Résolution d'une équation du

(1)

Leçon

6

Résolution d'une équation du

second

degré

Activités

Activité I

A

I'aide de la factorisation

1.

Compléter le tableau suivant.

Equation Entourer les nombres solutions Solutions

x(x-1)=g - ^{2; Q);} ^Q); 2;

³

0etl

(2x-5)(x+4)=0

);o;];t;-+

(2x -I)(x ⁺⁵⁾⁼⁰

(.r-3)(3.r+5)=0

-?

^.

-i'o;J;t

2. On se propose de résoudre

l'équation

x2

-

^x=2x+10 Solution:

L'équation s'écrit successivement ^:

x' -

^x

_-2x+10

x' -

^x

-2x

^-10

: 0

^<-ontranspmetouslestermes

dans un mememembre

*2

-3*-

^1o⁼^o

(r-5)(x +2) - g _e

_on_factorise

On résout une équation ilu type produit nul.

Les solutions de cette équation sont lès solutions de chacune des équations ^:

. r-5=0 d'où

x=5

. x+2 ₌0

d'où x=-2

Vérfication:

. pour

x=2,

on a :

(-2)' -(-2) -2(-2)+10

4+2=-4+10

6=6

. pour x ₌5, on a :

(5)' -(5)

⁼^2(5)+10

25-5

₌10+10

20

=20

Donc les nombres -2 et 5 sont les solutions de

l'équation

)c'

-

^)c^{= 2x +10}^.

(2)

- selon le modèle ci-dessus, résoudre _leséquations suivantes :

a.

*2

-6*+g=0 d.

^2x2

^_3x+l=0

b.

^x2

+4x-5=0 _e. _{x(x_3)={}

c.

x2

-3x=10 f.

^x2+gx=9

Activité

2

A

I'ade de la racine carrée

1.

On se propose de résoudre l,équation

x,

^_9 = ⁰ Solution:

L'équation s'écrit successivement :

x' -9 ^=o

x'

₌

9 e

on transpæe le termeen

r

^dansun membre, et le terme sans

ï

^dansI'autre membre

J7 =',6 e

^onextrait ra racinecaneeles deux membres

l*l= Ji ^soit

^x=

t3

Vérfication:

. pqur x =

-3,

^{on a}

^:

^(-3)2_9 =0

9-9=0 0=0 .pour x=3, ona: (3)2-l=0

9-9=0

0=0

Donc les nombres -3 et 3 sont les solutions de

l'équatiôn x, -9 ^_0.

2.

On se propose de résoudre l,équation

x, -

^g⁼⁰

Solution

:

^'

12

-g

⁼^o

.r'

₌

8 e

on transpose le terme en x dans un membre, et le terme sans .r dans I'autre membre

,{t

_=lÆ

e

^onextrait la racine carree les deux membres

ltl=Js ^soitx -+JQ-+2J,

6. Équation du second degré : résolution |32

(3)

Vérfication:

. pour

* - -Jl,

^on

a,(-zJll-8

₌o

4x2-8

₌0

0=0

. pour

* - J2,

^on

^a,bOY-8=o

4x2-8=0 0=0

Donc les nombre

" ^- Ji

^et

Ji

^{sont les}^solutions^del'équat ion x2

-

⁸

:

0 .

3.

On se propose de résoudre

l'équation

2x2 +g ₌0

Solution:

2x2 +8=0

2x2

- -8 ⁺

^ontranspose le termeen x dans un membre, et le termesans

r

^dans^I'autremembre

*'

=

-2

₂

^e

^on^divise^les^deux^membres^par²

x2

=4

.l x2 ₌

J4

^<-^on^extrait^la^racine^carreeles deux membres

Mais, on ne peut pas exfaire la racine carree d'un nombre negatif dans

B.

Donc l'équation

2x'

+8 ₌

0

^n'a^pas^desolution dans

fr.

- Selon le modèle ci-dessus, résoudre les équations suivantes:

a.

^*2

-25=o ^d.

^4x2

^+30:6

b.

^x2

=6 e,

^3x2

_-24=3 c.

2x2

-24=o ^- f.

^3x2

_=-9.

Activité 3

A l'aide de l'identité remarquable

1.

observer la factorisation x2 +2x+1= (x+l)2, puis compléter les pointillés:

a.

x2 +6x+9= (....+...)2

b.

x2

-2x+l=(....-...)2

c.

^x2+2ax+at =(....+...)t

d.

^(2x)2_-4x+1= (....-...)'

(4)

2.

On se propose de résoudre l'équation x2

-2x-2=0.

Solution:

*2

-2*-z=o

x2

-2x =2 e

on transpose le terme en x dans un membre, et le terme sans x dans I'autre.

*2

-2*+l=2+l e

on ajoute

I

^auxdeux membres

(x:l)2 =3 e

on écrit le membre de gauche sous la forme du carré

Vérfication:

.pourx=1-.,6,otta:

JGT - Jt ^+-

on extrait la racine carréeles deux membres

it-tl=t\6 ^soit ^x=1-.6 ^ou ^x=t+Jt

ft

-.,trl -2e-.6) - 2:

^o

r-2J1+3-z+zJj _-2=o

.

porr

x ₌t

+,.6,

^orr

u, (t* _Jt'f _-2e+ Jr _-2

= ⁰

r+2Ji +r-z-zJi -z:o

Donc les solutions de l'équation *2

-2r-z=

^{0 sont}

l- _{"E et}

¹⁺

_^6.

3

.

On se propose de résoudre

l'équation

2x2

-

^3x

-

2 = ⁰

Solution

:

^'

2x2

-3x-2=o

2x2 -3x ⁼

2 +-

on transpose le terme en x dans un membre,

2x'

^3x

et le terme sans x dans l'autre.

: )

^<_^on^divise^lesdeux membres pæ 2

22

2

7ç,

-!_1

2

*' -?+ a

⁼

¹⁺ 9 9

aux deux membres

2 16 G

^+-^on

^uJot"

¹⁶

"'_z(1\**(2\' \4i \4/ =ë

¹⁶

0=0

6. Équation du second degré : résolution 134

(5)

( z\2

²⁵

['-;J

⁼

fr e

^on^écrit^le^membre^de^gauche^sous^la^forme

du carré

lrl ^tE

lx--l=.

| 4l f/,u e

on extrait la racine carrée les deux membres

3 .5 .r--

₌

i-

44 3 5 35

= 4-i ^ou x=ii

Jc

- --

₂I ^Ol'l

^x=2

Vérfication:

I _a: _2(-!\'

-rf-1)

.pour y__=,Ofr

\ Z) ^,, ^,)_r__,

d !\.d L)-,

₌_o

\4) \2)

l?

v+1-2=O

t*3_1=o

:=:

²

.pour

x

=2,

^{on a}

:

²¹²¹²

_-l1z)-2=0

8-6-2=0 0=0

Donc les solutions de

l'équation

2x2

-3x-2=0

^sont^x

=-;'

^et

^x=2

4.

On se propose de résoudre péquation _*2₊

*+

_{I =}0

Solution:

L'équation

s'écrit successivement :

,2

+*+l=0

x'

+ x ₌

-l ^e

^on^transpose^le^terme^en^x^dans^{un membre,}

et le termesans .r dans I'autre membre

*t***f-=

_._{_ ,}

I

^I

4- -t* o e

^on^ajoute

i

^aux^deux^membres

,'***!=-1*1

4 44

(6)

' r*!- ₄₄ _-

³

/r\ i .

'z(!\**l =-3

\2)44

/'\

(

t\2

³

x2

+zl1 \2) \2) tr*t- t =--

⁴

l.r *

l)' _{- -} 3

_<-_on_extraitla racine caffee les deux membres

\2)

⁴

On ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif dans

B.

Donc l'équation

2x'

+ 8 =

0

n'a pas de solution dans

E

- Selon le modèle ci-dessus, résoudre les équations suivantes:

a.

^*2

-6*-1= o a.

^4x2

_-8x+5=o b.

^x2

+4x-5

₌

o ^b.

^3x2

_-6x-2=o

:"?

c. 2x2-3x-2=o c. x2+4x+9=0. ^-.G-r

Le cours

r _Ule

équation du second degré à une inconnue x est une équation

qui _,

peut

être

^écrite^sous^la

^forme

^act⁺^bx^{+ c}=

0,

ou a, b,

c

^sont^trois

réelsdonnés,

a+0.

1. Résoudre une équation du second degré à

I'aide

de la factorisation Méthode

- Transformer l'équation donnée sous la forme

ax'

+ bx + c

-

⁰

- Factoriser

ax' +bx+ c

en produit de deux facteurs ,4x

B

- Résoudre une équation du

type

< produit

nul: Ax

B ₌0>

Exemple : Résolution de

l'équation

2x2

-7x

= -3 Solution:

-- 27/J'=-3 2x' -7x ⁺³ -0 r(n'- ^

^î

_{+a_-hiv+} > =rI*z__ ^6r+

⁴

(2x-t)(x-r;=; ^{€^['t-ù)} "](rc',) =ci- t)(ur-l

On résout une équation du type produit

nul.

_,

2x-r=o ou x-3=o ^fi-tLl -i / ^- ⁾ Çr-,) 2x=l ou ^x=3

x=-

I

2

['r

ⁿ

-,) _(;r-

₁₎

l'équation

^2x2

-7x

=

-3

^sont

]

₂ ^{et :}^.

6. Équation du second degré : résolution _|36

(7)

2.

Résoudre une équation du second degré à I'aide de la racine carrée Pour une équation de la forme @c'

+c

₌

0,

on applique la méthode suivante:

- Transpose le

terme{xtdans

un membre, et [e terme sans

r

^dans

I'autre membre _;

- Extraire la racine carrée les deux membres

(ou écrire sous forme factorisable (a + b) (a

-

^{b) =}^{0, puis}^résoudre^une

équation du type produit nul)

l'équation

3x2 -27 =o Solution:

3x2

-27

--o

3x2 =27

*'=27

a

-g

J

=Jg

l"l=.16

donc

x

-+JÇ

^soit

^x=t3

l'équation

^3x2_-27₌0 sont

-3

^et³

3.

Résoudre une équation du second degré à I'aide de

I'identité

remarquable.

Méthode

- Transformer l'équation donnée sous la forme a)c' + bx+ c = ⁰ - Factoriser axz

+bx+c

en identités remarquables

: (a+b)', (o-b)'.

- Exfraire la racine carrée les deux membres.

( ou écrire sous formq factorisable (a + b) (a

-

^b)= ⁰^,puis résoudre une équation du type produit nul)

l'équation

^3x2+l2x-15 ₌0

J7

Solution:

3xz +l2x-15 ₌0

3x2 lLx

¹⁵

T---=V

333

x2

+4x-5=0

x2

+4x=5

x2

+4x+4=5+4

x2 +2(2)x+22

=5+4

(x+212 =g

//'

(8)

(x+2)2 _--_J9

lx+zl--Je

xl2=tJg

=

tl

x=-2-3 _ou ^x=-2+3 x=-5 _{Ou .r=l}

Donc les solutions de l'équation 3x2

+l2x-15=0

sont-5 et 1.

Exercices

1.

À

l'aide de la factorisation, résoudre les équations suivantes.

2. Al'aide

de la racine carrée, résoudre les équations suivantes.

a.

x2

-2t-3

⁼^o

b.

x2

-.2*-

^{35 = o}

c. x' ^+Iùx

⁼

-9

a.

^x2

_-4=o b.

^4*2

_-g

=o

c.

^l2Lx2

_-l=0 d. ^L*'

-0.36 = ^o

4

a.

^x2

^+2x-7

=0

b.

^,2

_-4*-3

= ^o

c.

^5x2

_-lox-25=o d.

^*2

_-4*-7

=o

d.

x2 = ^4x+32

e.

^x2

+4x-21=0'

f.

^3x2

^+llx=20

e.

^x2

+l=0

f.

^5r2+3=o

g.6412-0,01=0

h.

^3x2⁺⁴⁼¹³

e.

^3x2

_=2x-5.

f.

^2x2

_-28x=-l

g.

x2

-3x+l=0

h.

^x2

+5x-2=0

3. À

I'aide des identités remarquables, résoudre les équations suivantes.

6. Équation du second degré ^:résolution 138

Résolution d'une équation du

Leçon