Identités remarquables

Pour tous nombres réels a et b :

• ( a  b ) ² = a ²  2 ab  b ²

• ( a − b ) ² = a ² − 2 ab  b ²

• ( a  b )( a − b ) = a ² − b ²

Exemple 1 : Développe et réduis l'expression ( x  3) ² . On utilise l'identité ( a  b ) ² avec a = x et b = 3.

( x  3) ² = x ²  2 × x × 3  3 ² On remplace a par x et b par 3 dans ( a  b ) ² = a ²  2 ab  b ² . ( x  3) ² = x ²  6 x  9 On réduit l'expression obtenue.

Exemple 2 : Développe et réduis l'expression (3 x − 5) ² . On utilise l'identité ( a − b ) ² avec a = 3 x et b = 5.

(3 x − 5) ² = (3 x ) ² − 2 × 3 x × 5  5 ² On remplace a par 3 x et b par 5 dans ( a − b ) ² = a ² − 2 ab  b ² . Attention ! a = 3 x donc a ² = (3 x ) ² = 3 ² × x ² = 9 x ² . (3 x − 5) ² = 9 x ² − 30 x  25 On réduit l'expression obtenue.

Exemple 3 : Développe et réduis l'expression (7 x  2)(7 x − 2).

On utilise l'identité ( a  b )( a − b ) avec a = 7 x et b = 2.

(7 x  2)(7 x – 2) = (7 x ) ² − 2 ² On remplace a par 7 x et b par 2 dans ( a  b )( a − b ) = a ² − b ² . (7 x  2)(7 x – 2) = 49 x ² − 4 On réduit l'expression obtenue.

Exemple 4 : Factorise l'expression A = x ²  6 x  9.

A = x ²  6 x  9 On observe trois termes précédés du signe .

A = x ²  2 × x × 3  3 ² On met en évidence l'identité remarquable

a ²  2 ab  b ² = ( a  b ) ² avec a = x et b = 3.

A = ( x  3) ² On remplace a par x et b par 3 dans ( a  b ) ² . Exemple 5 : Factorise l'expression B = 25 x ² − 20 x  4.

B = 25 x ² – 20 x  4 On observe trois termes et des signes différents.

B = (5 x ) ² − 2 × 5 x × 2  2 ² On met en évidence l'identité remarquable

a ² − 2 ab  b ² = ( a − b ) ² avec a = 5 x et b = 2.

B = (5 x − 2) ² On remplace a par 5 x et b par 2 dans ( a − b ) ² .

Exemple 6 : Factorise l'expression C = 64 x ² − 49.

C = 64 x ² − 49 On observe la différence de deux carrés.

C = (8 x ) ² − 7 ² On met en évidence l'identité remarquable

a ² − b ² = ( a  b )( a − b ) avec a = 8 x et b = 7.

C = (8 x  7)(8 x − 7) On remplace a par 8 x et b par 7 dans ( a  b ) ( a − b ).

Calcul littéral et équations • N2 26 45

Identités remarquables

1

Propriétés

33

N2 • Calcul littéral et équations

34

• Une égalité est conservée si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres.

si a = b , alors a  c = b  c

si a = b , alors a − c = b − c

• Une équation est conservée si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre non nul.

si a = b , alors a × c = b × c

si a = b , alors a c ⁼

b

c ^(où c  0)

Exemple : Résous l'équation 7 x  2 = 4 x  9.

7 x  2 = 4 x  9 7 x  2 – 4 x = 4 x  9 – 4 x

On élimine les termes en x dans le membre de droite en retranchant 4 x aux deux membres.

3 x + 2 = 9 3 x + 2 – 2 = 9 – 2

On isole le terme en x dans le membre de gauche en retranchant 2 aux deux membres.

3 x = 7 3 x

3 = 7 3 x = 7 3

On détermine la valeur de l'inconnue x en divisant les deux membres par 3.

Ainsi 7 x  2 = 4 x  9 lorsque x = 7 3 . On peut vérifier que 7

3 est bien une solution de l'équation 7 x  2 = 4 x  9.

En effet, pour x = 7

3 : 7 x  2 = 7 × 7 3  6

3 = 55

3 et 4 x  9 = 4 × 7 3  27

3 = 55 3 . On conclut que 7

3 est la solution de l'équation 7 x  2 = 4 x  9.

Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.

Autrement dit, si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.

Exemple : Résous l'équation ( x  3)( x − 7) = 0.

Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.

On en déduit que : x  3 = 0 ou x − 7 = 0 x = − 3 ou x = 7 On peut vérifier que les valeurs trouvées sont bien solutions.

• Pour x = − 3 : ( x  3)( x − 7) = (− 3  3)(− 3 − 7) = 0 × (− 10) = 0.

• Pour x = 7 : ( x  3)( x − 7) = (7  3)(7 − 7) = 10 × 0 = 0.

Les solutions de l'équation produit ( x  3)( x − 7) = 0 sont : − 3 et 7.

Chapitre G1 • Symétrie centrale

Équation du premier degré

2

Équation produit

3

Propriété

78 56 69 Propriétés

152