Soit a un réel xé non nul et I un intervalle de R. On considère l'équation diérentielle

MPSI B DM 3 29 juin 2019

Première partie

Soit a un réel xé non nul et I un intervalle de R. On considère l'équation diérentielle

(E I ) ∀x ∈ I : y ⁰⁰ (x) − 4y(x) = π − 4a|x|

où l'inconnue y est une fonction dénie et deux fois dérivable dans I .

1. a. Déterminer les ensembles de solutions de (E _]0,+∞[ ) et de (E _]−∞,0[ ) . On les notera respectivement S ₊ et S ₋ .

b. Soit v et w deux nombres réels quelconques. Déterminer la solution z 0 dans (E _]−∞,0[ ) telle que

en 0 ⁻ : z 0 → v et z ₀ ⁰ → w 2. On note S l'ensemble des solutions de (E _R )

a. Dans les théorèmes de cours sur les équations diérentielles linéaires du second ordre à coecients constants, quelle hypothèse doit vérier le second membre ? Doit-il être continu ou dérivable ?

Que peut-on en conclure pour les éléments de S + ? b. La fonction dénie dans R par

x 7→ − π 4 + a|x|

est-elle dans S ? 3. Déterminer S .

Deuxième partie

Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, − → i , − →

j ) , pour tout m > 0 , on note D m

la droite d'équation y = mx . Soit M un point du plan, A est sa projection sur l'axe des x et B sa projection sur l'axe des y . Par A et B on mène les parallèles à D m qui coupent respectivement l'axe des y en A ⁰ et l'axe des x en B ⁰ .On appelle M ⁰ le point qui se projette en A ⁰ et B ⁰ sur les axes. On note T m l'application du plan dans lui même qui à M associe M ⁰ .

A'

Dm

A

B M

B'

M'

1. Calculer les coordonnées (α ⁰ , β ⁰ ) de M ⁰ en fonction des coordonnées (α, β) de M . Montrer que T _m est bijective et calculer T _m ⁻¹

2. Montrer que la droite (M T m (M )) quand elle est dénie a une direction indépendante de M et que le milieu P de ([M T m (M )] décrit une droite δ _m que l'on déterminera.

Quelle est la nature de T m ? Peut-elle être une symétrie orthogonale ? 3. Le réel m étant xé, on suppose que M décrit une droite passant par O .

a. Que peut-on dire de l'ensemble des droites (AB) ? b. Que peut-on dire de l'ensemble des droites (A ⁰ B ⁰ ) ?

4. On suppose que M est xé et que m décrit l'ensemble des réels strictement positifs.

a. Déterminer l'ensemble

H = {T m (M ), m > 0}

b. On suppose que M n'est pas situé sur les axes. Montrer que la tangente en T m (M ) à H est l'image de la droite (A ⁰ B ⁰ ) par une homothétie de centre O que l'on précisera.

5. Soit (m n ) _{n∈ N} une suite innie de réels non nuls et M un point xé du plan de coor- données (α, β) avec αβ 6= 0 .Pour tout entier n , on pose

M _n = T m

(M )

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Trouver une condition nécessaire et susante sur la suite (m n ) n∈ N pour que les deux suites de coordonnées de M n convergent.

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