Devoir n°5
Première S ( 2003/2004 )
EXERCICE 1 ( points)
1- a et b étant deux nombres réels, donner cos ( a + b ) et sin ( a + b ) en fonction de cos a, cos b, sin et sin b.
2- Démontrer que cos ² a = 1 + cos 2a 2
EXERCICE 2 ( points)
1- On donne les points E et F de coordonnées cartésiennes : E ( 3 ; – 3 ) et F ( – 1 4 ; - 3
4 ).
Calculer les coordonnées polaires de E et F.
2- On donne les points G et H de coordonnées polaires G ( 2 ; 3π
2 ) et H ( 2 3 ; 5π
6 ).
Calculer les coordonnées cartésiennes de G et H.
EXERCICE 3 ( points)
Résoudre chacune des équations suivantes dans l’intervalle donné : 1) cos x = – 3
2 dans [ 0 ; 2π ]
2) sin x = 2
2 dans ] - π ; π ]
3) cos ( 3x ) = cos ( x – π
4 ) dans IR
4) 2 sin² x – cos ( π
2 - x ) – 1 = 0 dans IR
EXERCICE 4 ( points)
Simplifier π 4 + π
3 . En déduire cos 7π 12.
EXERCICE 5 ( points)
On définit, sur [ 0 ; 2π ] , la fonction f par : f ( x ) = cos x – 1
2 cos ( 2x + ππππ 3 ).
1- Calculer f ’ ( x ).
2- Calculer les abscisses des points où la courbe représentative de f admet une tangente horizontale.
EXERCICE 6 ( points)
1- Etudier les variations sur ] 1 ; + ∞ [ de la fonction f : x →→→→x – 1 x ² .
2- Soit ( O ; i ; j ) un repère orthonormé, A le point de coordonnées ( 1 ; 3 ) et I ( 1 ; 0 ).
Soit M un point de l’axe des abscisses, dont l’abscisse x est strictement supérieure à 1.
La droite ( AM ) coupe l’axe des ordonnées en N.
Problème : chercher la position du point M qui rend minimale l’aire du triangle OMN.
( Aide : on cherchera à exprimer ON en fonction de x).
EXERCICE 7 ( points)
1) Etudier les variations de la fonction f définie sur IR par f ( x ) = x3 –3x² –1
2) Démontrer que l’équation f( x ) = 0 admet une solution unique αααα dans l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ et donner une valeur approchée de αααα à 10-2 près.
3) En déduire le tableau de signes de f dans l’intervalle I = [ 0 ; + ∞ [ 4) Soit g la fonction définie sur I par g( x ) = x – 2
2 + x3 a) Etudier les variations de la fonction g sur I . b) Que peut-on en déduire pour g( αααα ) ?
Devoir n°5
Première S ( 2003/2004 )
EXERCICE 1 ( points)
1- Etudier les variations sur ] 1 ; + ∞ [ de la fonction f : x →→→→x – 1 x ² .
2- Soit ( O ; i ; j ) un repère orthonormé, A le point de coordonnées ( 1 ; 3 ) et I ( 1 ; 0 ).
Soit M un point de l’axe des abscisses, dont l’abscisse x est strictement supérieure à 1.
La droite ( AM ) coupe l’axe des ordonnées en N.
Problème : chercher la position du point M qui rend minimale l’aire du triangle OMN.
( Aide : on cherchera à exprimer ON en fonction de x).
EXERCICE 2 ( points)
1) Etudier les variations de la fonction f définie sur IR par f ( x ) = 2x3 –3x² –1
2) Démontrer que l’équation f( x ) = 0 admet une solution unique αααα dans l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ et donner une valeur approchée de αααα à 10-2 près.
3) En déduire le tableau de signes de f dans l’intervalle I = [ 0 ; + ∞ [ 4) Soit g la fonction définie sur I par g( x ) = x – 1
x3 + 1 a) Etudier les variations de la fonction g sur I b) Que peut-on en déduire pour g( αααα ) ?
EXERCICE 3 ( points)
1- a et b étant deux nombres réels, donner cos ( a + b ) et sin ( a + b ) en fonction de cos a, cos b, sin et sin b.
2- Démontrer que sin ² a = 1 – cos 2a 2
EXERCICE 4 ( points)
Simplifier π 4 + π
3 . En déduire sin 7π 12.
EXERCICE 5 ( points)
1- On donne les points E et F de coordonnées polaires : E ( 2 3 ; 2π
3 ) et F ( 2 ; π 4 ).
Calculer les coordonnées cartésiennes de E et F.
2- On donne les points G et H de coordonnées cartésiennes : G ( 0 ; - 3 ) et H ( - 3 4 ; - 1
4 ).
Calculer les coordonnées polaires de G et H.
EXERCICE 6 ( points)
Résoudre chacune des équations suivantes dans l’intervalle donné : 1) sin x = – 3
2 dans [ 0 ; 2π ]
2) cos x = 2
2 dans ] - π ; π ]
3) sin x = sin ( 2x + π ) dans IR
4) cos ² x - sin ( π
2 – x ) – 1 = 0 dans IR
EXERCICE 7 ( points)
On définit, sur [ 0 ; 2π ] , la fonction f par : f ( x ) = 1
2 sin ( 2x + ππππ
3 ) – sin x 1- Calculer f ’ ( x ).
2- Calculer les abscisses des points où la courbe représentative de f admet une tangente horizontale.
