Équations diérentielles linéaires

Équations diérentielles linéaires

Notations.

KdésigneRou C.

I désigne un intervalle de Rnon vide et non réduit à un point.

I - Équations diérentielles linéaires du premier ordre Définition 1 (Équation différentielle linéaire du premier ordre).

Soit (a, b) ∈ C(I,K)². La fonction dérivable f est solution de l'équation diérentielle y⁰+ay=bsi

∀ t∈I, f⁰(t) +a(t)f(t) =b(t).

Notations.

a, bdésignent deux fonctions continues deI dansK.

On étudie l'équation diérentielle

y⁰+ay=b. (4.1)

I.1 - Équation homogène

Définition 2 (Équation sans second membre).

L'équation sans second membre, ou équation homogène, associée à l'équation (4.1) est

y⁰+ay= 0. (4.2)

Propriété 1 (Solutions de l’équation homogène).

Soitt0 ∈I. Une fonction dérivabley est solution de l'équation homogène (4.2) si et seulement s'il existeλ∈Ktel que

y(t) =λexp

− Z t

t0

a(u)du

,∀t∈I.

Pour tout t∈I, on note yH(t) = exp

− Z t

t0

a(u)du

etSH =

I → K

t 7→ λyH(t) , λ∈K

.

Exercice 1.Soita∈C.

1. Résoudre surRl'équationy⁰+y= 0.

2. Résoudre surRl'équation diérentielle y⁰ =ay avec pour condition initiale y(0) = 1. Théorème 1 (Caractérisation de la fonction exponentielle).

Soit E l'ensemble des fonctions f à valeurs complexes dérivables telles que

∀(x, y)∈R², f(x+y) =f(x)f(y).

Alors,

E =

R → C

x 7→ 0 , R → C

x 7→ e^λx , λ∈C

.

I.2 - Solution particulière Notation.

y_p désigne une une solution particulière de l'équation diérentielle (4.1).

Solutions remarquables, lorsque a est constante.

Sit7→b(t) est de la forme. . . chercher un solution de la forme

λconstante µconstante

Pn(t) polynôme de degrén Qn(t) polynôme de degrén

λcos(αt) +µsin(αt),(λ, µ)∈K² λ₁cos(αt) +µ₁sin(αt),(λ₁, µ₁)∈K² λe^αt, λ∈K, α6=−a µe^αt, µ∈K

λe^−at, λ∈K µte^−at, µ∈K

Exercice 2.Trouver une solution particulière, surR, des équations diérentielles

1. y⁰+y=e^t. 2. y⁰+y=e^−t.

Méthode de la variation de la constante

On cherche une solution de la formet7→λ(t)y_H(t), oùλest une fonction dérivable à déterminer.

La fonctionλvérie alors l'équation diérentielle λ⁰= _y^b

H.

Exercice 3.Trouver une solution particulière, surR^?+, de l'équation diérentielle ty⁰−y =t²e^t. Principe de superposition

Propriété 2 (Principe de superposition).

Soient (b₁, b₂) ∈ C(I,K)², f₁ une solution de l'équation y⁰ +ay = b₁ et f₂ une solution de l'équationy⁰+ay=b₂ etλ∈K. Alors,f₁+λf₂ est solution de l'équationy⁰+ay=b₁+λb₂. Exercice 4.Trouver une solution particulière de l'équationy⁰+y= cosh.

I.3 - Solution générale

Théorème 2 (Équations différentielles du premier ordre).

L'ensemble S des solutions de l'équation générale (4.1) est

S =y_p+SH ={y_p+g, g ∈SH}={y_p+λy_H, λ∈K}.

Théorème 3 (Le problème deCauchy).

Soit(t₀, x₀)∈I×K. Il existe une unique solutionf de l'équation diérentielle (4.1) satisfaisant f(t₀) =x₀.

Exercice 5.Trouver la solution de l'équation diérentielley⁰+y= cosh telle quey(0) = 0. I.4 - Recollement de solutions

1. ty⁰−2y =t³. 2. ty⁰−y= _1+t^t2.

II - Équations diérentielles linéaires du second ordre à coecients constants Définition 3 (Équation différentielle linéaire du deuxième ordre).

Soient (a, b, c) ∈ K³ tel que a 6= 0 et d ∈ C(I,K). Une fonction dérivable f est solution de l'équation diérentielle ay⁰⁰+by⁰+cy=dsi

∀ t∈I, af⁰⁰(t) +bf⁰(t) +cf(t) =d(t).

Notation.

a, b, cdésignent trois éléments deKtels quea6= 0. On étudie l'équation diérentielle

ay⁰⁰+by⁰+cy=d. (4.3)

II.1 - Équation homogène

Définition 4 (Équation sans second membre, Équation caractéristique).

L'équation sans second membre, ou équation homogène, associée à l'équation (4.3) est

ay⁰⁰+by⁰+cy = 0. (4.4)

L'équation caractéristique associée à l'équation (4.3) est

ar²+br+c= 0. (4.5)

On notera r1 etr2 les solutions de l'équation caractéristique.

Propriété 3 (Le cas complexe :K=C).

L'ensemble des fonctions solutions de l'équation homogène (4.4) est SH =

R → C

t 7→ λ₁y₁(t) +λ₂y₂(t) , λ₁, λ₂∈C

, où (i). Si r1 6=r2,y1 : t7→e^r1t,y2 : t7→e^r2t.

(ii). Si r1 =r2 (notons r0 cette valeur commune), y1 : t7→e^r0t,y2 : t7→te^r0t. Propriété 4 (Le cas réel :K=R).

Si(a, b, c)∈R³, l'ensemble des solutions à valeurs réelles de l'équation homogène (4.4) est SH =

R → R

t 7→ λ₁y₁(t) +λ₂y₂(t) , λ₁, λ₂∈R

, où

(i). Régime apériodique.Sir1 6=r2 etr1, r2 ∈R,y1 : t7→e^r1t,y2 : t7→e^r2t.

(ii). Régime critique. Si r1 = r2 (notons r0 ∈ R leur valeur commune), y1 : t 7→ e^r0t, y₂ : t7→te^r0t.

(iii). Régime pseudopériodique. Si r₁ = r₂ et r₁ ∈ C\R, notons r₁ = α +iβ, y₁ : t 7→

e^αtcos(βt),y₂ : t7→e^αtsin(βt).

Exercice 7.Résoudre les équations diérentielles suivantes.

1. y⁰⁰+ 4y⁰−5y= 0.

Exercice 8.Soientω₀ etQdeux réels strictement positifs.

1. Déterminer l'ensemble des solutions réelles de l'équationy⁰⁰+ω₀²y= 0.

2.Déterminer l'ensemble des solutions réelles de l'équationy⁰⁰−ω₀²y= 0. Exprimer cet ensemble à l'aide de la fonction exponentielle, puis à l'aide des fonctions de trigonométrie hyperbolique.

3. Déterminer l'ensemble des solutions réelles de l'équation diérentielley⁰⁰+^ω_Q⁰y⁰+ω²₀y= 0.

II.2 - Solution particulière Notation.

yp désigne une solution particulière de l'équation (4.3) Solutions remarquables

Sit7→d(t) est de la forme. . . et sur (4.5). . . une solution particulière. . . Pn(t)e^αt, deg(Pn) =n α non racine Qn(t)e^αt, deg(Qn) =n

Pn(t)e^αt, deg(Pn) =n α racine simple t·Qn(t)e^αt, deg(Qn) =n Pn(t)e^αt, deg(Pn) =n αracine double t²·Qn(t)e^αt, deg(Qn) =n

Exercice 9.Trouver une solution particulière de l'équation diérentielley⁰⁰−4y⁰+ 3y= (2t+ 1)e^t. Principe de superposition

Propriété 5 (Principe de superposition).

Soient(d₁, d₂)∈C(I,K)²,f₁une solution de l'équationay⁰⁰+by⁰+cy=d₁etf₂une solution de l'équationay⁰⁰+by⁰+cy=d2. Alors,f1+f2 est solution de l'équationay⁰⁰+by⁰+cy=d1+d2. Exercice 10. Trouver une solution particulière de l'équation diérentielle y⁰⁰−4y⁰+ 3y= (2t+ 1) sinht.

Méthode de la variation des constantes

On cherche une solution de la forme t 7→ λ(t)y1(t) +µ(t)y2(t), où λ et µ sont deux fonctions dérivables à déterminer ety₁, y₂ sont solution de l'équation homogène sous la conditionλ⁰e^r1t+ µ⁰e^r2t= 0.

Exercice 11.Déterminer une solution particulière de l'équation diérentielley⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= _1+t^e−2t2. II.3 - Solution générale

Théorème 4 (Équations différentielles du second ordre à coefficients constants).

L'ensemble S des solutions de l'équation générale est

S =y_p+SH ={y_p+g, g∈SH}.

Exercice 12.Résoudre y⁰⁰+y⁰−2y=te^−2t. Théorème 5 (Le problème deCauchy).

Soit (t₀, x₀,xe₀) ∈I×K×K. Il existe une unique solution f de l'équation diérentielle (4.3) satisfaisantf(t0) =x0 etf⁰(t0) =xe0.