Calculs algébriques

Voici des exercices plutôtcalculatoires. Le cours de mathématiques de MPSI ne se résumera pas à des calculs, bien au contraire ! Cependant, s’entraîner à calculer est essentiel pour bien commencer l’année.

Calculs algébriques

EXERCICE1. Développer et ordonner :A=¡ 2x−¹₂¢3

. EXERCICE2. Développer et ordonner :

1. A=(x−1)(x²+x+1) 2. B=(x+1)(x−1)(x²−x+1) 3. C=(x+1)(x−1)(x²+x+1) 4. D=(x−1)²(x+1)(x²+x+1) EXERCICE3. Développer et ordonner :

1. A=(x²+x+1)(x²−x+1) 2. B=(1+x+x²)²

3. C=(x²+p

2x+1)(x²−p 2x+1) EXERCICE4. Développer et ordonner :

1. A=(x+y+z)² 2. B=(x+y)³

EXERCICE5. Soitxun réel. Simplifier :

A=

µe^x+e^−x 2

¶2

−

µe^x−e^−x 2

¶2

EXERCICE6. Factoriser :

1. A= −(6x+7)(6x−1)+36x²−49 2. B=25−(10x+3)²

3. C=(6x−8)(4x−5)+36x²−64 4. D=(−9x−8)(8x+8)+64x²−64 5. E=36−(−4x−4)²

EXERCICE7. Le résultat suivant pourra être utile : siαest une racine d’un polynômeP(x), alorsP(x) peut s’écrire P(x)=(x−α)Q(x) oùQ(x) est un polynôme qui peut se calculer, par exemple, par identification des coefficients.

Factoriser : 1. A=x²−2x+1 2. B=x²+4x+4 3. C=x²+3x+2 4. D=x²−9x+8 5. E=2x²−4x−16 6. F=x²+3x−28 7. G=x³−1 8. H=x³+1

9. I=x³+6x²+11x+6 10. J=x⁴−1

11. K=x⁶−1 12. L=x¹²−1

EXERCICE8. Factoriser : 1. A=(x+y)²−b²

2. B=(x²+6x y+9y²)−169x²

3. C=(x+2)²+x²(x+2)+x²−3x−10 4. D=28x³y+63x y−84x²y

5. E=2x⁵y⁵−8x y

6. F=x²(x−2y)−y²(x−2y)−x+2y 7. G=y²(a²+b²)+16x⁴(−a²−b²) 8. H=x²−y²+x+y

9. I=x y+x+y+1 10. J=x y−x−y+1

11. K=x³+x²y+2x²+2x y+x+y EXERCICE9.

1. Résoudre les équationsx²−5x+4=0 et 2x²−x−1=0.

2. Soitxun réel. En supposant qu’elle est bien définie, simplifier l’expression suivante :

A=

³x²−5x+4 2x+6

´

³2x²−x−1 x²−9

´

EXERCICE10. Résoudre l’équation :x²=2020x−2019

EXERCICE11. Soitxun réel strictement positif. Simplifier :A=xp 2x+2p

2x³+^p2x_2x². EXERCICE12. Soientxetydeux réels strictement positifs. soitn∈Z. Simplifier :

A=

µx⁻²ⁿy³ⁿ x²ⁿyⁿ⁻¹

¶−1

EXERCICE13. Dans cet exercice, toutes les variables sont des réels strictement positifs. Simplifier : 1. A=x⁷x⁵x³

2. B=((x⁷)⁵)³ 3. C=^(2x_(10x^4)(5x2)⁴⁶⁾

4. D=

2a4b4(c−1)3 a−2b3c4 3(a−1b−2c)2

ac2

5. E=

³ _a4b−4 (a−2b3)−2

´3

³4(a−3b2)3 a8b−10

´−2

EXERCICE14. Simplifier : 1. A=p

4² 2. B=p

(−4)² 3. C=p

24+p 54−p

6 4. D=p

12+2p 27+3p

75−9p 48 5. E=

q (2+p

7)²+ q

(2−p 7)²

EXERCICE15. On considère l’équation (E) :_x+1³ −¹₂=_3x²₊₃. 1. Pour quels réelsxl’équation (E) a-t-elle un sens ? 2. Pour quels réelsxl’équation (E) est-elle vraie ?

EXERCICE16. On considère l’équation (F) :x−4p

x+3=0.

1. Pour quels réelsxl’équation (F) a-t-elle un sens ? 2. Résoudre l’équationt²−4t+3=0.

3. Résoudre l’équation (F).

EXERCICE17. Montrer que 21²+220²=221². EXERCICE18.

1. Pour quels réelsxl’expression ln(−3x+1) a-t-elle un sens ?

2. Soity∈R. Résoudre l’équation ln(−3x+1)=y(d’inconnuex) et discuter en fonction du paramètrey. EXERCICE19. Soity∈R. Résoudre l’équatione^x+1+2=y(d’inconnuex). On discutera suivant la valeur dey. EXERCICE20.

1. Soitn∈N^∗. Démontrer que :

1+ 1 n²+ 1

(n+1)²=(n²+n+1)² n²(n+1)² 2. Déterminer trois réelsa,betctels que, pour toutn∈N^∗:

n²+n+1 n(n+1) =a+b

n+ c n+1 3. Déduire des questions précédentes le calcul de :

S=

2019

X

n=1

s 1+ 1

n²+ 1 (n+1)² EXERCICE21. Soienta,b,c,dquatre réels. Démontrer que :

(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad−bc)²

Suites et récurrence

EXERCICE22. Démontrer par récurrence que, pour tout entiern≥1 : 1+2+ · · · +n=n(n+1)

2

EXERCICE23. Soit (u_n) la suite définie paru₀=2 et, pour tout entier natureln:u_n+1=_1+u^un_n. Démontrer par récur- rence que, pour toutn∈N:un=_2n²₊₁.

EXERCICE24. Soitaun réel. On définit une suite (un) en posantu1=aet, pour tout entier natureln: u_n+1=4−3u_n

10 1. Démontrer par récurrence que, pour toutn∈N^∗:u_n=₁₃⁴ +¡

a−₁₃⁴¢ ¡₋₃

10

¢n−1

. 2. Calculer la limite de la suite (u_n).

EXERCICE25. Démontrer par récurrence que, pour tout entiern≥1 : 1

1×2+ 1 2×3+ 1

3×4+ · · · + · · · + 1

n(n+1)=1− 1 n+1 EXERCICE26. Démontrer par récurrence que, pour tout entiern≥1 :

1²+2²+ · · · +n²=n(n+1)(2n+1) 6

EXERCICE27. Démontrer par récurrence que, pour tout entiern≥1 : 1³+2³+ · · · +n³=

µn(n+1) 2

¶2

EXERCICE28. Soit (u_n) la suite définie par :u₀=5 et 3u_n+1=u_n+4 pour tout entier natureln.

1. Calculeru₁etu₂.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,u_n≥2.

3. Démontrer que (u_n) est décroissante.

4. En déduire que (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

5. On pose, pour toutn∈N,v_n=u_n−2. Exprimerv_n+1en fonction dev_n. Quelle est la nature de la suite (v_n) ? 6. Exprimerv_npuisu_nen fonction den.

7. On pose, pour toutn∈N,Sn=u₀+u₁+ · · · +unetTn=v₀+v₁+ · · · +vn. ExprimerSnetTnen fonction den.

8. Déterminer les limites des suites (Sn) et (Tn).

EXERCICE29. On définit deux suites (u_n) et (v_n) par :u₀=2,v_n=_u²_n pour toutn∈N, etu_n+1=^un+v₂ ⁿ pour toutn∈N. 1. Calculerv₀,u₁,v₁,u₂,v₂.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entiern∈N, 1≤un≤2 et 1≤vn≤2.

3. Vérifier que, pour toutn∈N:

un+1−vn+1=(un−vn)² 2(u_n+v_n) 4. En déduire (sans récurrence) que, pour toutn∈N:v_n≤u_n. 5. Étudier les variations des suites (u_n) et (v_n).

6. Justifier que les suites (u_n) et (v_n) sont convergentes. On notera`la limite de (u_n) etmla limite de (v_n).

7. Démontrer (sans récurrence) que, pour toutn∈N,un−vn≤1.

8. En déduire (toujours sans récurrence), pour toutn∈N,un+1−vn+1≤¹₄(un−vn).

9. Démontrer par récurrence que, pour toutn∈N:u_n−v_n≤₄¹ⁿ. 10. En déduire que`=mpuis déterminer`.

Études de fonctions

EXERCICE30. On pose :

A(x)= 1 1+₁₊¹1

x

1. Pour quel réelsxl’expressionA(x) a-t-elle un sens ? 2. Lorsqu’elle a un sens, simplifier l’expressionA(x).

EXERCICE31. On pose :

B(x)= 1 1−₁₊²1

1−x

1. Pour quel réelsxl’expressionB(x) a-t-elle un sens ? 2. Lorsqu’elle a un sens, simplifier l’expressionB(x).

EXERCICE32. Pour quel réelsxl’expression suivante a-t-elle un sens ? C(x)=7−p

x²−9 p25−x² EXERCICE33. On posef(x)=4+e^x−3.

1. Déterminer le domaine de définition def, et calculer les limites def aux bornes de son domaine.

2. Dresser le tableau de variation def.

3. Tracer la courbe représentative def ainsi que ses tangentes aux points d’abscisses 3 et 4.

4. Soity∈R. Résoudre l’équationf(x)=y(d’inconnuex) en discutant selon les valeurs dey. EXERCICE34. Pour tout réelx, on pose :f(x)=_x2^x+1. On noteC la courbe représentative def.

1. Déterminer les points oùC admet une tangente horizontale.

2. Dresser le tableau des variations def. Calculer les limites def en+∞et−∞. 3. DessinerC et ses tangentes horizontales.

EXERCICE35. On posef(x)=^x2_x−1^+x−1.

1. Déterminer le domaine de définition def.

2. Déterminer les éventuelles asymptotes verticales et horizontales de la courbe représentative def. 3. Calculerf⁰etf⁰⁰.

4. Dresser le tableau des variations def et dessiner la courbe représentative def. EXERCICE36. On posef(x)=ln(2x+3).

1. Déterminer le domaine de définition def.

2. Étudierf (variations et limites aux bornes de son domaine).

3. Tracer la courbe représentative def ainsi que sa tangente au point d’abscisse−1.

EXERCICE37. On posef(x)=ln(2e^x−1).

1. Résoudre l’inéquation : 2e^x−1>0.

2. En déduire le domaineIde définition def.

3. Calculer la dérivée def et montrer qu’elle est strictement positive partout surI. 4. Calculer les limites def aux bornes deI.

5. On poseg(x)=x+ln(2). Montrer quef(x)−g(x)=ln¡ 1−_2e¹x

¢. En déduire le signe def(x)−g(x), ainsi que la limite def(x)−g(x) lorsquextend vers+∞.

6. Calculer l’équation deT, la tangente au graphe def au point d’abscisse 0.

7. Dessiner les graphes def etgainsi que la droiteT. Comment interpréter graphiquement la question 5 ? 8. Soityun réel. Résoudre l’équationf(x)=yd’inconnuex(discuter en fonction du paramètrey).

EXERCICE38. Soita>0 un réel. Démontrer que l’équationx³+ax−1=0 possède au plus une solution réelle (on pourra introduire une fonction).

EXERCICE39. On souhaite comparera=1000¹⁰⁰¹etb=1001¹⁰⁰⁰. Pour cela on poseq=^b_a.

1. On pose, pour tout réelx> −1,f(x)=ln(1+x)−x. Calculer la dérivéef⁰puis dresser le tableau des variations def.

2. En déduire que pour toutx> −1,f(x)≤0.

3. Montrer que ln(q)=1000f ¡ ₁

1000

¢+1−ln(1000).

4. Conclure.

EXERCICE40. Pour tout réelx>0, on poseg(x)=x²−2 ln(x) etf(x)=x³+6x−6xln(x).

1. Calculer la dérivée deg.

2. Calculer les limites degen 0 et en+∞. 3. Dresser le tableau des variations deg.

4. Déterminer le signe deg(x) en fonction dex.

5. Calculer la dérivée def.

6. Calculer les limites def en 0 et en+∞.

7. Dresser le tableau des variations def.

EXERCICE41. Pour tout réelx>0, on poseg(x)=ln(x+1)−ln(x)−_x+1¹ etf(x)=e^xln¡1+1x¢. 1. Calculer la dérivéeg⁰(on factorisera et simplifiera au maximum le résultat).

2. En déduire le tableau des variations deg, en précisant la limite degen+∞et en 0.

3. Montrer que, pour tout réelx>0,f⁰(x)=g(x)f(x).

4. En déduire le tableau des variations def.

EXERCICE42. Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. x7→e^4x+1

2. x7→2x³−^x₃² 3. x7→¹₂x+_x³2

4. x7→x+^p_2x+1¹ 5. x7→e^3x+x(x−1) 6. x7→x(x+1)(x+2) 7. x7→^p_3x+1¹ 8. x7→^ex_e⁺¹x

9. x7→_e^xe₊^x₁

Systèmes linéaires

EXERCICE43. Déterminer des réelsaetbtels que, pour tout réelxdifférent de 0 et de−1 : 1

x(x+1)=a x+ b

x+1

EXERCICE44. Déterminer des réelsaetbtels que, pour tout réelxdifférent de 1 et de−1 : 1

(x−1)(x+1)= a x−1+ b

x+1

EXERCICE45. Déterminer des réelsaetbtels que, pour tout réelxdifférent de 0 et de 2 : 3x+1

(x−2)x = a x−2+b

x

EXERCICE46. Déterminer des réelsa,b,c,dtels que, pour tout réelxdifférent de 1 : (1−x+x²)²

x−1 =ax³+bx²+c x+ d x−1 EXERCICE47. Déterminer des réelsa,b,ctels que, pour tout réelxdifférent de 1 :

x²+1 x³−1= a

x−1+ bx+c x²+x+1

EXERCICE48. Déterminer des réelsa,b,c,dtels que, pour tout réelxdifférent de−1 : x³

x³+1=a+ b

x+1+ c x+d x²−x+1 EXERCICE49.

1. Soientaetbdeux réels. Dériver la fonctionf :x7→(ax+b)e^x.

2. En utilisant la première question, déterminer une primitive de la fonctiong:x7→xe^x. 3. Déterminer une primitive de la fonctionh:x7→(2x+1)e^x.

EXERCICE50.

1. Soienta,b,c,d, quatre réels. Dériver la fonctionf :x7→(ax+b) cos(x)+(c x+d) sin(x).

2. En utilisant la première question, déterminer une primitive de la fonctiong:x7→xcos(x).

3. Déterminer une primitive de la fonctionh:x7→x(cos(x)+sin(x)).