 19 et 20 avec les égalités :
1
∞ = 0 et 1
0 = ∞ .
Sinon, en combinant les résultats sur les produits et les inverses, on obtient le tableau suivant :
f(x)tend vers ℓ ℓ > 0ou+∞ ℓ < 0ou−∞ ℓ > 0ou+∞ ℓ < 0ou−∞ +∞ +∞
g(x)tend vers ℓ′6=0 0+ 0+ 0− 0− ℓ > 0 ℓ < 0
f(x)/g(x)tend vers ℓ/ℓ′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞
f(x)tend vers −∞ −∞ 0 ±∞
g(x)tend vers ℓ > 0 ℓ < 0 0 ±∞
f(x)/g(x)tend vers −∞ +∞
? ?
Le tableau ci-dessus comporte deux
?
. Cela signifie que si limx→af(x) = 0 et lim
x→ag(x) = 0 ou bien lim
x→af(x) = ±∞ et
xlim→ag(x) =±∞, tout est possible concernant f(x) g(x). 0
0 et ∞
∞ sont desformes indéterminéesqui seront analysées au paragraphe suivant.
2.4 Formes indéterminées
On récupère les différentes formes indéterminées des paragraphes précédents et on en rajoute une. On obtient les cinq formes indéterminées des classes préparatoires :
(+ ∞ ) + (− ∞ ) ∞ × 0 0 0
∞
∞ 1
∞Puisque 1
∞ = 0 et 1
0 =∞, les trois formes indéterminées∞×0, 0 0 et ∞
∞, sont une seule et même forme indéterminée.
On donne différents exemples montrant que dans chacun des cas ci-dessus, tout est possible.
Pour(+∞) + (−∞),
• f(x) =x2+xetg(x) = −x2. lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
g(x) = −∞et lim
x→+∞
(f(x) +g(x)) = +∞.
• f(x) =x2et g(x) = −x2−x. lim
x→+∞f(x) = +∞, lim
x→+∞g(x) = −∞et lim
x→+∞(f(x) +g(x)) = −∞.
• f(x) =x2+1 etvn = −x2. lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
g(x) = −∞et lim
x→+∞
(f(x) +g(x)) =1.
•f(x) =x+sin(x)et vn= −x. lim
x→+∞
f(x) = +∞(car pour tout réelx,f(x)>x−1), lim
x→+∞
g(x) = −∞et la fonction f+g : x7→sin(x)n’a pas de limite en+∞(car par exemple, la suite(un)n∈N=π
2 +nπ
n∈N est une suite tendant vers+∞mais la suite(sin(un))n∈N= ((−1)n)n∈N diverge.
Pour0×∞,
• f(x) =x2et g(x) = 1 x. lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
g(x) =0et lim
x→+∞
f(x)g(x) = +∞.
• f(x) =xetg(x) = 1
x2. lim f(x) = +∞, lim g(x) =0et lim f(x)g(x) =0.
• f(x) =xetg(x) = sin(x) x . lim
x→+∞f(x) = +∞, lim
x→+∞g(x) =0(car|g(x)|6 1
x) etf(x)g(x)n’a pas de limite quandx tend vers+∞.
Pour1∞,
• f(x) =1(x) − 1
x et g(x) =x2. lim
x→+∞
f(x) =1, lim
x→+∞
g(x) = +∞puis
f(x)g(x)=
1−1 x
(x2)
=e−x
ln(1−1x)
−1 x .
x→lim+∞
ln 1−1x
−1x = lim
X→0
ln(1+X)
X =1et donc lim
x→+∞
−xln 1−1x
−1x = −∞puis lim
x→+∞
f(x)g(x)=0.
• f(x) =1+1
x etg(x) =x2. lim
x→+∞
f(x) =1, lim
x→+∞
g(x) = +∞puis
f(x)g(x)=
1+ 1 x
(x2)
=ex
ln(1+1x)
1
x .
x→lim+∞
nln 1+ 1x
1 x
= +∞puis lim
x→+∞
f(x)g(x)= +∞.
• f(x) =1+1
x etg(x) =x. lim
x→+∞
f(x) =1, lim
x→+∞
g(x) = +∞puis
f(x)g(x)=
1+ 1 x
x
=e
ln(1+1x)
1
x .
x→lim+∞
ln 1+1x
1 x
=1puis lim
x→+∞
f(x)g(x)=e.
On travaillera dans le chapitre suivant (« Comparaison des fonctions en un point ») l’aspect technique du calcul des limites et en particulier on apprendra différentes manières de lever des indéterminations.
2.5 Le théorème de composition des limites
Théorème 21.aest réel ou infini,best réel ou infini,ℓest réel (resp. complexe) ou infini.
Sif est définie surIà valeurs dans le domaine de définitionJdeget f(x)tend versbquandxtend versaet sig(y) tend versℓquandytend versb, alorsg◦f(x)tend versℓquandxtend versa.
Démonstration. On analyse deux cas.
•Casaetbréels etℓcomplexe. Soitε > 0. Il existeβ > 0tel que pour toutydeJ, si|y−b|6β, alors|g(y) −ℓ|6εpuis il existe α > 0tel que pour toutxdeI, si|x−a|6α, alors|f(x) −b|6β.
Pourx∈Itel que|x−a|6α, on a|f(x) −b|6βpuis|g(f(x)) −ℓ|6ε.
On a montré que∀ε > 0, ∃α > 0/∀x∈I, (|x−a|6α⇒|g(f(x)) −ℓ|6ε). Donc, lim
x→ag◦f(x) =ℓ.
•Casa= +∞,bréel etℓ= −∞. SoitA∈R. Il existeα > 0tel que pour toutydeJ, si|y−b|6α, alorsg(y)6A. Puis il existe B∈Rtel que, pour toutxdeI, six>B, alors|f(x) −b|6α.
Pourx∈Itel quex>B, on a|f(x) −b|6αpuisg(f(x))6A.
On a montré que∀A∈R, ∃B∈R/∀x∈I, (x6B⇒g(f(x))6A). Donc, lim
x→+∞g◦f(x) = −∞.
❏ Ainsi par exemple, lim
x→0 x<0
exp r
1+ 1 x2
!
= lim
X→+∞
e√1+X= lim
Y→+∞
eY = +∞.
Le théorème de composition des limites a un aspect naturel et intuitif et pourtant, si nous cherchions à énoncer des variantes de ce théorème avec par exemple la limite quand x tend vers a en restant différent de a ( lim
x→a x6=a
f(x)), on se retrouverait face à des difficultés insoupçonnées : le théorème deviendrait faux. Dans le théorème 21, la limite considérée est lim
x→af(x)et pas lim
x→a x6=a
f(x).
