EXERCICE N°1 ( 5 PTS ) 1) Résoudre dans ¢ l’équation Z2-4Z+8=0 2)

(1)

EXERCICE N°1 ( 5 PTS )

1) Résoudre dans ¢ l’équation Z²-4Z+8=0

2) Soit f (Z) = Z³+ ( 2 2 - 4 ) Z² + ( 8-8 2 ) Z + 16 2

a/ Montrer que (-2 2 ) est une solution de l’équation f (Z)=0 b/ Résoudre alors f(Z)= 0

3) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (o,u v) on considère les points A, B et C d’affixes respectives 2+2i, 2-2i et -2 2

a/ Montrer que ABC est un triangle isocèle en C, inscrit dans un cercle de centre O b/ Calculer ^A

B

Z

Z ; donner alors la nature de triangle OAB

c/ Donner une mesure de l’angle



^{CB CA}^{ }^,



en déduire que



^{ }^AB^{^}^,^AC



^³₈^{ }

^{ }

² ^.

EXERCICE N°2 ( 5 PTS)

Soit U la suite définie sur N par

0

1 2

0

2 ;

8

n n

n

U

U U n N

 U

 

 

  

 

 1) Montrer que 0 ≤ Un ≤ 1

2) a/ Montrer que pour tout entier n on a : Un+1 ≥ ² 3

Un



b/ En déduire que la suite U est croissante et qu’elle est convergente 3) a/ Montrer que 1 – Un+1 ≤ ¹

3( 1 – Un)

b/ En déduire que pour tout entier n 1 – Un ≤ ¹ 3

 n

   c/ Calculer alors la limite de la suite U

EXERCICE N°3 (6 PTS)

Soit f la fonction définie sur R par

2 2

( ) 1 0

( ) sin 1 0

f x x x si x

f x x si x

x

    



 

 

1) Montrer que f est continue en O

2) Montrer que f est dérivable en O ; écrire alors une équation de la tangente en O 3) Soit g la restriction de f sur [0, +∞[

a/ Montrer que g admet une fonction réciproque g^-1 définie sur un intervalle J qu’on précisera b/ Montrer que g^-1 est dérivable sur J et calculer ( g^-1)’(1)

4) Expliciter pour tout réel x de J g^-1(x) LYCEE SECONDAIRE

OTHMAN CHATTI

DEVOIR DE SYNTHESE N°1 PROF : GMATI SABEUR

2009/ 2010 CLASSE : 4^ème SCIENCE 4 DUREE : 2 HEURES