Équations diérentielles

Stanislas

Compléments

Équations diérentielles

2017-2018

I - Équations linéaires du premier ordre

Exercice 1. ()Résoudre les équations diérentielles suivantes.

1. y⁰ =y+ 1.

2. y⁰ = 3y+e^3x. 3. y⁰ = 2y+e^2x(1 +x).

4. 7y⁰+ 2y= 2x³−5x²+ 4x−1. 5. y⁰ =−y+xe^x.

6. y⁰ = 2y+ 2x²−1.

7. y⁰−2y= cosx+ 2 sinx.

8. y⁰ = _x^y2.

9. y⁰+_1+x^2x2y= ^1+3x_1+x2².

10. y⁰+ tan(x)y= sin(2x),x∈]−^π₂,^π₂[. 11. y⁰−_1+x^2x₂y = (x²+ 1) cos(x).

12. y⁰−(lnx)y=x^x.

Exercice 2. (Recollement de solutions) Résoudre l'équation diérentielle : (1−x²)y⁰ +xy =

1

x+xln(x)−x.

1. Sur]0,1[ et]1,+∞[. 2. Sur R^?+.

Exercice 3. (Équation intégrale) Déterminer l'ensemble des fonctions f ∈ C(R,R) telles que : ∀ x∈R,

Z x

0

f(t)(2x−3t)dt= x² 2 .

II - Équations linéaires du second ordre

Exercice 4. ()Résoudre les équations diérentielles suivantes.

1. y⁰⁰−3y⁰+ 2y= 2e^3x. 2. y⁰⁰−3y⁰+ 2y=e^x. 3. y⁰⁰−3y⁰+ 2y= 2e^3x+e^x. 4. y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= 2.

5. y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y=x²+ 2. 6. y⁰⁰−2y⁰+y=xe^x.

7. y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y=e^−x(x²+ 1).

8. y⁰⁰−2y⁰+ 5y= 2 cosx.

9. y⁰⁰+y = cos²x.

10. y⁰⁰+y⁰−2y= cosx+ coshx. 11. y⁰⁰−2y⁰+ 2y= 2e^xsinx.

12. y⁰⁰+y⁰+y =xe^x. 13. y⁰⁰+y=|x|+ 1.

Exercice 5. (Changement de variable)On cherche à résoudre l'équation diérentielle (1 +x)y⁰⁰−y⁰−xy = 0.

1. Montrer quex7→e^x est solution.

2. Soity une solution de l'équation diérentielle. Déterminer les fonctions z : x7→y(x)e^−x. 3. Conclure.

Stanislas A. Camanes