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Submitted on 1 Jan 1900
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Sur une machine à résoudre les équations
Georges Meslin
To cite this version:
Georges Meslin. Sur une machine à résoudre les équations. J. Phys. Theor. Appl., 1900, 9 (1),
pp.339-343. �10.1051/jphystap:019000090033901�. �jpa-00240449�
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avec la température. Prenons pour abscisses les pressions II (fig. 6),
pour ordonnées les températures T . A chaque pression Il correspond
un point de réaction T ; le point iVI (II,T) a pour lieu une certaine courbe CC’. Cette courbe partage le plan en deux régions. Prenons
un point a (II,8), ce point représente un système où il ne se produit,
aucune réaction ; le point a est donc dans la région des fa2c~ équi- libres, qui coïncide avec la ré~ion située au-dessous de la courbe (:C’ .
Prenons, au contraire, un point A (TI, O) ; ce point représente un système en lequel l’oxygène et le phosphore se combinent ; le puint A est dnnc dans la r(/gi0n de co~~2binazson qzci coïncide avec la région
située ou-dessus de la courbe CC’.
La courbe CC’ monte de gauche à droite; la région de combinaison est donc à ç~c~~,cche de la courbe CC’ ; et la région des faux équilibres, à
droite de la 1nê1ne courbe.
Dès lors, si nous prenons un point b (p, T), ce point représentée un système où l’oxyg ène et le phosphore se combinent ; un point B (P, T) représente un système où aucune réaction ne se produit. Donc à chaque telnpérature T co~°respond une certaine pression limite II ; -,
sous une pression in f~rieure it II, l’oxygène se combine avec le phos- phore; sous une pression supériettî-e à TI, un syslèrne renrermant de l’oxygène et du phosphore est en équilibre " la pression II est d’autan t plus élevée que la te1npératurae est elle-v~2én2e plus éleve’e. Telle est la
loi énoncée par 1VT. Joubert.
La ligne CC’ est sensiblement rectiligne; sa forme et sa position
varient beaucoup, lorsqu’à l’oxygène on mélange certains gaz inertes.
(A suivre.)
SUR UNE MACHINE A RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS;
Par M. GEORGES MESLIN.
L’appareil dont je donne ici la description et que j’ai réalisé permet de résoudre les équations numériques de la forme :
Il est constitué par un fléau de balance (fig. i], sous lequel sont
fixés par des tiges rigides une série de solides de révolution dont les
axes sont verticaux, qui présentent une pointe à la partie inférieure
et dont la rorine et les di~~ae~2sio~z~ sont telles que le volU1ne c01npr’is
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019000090033901
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entre celle o,x~lu~ ’m i l tj i~t f ~ rt fertw el un plon horizontal .S~oiG ju’olJür-
tior~~2el â lal~rru.~.scrjt~~f~ ~a ou 1(i el/,,,’lance du somll¿et ait ptrxn. (:es corps que no us appellerons, pour abréger, solides d’ordre n ou n’,
et qu’on façonne une l’ois pour toutes, sont fixés, sous le fléau, à des distances respectivement proportionnelles à ~~, ~~’, ~~", à droite ou à gauche, suivant le signe du coefficient correspondant, et de manière
que leurs sommets soient dans un même plan horizontal, lorsque le
fléau est lui-même horizontal.
On équilibre la balance, puis l’on ajoute sur l’un des tléaux, à la
dis tance prise pour unité, un poids égal à A, d’un côté ou de l’autre,
sui vant le signe de ce terme ; l’équilibre est rompu ; mais, si l’on a disposé au-dessous du fléau un ou plusieurs vases communiquants
contenant de l’eau dont on puisse élever le niveau, chacun des corps
graduellement immergé reçoit une poussée croissante qu’il transmet
au fl éau et qui finit par le rendre horizontal, l’appareil restant cons-
tamment en prise pendant cette opération.
Si l’on désigne par x la hauteur immergée à ce moment, les forces
exercées sur les corps sont représentées par x’t, s"2, xn~~ ~ elles agissent à des distances p, y’, 1)’; on a, d’autre part, une force A qui agit à la distance 1. En écrivant que la somme des moments des forces est alors nulle, on voit que la longueur x satisfait à la con-
dition :
cette hauteur mesurée sera donc solution de l’équation.
Si, au lieu d’eau, on employait du mercure, la poussée serait
’
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13,6 fois plus grande; l’effet serait le même que si, le liquide étant
de l’eau, le solide était placé à une distance 13,6 fois plus grande ;
on pourra donc recourir à ce liquide si les coefficients ou certains d’entre eux étaient trop grands ; on réduirait les distances dans le
rapport de 13,6 à 1, en faisant plonger les solides correspondants
dans du mercure ; les éprouvettes contenant les liquides seraient pla-
cées sur une table mobile, les surfaces libres étant à la même hau- teur, puis on élèverait le niveau de la table ou 1"on descendrait le fléau comme dans la balance hydrostatique.
FORME DES DIFFÉRENTS SOLIDES EMPLOYÉS.
-’i . ~S’0~’~6 d’ordre 1.
-Il répond à la condition ~.T -- kx; il est constitué par une tige cylin- drique dont les dimensions dépendent des unités employées ; en éva-
luant les poids en décigrammes, et les longueurs en centimètres, on trouve, pour le rayon de ce cylindre, 0,18.
2. Sol£de ctordre 2.
-Il satisfait à l’équation V
-/îx2, k étant
déterminé par la condition que le volume d’eau déplacé par la partie comprise entre x --- o et x --- 1 ait une masse de 0-",I, c’est-à-dire soit due 1 10 de centimètre cube; d’une part, le volume d’une tranche
est 7Cy2dx; on a, d’autre part, ~k~dx pour l’expression de la diffé-
rentielle du volume ; il en résulte :
-c’est l’équation d’une parabole à axe vertical; la constante A se
détermine par l’équation :
3. S’oZide d’ordre 3.
-On a :
d’où :
la courbe méridienne est une droite, et ce solide est un cône de révo-
lution ; ce cône, facile à construire, ainsi que le cylindre, seront
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d’ailleurs suffisants pour résoudre l’équation du troisième degré
réduite à la f’orme ~:~ + px -~- q = o.
On trouve encore /, = 110’ et l’on a, pour les éléments du cône : 10
0m,10 ; diamètre de base, 011,0622.
4. S’olicle d’ordre n.
-On trouve, pour l’équation de la méridienne :
Ainsi, pour l’équation du quatrième degré, on aura recours, en
dehors des volumes précédents, au solide de révolution dont la méridienne est la parabole semi-cubique :
Ces solides peuvent être fabriqués en aluminium de manière à être légers et à pouvoir être travaillés au tour jusqu’à coïncidence
parfaite avec le profil qu’on aura préalablement découpé ; ce qui faci-
lite leur exécution, c’est qu’il y a lieu de se préoccuper seulement
du volume extérieur et nullement du poids ou de la matière interne;
l’appareil permet, d’ailleurs, de vérifier l’exactitude de ces solides.
P our le cas où deu x de ces corps devraient être placés sur le même
fléau à la même distance, il est facile d’imaginer un raccord trans-
versal convenable. Enfin, si l’adjonction de ces solides diminuait par
trop la sensibilité en abaissant le centre de gravité, on obvierait à cet
inconvénient en ajoutant deux masses supplémentaires au-dessus du
f~lvau, à droite et à gauche de l’axe de suspension.
J’ai réalisé ce dispositif avec une petite balance sensible dont les bras de fléau n’avaient que 12 centimètres ; la flg. 1 montre cette balance avec les solides qui y sont fixés dans la position convenable
pour résoudre 1"équations :
Si l’on fait A
=480, cette équation a une solution comprise entre 4,9 et 5, que l’on trouve très exactement en ajoutant 480 décibrammes
à la distance de 1 centimètre, ou 4 grammes sur le petit plateau sus- pendu au bout du fléau, à 12 centimètres de l’axe. J’ai construit les solides sur une hauteur de 10 centimètres seulement, de manière à
chercher les racines comprises entre 0 et 1f~ ; pour les racines plus
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grandes, on transformera l’équation de manière à réduire ces racines dans un rapport convenable, et si la longueur des bras du fléau devenait une difficulté, on pourrait y obvier par l’emploi d’un liquide plus dense ; pour les racines négatives, on fera aussi la transformation
correspondante.
Après avoir trouvé une solution, on pourra continuer à élever le niveau du liquide; l’équilibre sera d’abord dé trnit ; mais, en continuant
jusqu’à ce cIu‘il soit de nouveau réalisé, on trouvera les racines suc-
cessives ; en passant par une racine simple, l’inclinaison du fléau
changera de sens de part et d’autre de cette valeur; en passant par
une racine double, il s’inclinera du méme côté, de part et d’autre de
la racine. On pourra même rétablir à chaque instant l’équilibre, à
l’aide de poids marqués et étudier ainsi expérimentalement les
variations de la fonction.
La solution peut être lue sur la tige cylindrique ou sur une échelle fixée verticalement ; il peut y avoir, par suite des phénomènes de capillarité, une petite incertitude pour la lecture du numéro de l’échelle divisée. On évite cette incertitude en mettant dans l’un des vases un flotteur, par exemple un aréomètre sur la tige duquel
on mettra une graduation en millimètres ; en visant cette graduation
avec une lunette, on mesure la dénivellation avec une grande préci-
-
