Chapitre 9 – TD 1 Complexes 4
Nombres Complexes
À la fin de ce td, vous devez être capable de :
• linéariser un polynome trigonométrique ;
9.1 Soitf la fonction définie sur R parf(x) = sin(x)×sin(2x).
1. En utilisant les formules d’Euler, écrire f(x) sous la forme d’une somme.
2. En déduire une primitive de f(x).
9.2 En utilisant deux fois de suite la formule cos2a= (1+cos 22 a), exprimer pourx ∈R, cos4x en fonction de cos 2x et cos 4x.
Retrouver ce résultat en utilisant les formules d’Euler.
9.3 Soitf la fonction définie sur R parf(x) = sin3x.
1. En utilisant les formules d’Euler, linéariser f(x).
2. En déduire une primitive de f(x).
9.4 Le but de cet exercice est la résolution dans l’intervalle [0,2π] de l’équation 2 sinx−sin 3x= 0.
1. Linéariser sin3x et en déduire que : 4 sin3x−sinx= 2 sinx−sin 3x 2. Résoudre dans l’intervalle [0 ; 2π] les équations suivantes :
a. sinx= 0 b. sinx= 12 c. sinx=−1
2
3. En déduire les solutions appartenant à l’intervalle [0 ; 2π] de l’équation 2 sinx−sin 3x= 0.
9.5 Utiliser les formules d’Euler pour transformer en sommes les expressions suivantes :
1. sin 2x×sin 3x; 2. cosx×cos 2x; 3. sinx×cos 3x; 4. sin 4x×cosx;
5. cos3x; 6. cos 2xsin 3x; 7. cos 5xcos 7x; 8. cosxsin2x.
9.6 Utiliser Xcas pour vérifier chacun des résultats précédents.
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