1) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation : z2+ 4z+ 8 = 0

EXERCICE 2 (5 points )

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal(O,−→u ,−→v ); l’unité graphique est 1 cm.

1) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation : z²+ 4z+ 8 = 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

2) On noteAetBles points du plan d’affixes respectives : a = 2−2i et b =−a.

a) Déterminer l’affixecdu pointC, image du pointBpar la rotation de centreO et d’angle π 2. b) On noteDl’image deCpar la rotation de centreAet d’angle π

2 ; démontrer que l’affixed du pointDestd= 2−6i.

c) Placer les pointsC etDsur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatèreABCD?

3) αétant un nombre réel non nul, on désigne parGαle barycentre du système : {(A,1),(B,−1),(C, α)}.

a) Exprimer le vecteur−−→CGαen fonction du vecteur−→BA.

b) En déduire l’ensemble des pointsGαlorsqueαdécrit l’ensemble des réels non nuls.

Construire cet ensemble.

c) Pour quelle valeur deαa-t-onGα =D? 4) On suppose dans cette question queα= 2.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer et construire l’ensemble des pointsM du plan tels que :

−−→M A−−−→M B+ 2−−→M C

= 4√

2.

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EXERCICE 2

1) Le discriminant de l’équationz²+4z+8=0est ∆=4²−4×8= −16= (4i)². L’équationz²+4z+8=0admet donc deux racines non réelles conjuguées à savoir

z1= −4+4i

2 = −2+2iet z2=z1= −2−2i.

S ={−2−2i,−2+2i}.

On a|z1|=p

(−2)²+2²=√

2²×2=2√

2. Mais alors z1= −2+2i=2√

2

− 1

√2 + 1

√2i

=2√ 2

cos

3π 4

+isin

3π 4

=2√

2e^3iπ/4. D’autre part,z2=z1=2√

2e^−3iπ/4.

S ={2√

2e^−3iπ/4, 2√

2e^3iπ/4}.

2)

1 2

−1

−2

−3

−4

1 2

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

b b

b b

B

C A

D

b

( )

a)Soientθun réel etΩun point dont l’affixe est notéeω. L’expression complexe de la rotation de centreΩet d’angleθ est

z^′ =e^iθ(z−ω) +ω.

Ici,ω=0ete^iθ=e^iπ/2=cosπ 2

+isinπ 2

=i. Donc

c=ib=i(−2+2i) = −2−2i.

c= −2−2i.

http ://www.maths-france.fr 3 ^c Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.

b)Dans cette questionω=a=2−2iet e^iθ=e^iπ/2=i. Donc

d=i(c−a) +a=i((−2−2i) − (2−2i)) +2−2i=2−6i.

d=2−6i.

c)a−b=a+a=2a=4−4ietd−c= (2−6i) − (−2−2i) =4−4i. Donca−b=d−cou encore−→

BA=−CD. On en→ déduit que

le quadrilatèreABCD est un parallélogramme.

3) a) Soitαun réel non nul. Puisque1−1+α=α6=0, Gα est bien défini. Ensuite, on sait que pour tout pointMdu plan on a

−−−→

MGα= 1 1−1+α

−−→ MA−−−→

MB+α−−→ MC

= 1 α

−→

BA+α−−→ MC

. QuandM=C, on obtient

−−→ CGα = 1

α

−→ BA.

b) Quand αdécrit R^∗, 1

α décrit R^∗ et donc le point Gα décrit la droite passant par le point Cet de vecteur directeur

−→ BA=−→

CDprivée du pointCou encore, la droite(CD)privée du pointC.

QuandαdécritR^∗,Gα décrit la droite(CD)privée du pointC.

c)Quandα=1, on obtient−−CG→1=−BA→=−CD→et donc

G1=D.

4)Pour tout pointMdu plan on a−−→ MA−−−→

MB+2−−→

MC= (1−1+2)−−−→

MG2=2−−−→

MG2 et donc

−−→

MA−−−MB→+2−−MC→ =4√

2⇔2

−−−→ MG2

=4√

2⇔MG2=2√ 2.

L’ensemble cherché est donc le cercle de centreG2et de rayon2√

2. Maintenant, d’après la question 3)a),−−→ CG2= 1

2

−→ BA= 1

2

−→

CDet doncG2est le milieu du segment[CD]. D’autre part,

CD=|d−c|=|4−4i|=4|1−i|=4p

1²+ (−1)²=4√ 2, et donc2√

2= CD

2 . L’ensemble cherché est donc le cercle de centre le milieu de[CD]et de rayon CD

2 ou encore l’ensemble cherché est le cercle de diamètre[CD].

http ://www.maths-france.fr 4 ^c Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.