1/2 -
DM n°8 – 12 pts (24/2) Exercice n°1
–11,5 points
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (An) par leurs coordonnées (xn;yn) de la façon suivante :
/se{x_0=-3;y_0=4} et pour tout entier naturel n :
/se{x_{n+1}=/t{0.6;0.8}x_n–/si{#1=0.6;0.8;0.6} y_n;y_{n+1}=/si{#1=0.6;0.8;0.6}
x_n+#1y_n}
1.a.[1.5] Déterminer les coordonnées des points A0, A1 et A2.
1.b.[1] Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : Variables :
i,x,y,t : nombres réels
Initialisation :
x prend la valeur -3 y prend la valeur 4
Traitement :
Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x;y) t prend la valeur x
x prend la valeur …..
y prend la valeur …..
Fin Pour.
Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points A0 à A20. 1.c.[1] Programmer cet algorithme et, dans un repère orthonormé, placer les 21 points A0 à A20.
1.d.[0.5] Que semble-t-il se passer ?
2. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn=xn + iyn
l'affixe du point An.
a.[2] Soit un=|zn|. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
b.[1] On admet qu'il existe un réel θ tel que cos(θ) = #1 et sin(θ) = /si{#1=0.6;0.8;0.6}. Montrer que, pour tout entier naturel n, eiθzn=zn+1.
c.[1.5] Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn=einθz0.
d.[1] Montrer que /si{#1=0.6;π – θ;θ+ π
2 } est un argument du nombre complexe z0.
e.[2] Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe zn. Expliquer comment construire le point An+1 à partir du point An.
Exercice n°2
–12,5 points
1.[1.5] Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (E)
d'inconnue z :
z2 – ¤z + /calc{#2*#2} =0
2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, ⃗u, ⃗v). On considère les points A, B et C d'affixes respectives zA la racine du polynôme précédent de partie imaginaire négative, zB la racine du polynôme précédent, de partie imaginaire positive, et zC = -(zA + zB).
1/2
2/2 -
a.[1] Calculer le module et l'argument du nombre zA. b.[1] Donner la forme exponentielle des nombres zA et zB.
c.[0.5] Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre
O, dont on déterminera le rayon.
d.[0,5] Placer les points A,B et C dans le repère (O, ⃗u, ⃗v). 3. On considère les points A', B' et C' d'affixe respectives zA’=zA ei
π
3 , zB’=zB
eiπ3 et zC’=zC eiπ3 .
a.[1] Calculer le module et un argument du nombre zA’.
b.[1] Calculer le module et un argument du nombre zB’.
c.[2] Donner la forme algébrique de zA’, zB’ et zC’, et placer les points A', B'
et C'. 4.
a.[1.5] On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des
segments [A'B], [B'C] et [C'A]. Calculer r, s et t sous forme algébrique et placer les images de ces affixes.
b.[2,5] Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ?
Justifier ce résultat.
2/2
