Calculs algébriques : Identités remarquables et équations

Seconde

Calculs algébriques :

Identités remarquables et équations

Année scolaire 2019/2020

I) Rappels de calcul algébrique/calcul littéral : 1) Distributivité :

a) Simple distributivité :

La multiplication des réels est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction

Autrement dit : soient a,b et k, trois nombres réels, alors : k×(a + b) = k×a + k×b

b) Double distributivité : Soient a, b, c et d, quatre réels :

(a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d

2) Développement :

Consiste à transformer un produit en somme algébrique en utilisant, entre autres, les règles rappelées ci-dessus.

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

A = √3(5x² – 7x + 2) et B = 4ab²(2a – 3b + 6ab)

A = √3 × 5𝑥²− √3 × 7𝑥 + √3 × 2 B = 4ab²×2a – 4ab²×3b + 4ab²×6ab = 5√3𝑥²− 7√3𝑥 + 2√3

= 8a²b² – 12ab³ + 24a²b³

3) Factorisation :

Consiste à transformer une somme algébrique en produit en utilisant, entre autres, les règles rappelées ci-dessus.

Exemples :

Factoriser les expressions suivantes :

A = 15ab² – 10ab + 5b B = 3x² – 3x

A = 5b(3ab – 2a + 1) = 3x(x – 1)

4) Calculs fractionnaires :

Ce sont les mêmes règles que pour le calcul fractionnaire avec des valeurs numériques.

Exemples :

Mettre sous le même dénominateur les expressions suivantes : A = 3 + ²

3x+1

, pour tout x ϵ ℝ \{-

3

} et B = 5x –

𝑥−2

, pour tout x ϵℝ\{2}

A = ^3×(3x+1)

3x+1

+

3𝑥+1

=

𝑥−2

–

𝑥−2

= ^9𝑥+3

3𝑥+1 + ²

3x+1

=

2−10𝑥 𝑥−2

–

𝑥−2

= ^9𝑥+5

3𝑥+1

=

2−10𝑥−7𝑥−1 𝑥−2

= ^5𝑥

2−17𝑥−1

𝑥−2 II) Identités remarquables :

Formules à connaître dans les deux sens : 1) (a + b)² = a² + 2ab + b²

2) (a – b)² = a² – 2ab + b² 3) (a + b)(a – b) = a² – b² Exemples :

1) Calculer et simplifier les expressions suivantes : A = (√5 + 2)² B = (2√3 − √7)²

= (√5)²+ 2 × √5 × 2 + 2² = (2√3)²− 2 × 2√3 × √7 + (√7)² = 5 + 4√5 + 4 = 4×3 – 4√21 + 7

= 9 + 4√5 = 19 − 4√21 2) Développer et réduire les expressions suivantes :

C = (4x + 1)² +(3x – 2)(x – 5) D = (x – 8)² – (2x + 1)²

= (4x)² + 2×4x×1 + 1² + 3x2 – 15x – 2x + 10 = x² – 2×x×8 + 8² – (4x² + 2×2x×1 + 1²) = 16x² + 8x + 1 + 3x² – 17x + 10 = x² – 16x + 64 – 4x² – 4x – 1

= 19x² – 9x + 11 = -3x² – 20x + 63 3) Factoriser les expressions suivantes :

E = 64x² – 1 F = x² – 6x + 9 – (x – 3)(x + 2) = (8x)² – 1² = (x – 3)² – (x – 3)(x + 2) = (8x + 1)(8x – 1) = (x – 3) (x – 3 – (x + 2)) = (x – 3) (x – 3 – x – 2 ) = (x – 3) (-5) = -5(x – 3) III) Résolution de différents types d’équations : 1) Equations produits = 0 :

A × B = 0  A = 0 ou B = 0

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

a) (3x + 2)(x – 7) = 0 b) (x – 2)² – (3x + 1)² = 0

 3x + 2 = 0 ou x – 7 = 0  ((x – 2) + (3x + 1)) ((x – 2) – (3x + 1)) = 0

 3x = - 2 ou x = 7  (4x – 1)(-2x – 3) = 0

 x = - ²

3 ou x =7  4x – 1 = 0 ou -2x – 3 = 0  x = ¹

4 ou -2x = 3 Donc : S = {−²

3; 7}  x = ¹

4 ou x = - ³

2

2) Quotients nuls : Tout d’abord :

𝐴

𝐵 est défini si et seulement si B ≠ 0

Ensuite :

Si B ≠ 0, ^𝐴

𝐵= 0 ⇔ 𝐴 = 0 Exemples :

a) Déterminer le domaine de définition de l’expression suivante : A = ^5x+2

8x−1

A est définie si et seulement si 8x – 1 = 0  8x = 1

 x = ¹

8

Donc A est définie pour tous les x réels sauf ¹

8 c’est-à-dire que son domaine de définition est : ℝ ∖ {¹

8}

b) Résoudre les équations suivantes : 2𝑥 + 3

𝑥 − 5 = 0 Valeur interdite : x – 5 = 0

⇔ x = 5

On va résoudre cette équation sur ℝ ∖ {5}

2𝑥+3

𝑥−5 = 0  2x + 3 = 0  2x = - 3  x = −³

2

Donc : S = {−^𝟑

𝟐}

1

𝑥 + 2+ 1 𝑥 − 1= 0 Valeurs interdites :

x + 2 = 0  x = -2 x – 1 = 0  x = 1 On va résoudre cette équation sur ℝ ∖ {−2; 1}

On va réduire le membre de gauche en mettant l’ensemble sur le même dénominateur :

𝑥 − 1

(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)+ 𝑥 + 2

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)= 0

 x−1 + (x+2) (x+2)(x−1)

= 0

 ^2x+1

(x+2)(x−1)

= 0

 2x + 1 = 0

 2x = - 1  x = −¹

2 donc S = {−¹₂}