Équations diérentielles

Stanislas

Exercices

Équations diérentielles

Chapitre IV MPSI 1

2015/2016

I - Équations du premier ordre

Exercice 1. (-)Résoudre les équations diérentielles suivantes.

1. y⁰ =y+ 1. 2. y⁰ = 3y+e^3x. 3. y⁰ = 2y+e^2x(1 +x).

4. 7y⁰+ 2y= 2x³−5x²+ 4x−1.

5. y⁰ =−y+xe^x. 6. y⁰ = 2y+ 2x²−1.

7. y⁰−2y= cosx+ 2 sinx. 8. y⁰ = _x^y2.

9. y⁰+_1+x^2x2y= ^1+3x_1+x2².

10. y⁰+ tan(x)y= sin(2x),x∈]−^π₂,^π₂[. 11. y⁰−_1+x^2x₂y = (x²+ 1) cos(x).

12. y⁰−(lnx)y=x^x.

Exercice 2. (Lemme de Gronwall,♥) Soient c un réel positif et g : [a, b] → R une fonction continue positive. Soitu : I →Rtelle que

∀x∈[a, b[,|u(x)|6c+ Z x

a

|u(t)|g(t)dt.

1. On pose v : x7→ c+ Z x

a

|u(t)|g(t)dt etw : x7→ v(x) exp

− Z x

a

g(t)dt

. Montrer que w est décroissante.

2. En déduire que : ∀x∈[a, b[,|u(x)|6cexp Z x

a

g(t)dt

.

Exercice 3.Résoudre l'équation diérentielle : (1−x²)y⁰+xy = ¹_x+xln(x)−x.

1. Sur]0,1[ et]1,+∞[. 2. Sur R^?+.

Exercice 4. (Équation intégrale) Déterminer l'ensemble des fonctions f ∈ C(R,R) telles que : ∀ x∈R,

Z x 0

f(t)(2x−3t)dt= x² 2 .

Exercice 5. (Recollements)Résoudre surRles équations diérentielles suivantes.

1. (sinhx)y⁰−ycoshx=−1. 2.xy⁰+ (x+ 1)y= 1. 3. xy⁰+αy= 0,α∈R.

II - Équations du second ordre

Exercice 6. (-)Résoudre les équations diérentielles suivantes.

1. y⁰⁰−3y⁰+ 2y= 2e^3x. 2. y⁰⁰−3y⁰+ 2y=e^x. 3. y⁰⁰−3y⁰+ 2y= 2e^3x+e^x. 4. y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= 2.

5. y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y=x²+ 2. 6. y⁰⁰−2y⁰+y=xe^x.

7. y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y=e^−x(x²+ 1).

8. y⁰⁰−2y⁰+ 5y= 2 cosx. 9. y⁰⁰+y = cos²x.

10. y⁰⁰+y⁰−2y= cosx+ coshx. 11. y⁰⁰−2y⁰+ 2y= 2e^xsinx. 12. y⁰⁰+y⁰+y =xe^x. 13. y⁰⁰+y=|x|+ 1.

Stanislas A. Camanes

Exercices. Équations diérentielles MPSI 1

Exercice 7. (Parties paire / impaire)

1. Soient a un nombre réel et b : R → R une fonction continue. Notons c (resp. d) la partie paire (resp. impaire) de b. Soit f : R → R une fonction deux fois dérivable et ϕ (resp. ψ) sa partie paire (resp. impaire). Montrer quef est solution de l'équation diérentielley⁰⁰+ay=bsi et seulement siϕest solution de y⁰⁰+ay=cetψ est solution de y⁰⁰+ay=d.

2. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation diérentielley⁰⁰−4y= coshx+ sinx. 3.Déterminer l'ensemble des fonctions f de classeC²(R,R) telles que pour toutx∈R,f⁰⁰(x) + f(−x) =x+ cos(x).

Exercice 8. (Équations fonctionnelles)

1. Déterminer l'ensemble des fonctions dénies et dérivables sur R, telles que, pour tout x∈R, la tangente à leur courbe représentative au point d'abscissex passe par le point(^x₂,0).

2.Déterminer l'ensemble des fonctions dérivables vériant pour toutx∈R,f⁰(x) =f(−x) +e^x Exercice 9. (-)Déterminer l'ensemble des fonctionsf ∈C(R,R) telles que

∀(x, y)∈R², f(x)f(y) = Z x+y

x−y

f(t)dt.

Exercice 10. (Changement de variable,-)On cherche à résoudre l'équation diérentielle (1 +x)y⁰⁰−y⁰−xy = 0.

1. Montrer quex7→e^x est solution.

2. Soity une solution de l'équation diérentielle. Déterminer les fonctions z : x7→y(x)e^−x. 3. Conclure.

Exercice 11. (Changement de variables)On considère l'équation diérentielle, (1 +x²)²y⁰⁰+ 2x(1 +x²)y⁰+y= 0.

1. Déterminer une bijectionϕ de Rdans ]−π/2, π/2[ telle que ϕetϕ⁻¹ soient de classeC¹ et telles que le changement de variable déni part=ϕ(x) transforme l'équation précédente en une équation à coecients constants.

2. En déduire les solutions de l'équation diérentielle.

Exercice 12. (!)On considère l'équation diérentielley⁰ = 1 +y².

1. Trouver une solution particulière de cette équation sur l'intervalle]−^π₂,^π₂[.

2. Soient a < b deux réels, I =]a, b[ et f : I → R une solution de l'équation. On dénit g : I →]−^π₂,^π₂[, x7→arctanf(x). Montrer queg est une fonction dérivable et déterminerg⁰. 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation sur l'intervalle]a, b[.

4. Montrer que l'équation possède une unique solution sur l'intervalle]−^π₂,^π₂[.

Stanislas A. Camanes